1.2 第2课时 菱形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦菱形的判定，涵盖定义法、四边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形等核心知识点。通过复习菱形定义提问“还有什么条件可判定”，衔接旧知，搭建从性质到判定的探究支架。 其亮点在于以“猜想-证明-应用”为主线，通过木条实验等动手操作发展几何直观（数学眼光），引导学生推理证明判定定理培养推理能力（数学思维），例题练一练用规范几何语言表达（数学语言）。课堂小结系统梳理方法，帮助学生构建知识体系，教师可借助分层练习提升教学效率。

1.2 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 北师版 九年级（上） 第一章 特殊平行四边形 1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定 定理；（重点） 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 3. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会 数形结合、转化等思想方法. 素养目标 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形？ A B C O D 复习导入 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等。反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴进行交流。 思考·交流 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 新知探究 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 【证一证】 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 新知探究 菱形的判定定理 四条边都相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 四边形 ABCD A B C D 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 新知探究 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线， 点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 新知探究 又∵EF 是 AC 的垂直平分线， ∴ EC = EA，AF = CF. ∴AE = EC = CF = AF. ∴ 四边形 AFCE 是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC， ∴ △AOE≌△COF.∴AE = CF. 【练一练】1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 还有其他的证明方法吗？ 探究点1：四条边相等的四边形是菱形 新知探究 问题 上节课我们已经知道“菱形的对角线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四边形是菱形， 你觉得对吗？ 不对，菱形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅垂直且平分. 不对， 如图. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 新知探究 10 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ 直线 BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 【证一证】已知：如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 例2 已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD 是菱形. 证明：在△AOB 中， ∵AB = ，OA=2，OB=1， ∴AB2 = AO2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形). A B C O D 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AE∥CF. ∴∠1=∠2. 又 ∠AOE =∠COF，AO = OC， ∴ △AOE≌△COF， ∴EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形. 又 AC⊥EF，∴ 四边形 AFCE 是菱形. 【练一练】1. 如图，□ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别交于点E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形. 方法二 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 B C A D O E M N 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD =∠EOC = 90°. ∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO. ∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE. ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵ DE⊥AC， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 【练一练】2. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 尝试·交流 (1) 如图，已知线段 a，请用尺规作菱形 ABCD，使它的对角线 AC = a。 C A B D a 分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 (2) 满足 (1) 中条件的菱形唯一吗？如果不唯一， 那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流。 A B C D O 不唯一。 理由：垂直平分线上 B、D 两点的位置可以任意选取 (只要 OB＝OD )， 因此菱形的边长和角度会随 OB 长度的变化而变化. 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 A B C D O ①指定另一条对角线长度： 添加条件使菱形唯一，如： 例如“对角线 BD = b (给定长度)”，此时 OB = ​，可唯一确定 B、D 的位置。 ②指定菱形的一个内角： 例如 “∠BAD = 60° ”，结合AC = a可唯一确定菱形的形状和大小。 ③指定菱形的边长。 探究点2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新知探究 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点 O. 若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给 出的条件不正确的是(　C　) A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠BAC＝∠DAC C 当堂反馈 2. 如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝ 13，AC＝24，当BD＝ 时，四边形ABCD是 菱形，理由是 ⁠ ⁠. 10　 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形　 当堂反馈 3. [推理通关]如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接 DE，DF. 求证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵D，E分别是BC，AB的中点， ∴DE∥ 且DE＝ ＝ AC. 同理DF∥ 且 DF＝ ＝ AB. AC　 AF　 　 AB　 AE　 　 当堂反馈 又∵AB＝AC， ∴DE＝ ⁠. ∴四边形AEDF是菱形 (　 ⁠ 　). DF＝AF＝AE　 四边相等的四边形是菱形 3. [推理通关]如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接 DE，DF. 求证：四边形AEDF是菱形. 当堂反馈 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，AC＝6，BD＝8，AD＝5，求AB的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC＝6，BD＝8， ∴AO＝ AC＝3，DO＝ BD＝4. ∵AD＝5， ∴AO2＋OD2＝AD2. ∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°. ∴四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD＝5. 判定方法： ⁠ ⁠. 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形　 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $