1.3矩形的性质与判定第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质定理（四个角都是直角、对角线相等）及直角三角形斜边中线定理，通过情境引入类比菱形学习，引导学生思考研究方向，搭建从平行四边形到矩形的知识支架。 其亮点在于以观察猜想（活动框架、画图测量）与几何证明结合探究性质，培养数学眼光与思维，通过详细证明过程（如矩形对角线相等的证明）及典例练习（如含120°角的矩形计算）提升推理与应用能力。学生能深化理解，教师可借助清晰结构高效教学。

第一章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 第1课时 学 习 目 标 1.会证明矩形的性质定理，会用矩形的性质解决简单的问题；（重点） 2.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （难点） 1.矩形的定义： 有一个角是 的 叫作矩形. 知识回顾 2.矩形的对称性： 矩形是 图形，有 条对称轴。 矩形还是 图形，对称中心是 . 直角 平行四边形 轴对称 两 中心对称 对角线的交点 3.矩形的一般性质： 矩形具有 的一切性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分. 平行四边形 矩形是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究？与同伴进行交流. 情境引入 需要研究矩形的性质、判定方法，以及周长和面积的计算等问题. 可以通过观察猜想、几何证明来进行研究. 新知探究 探究一：矩形的性质 性质1：矩形的四个角都是直角. 性质2：矩形的两条对角线相等. （1）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？ 可以拿一个平行四边形活动框架，拉动一边使一个角变成 90°，观察其余三个角，肉眼观察全是直角；或画图测量每个内角，度数都是 90°。 画出一个矩形，通过测量两条对角线长度相等。 （2）你能证明这些性质吗？与同进行伴交流. 新知探究 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=DB. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC= 90°, ∴∠BCD= 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 矩形的四个角都是直角. 新知探究 (2)AC=BD. （2）∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC (矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 矩形的对角线相等. 新知探究 知识归纳 矩形的性质定理： 定理1：矩形的四个角都是直角. 定理2：矩形的对角线相等. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. A B D C O 新知探究 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 新知探究 探究二：直角三角形斜边中线的性质 BE=AC. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 你能证明这个结论吗? 如图(1)，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E。将矩形纸片沿 AC剪开，得到图(2)所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的线段?它与 AC有什么大小关系?由此你能得到什么结论? BE是Rt△ABC斜边的中线. 新知探究 O C B A D 证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD，DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC . ∴BO=BD=AC. 新知探究 知识归纳 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形斜边中线定理 C B A O 几何语言： ∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线, ∴BO=AC. 新知探究 2.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3 cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5 cm,则AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 典例分析 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长. 例1 解:∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC=AC,OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA=OD. ∵∠AOD=120°, ∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°. ∴BD=2AB=2×2.5=5. 你还有其他解法吗? 典例分析 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F. 求证：DF=DC. 例2 A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE, ∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, ∴△DFE≌△DCE, ∴DF=DC. 巩固练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 B 2.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分 D 3.若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（ ） A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．8cm2 B 巩固练习 4.如图所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（ ） A．29° B．32° C．22° D．61° B 5.矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是（ ） A．12 B．22 C．16 D．26 6.如图所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（ ） A． B．4 C． 2 D． C D 7.如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=4，�则DC= ． 巩固练习 4 9.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC． D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______． 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=______cm． 2.5 6 巩固练习 10.如图所示，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，AB=6. 求:(1)对角线的长;(2)BC的长;(3)矩形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC=BD,OA = OC,OB=OD， ∴OA = OB. ∵∠BOC= 120°， ∴∠AOB =60°. ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=6, ∴BD=AC=2OA=2×6=12. (3)S矩形ABCD=AB·BC=6×. (2)在Rt△ABC中，AB=6，AC=12， 由勾股定理，得BC=. 巩固练习 11.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE； A B C D O E (1)证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC= BD，AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. 巩固练习 (2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD=BD=×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, BC==. ∴四边形ABED的面积=×(4+8)×4=24. A B C D O E （2）若∠DBC=30° ， BO=4 ，求四边形ABED的面积. 定理1：矩形的四个角都是直角. 课堂小结 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质定理 定理2：矩形的对角线相等. 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 作业布置 1.必做题：习题1.3第1，2，6，7题。 2.探究性作业：习题1.3第11，12题。 感谢聆听! $