27.2.2反比例函数的图象与性质（第二课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数图象与性质的综合应用，涵盖待定系数法求解析式、点在图象上的判断、参数范围确定及函数值比较。课堂导入通过复习反比例函数性质，搭建新旧知识桥梁，为综合应用提供学习支架。 该资料以例题驱动教学，例1示范待定系数法并追问多种解法，培养抽象能力和推理意识，例3含参问题强化逆向思维。分层练习与当堂检测结合，落实模型观念，帮助学生构建知识体系提升解题能力，也为教师提供清晰教学流程与分层资源。

27.2.2 反比例函数的图象与性质（第2课时）教学设计 一、课标要求 能运用反比例函数的图象和性质解决相关问题，体会函数思想和方程思想在解决问题中的运用，发展推理能力和模型观念。 二、教学目标 1. 能用待定系数法求反比例函数的解析式，理解确定反比例函数只需要一个条件（一对 、 的对应值或图象上一个点的坐标）。 1. 能判断一个点是否在反比例函数的图象上，掌握判断方法：验证横纵坐标的积是否等于 。 1. 能根据反比例函数图象的位置确定参数 或含参表达式的取值范围。 1. 能运用反比例函数的增减性比较同一象限内两点的纵坐标大小。 三、重点难点 重点：用待定系数法求反比例函数解析式，运用反比例函数的性质解决相关问题。 难点：灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合性问题，特别是含参问题中的分类讨论和范围确定。 四、教学过程 环节一：复习回顾 师生活动： 教师提问：反比例函数 （）具有什么性质？ 学生回答后，教师总结： 当 时：双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内， 随 的增大而减小。 当 时：双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大。 教师引入：今天我们综合运用反比例函数的图象和性质，来解决与之相关的问题。 设计意图：通过复习性质，为本节课的综合应用奠定基础，让学生明确知识储备。 环节二：探究新知——待定系数法求解析式 师生活动： 【例1】 已知反比例函数 的图象经过点 。 （1）求这个反比例函数的解析式； （2）指出这个函数图象的位置和增减性。 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点 ， ∴ 将 ， 代入 ，得： 解得： ∴ 这个反比例函数的解析式为 。 （2）∵ ， ∴ 这个函数的图象位于第二、第四象限， 在每一个象限内， 随 的增大而增大。 追问：还有其他解答方法吗？ 学生讨论后，教师引导：还可以利用“在反比例函数图象上的点，横纵坐标的积等于 ”这一性质。 ∵ 点 在图象上， ∴ ∴ 归纳：用待定系数法求反比例函数解析式的步骤： 1. 设：设反比例函数解析式为 ； 2. 代：将已知点的坐标代入解析式； 3. 求：解方程求出 的值； 4. 写：写出反比例函数解析式。 设计意图：通过例题示范，让学生掌握待定系数法的基本步骤，同时介绍“横纵坐标积等于 ”的快捷方法，培养学生多角度思考问题的能力。 环节三：探究新知——判断点是否在图象上 师生活动： 【例2】 判断点 、、 是否在反比例函数 的图象上。 解：对于反比例函数 ，。 判断方法：计算点的横纵坐标的积，看是否等于 。 点 ： ∵ ， ∴ 点 不在反比例函数 的图象上。 点 ： ∵ ， ∴ 点 不在反比例函数 的图象上。 点 ： ∵ ， ∴ 点 在反比例函数 的图象上。 归纳：判断点是否在反比例函数 图象上的方法： ① 计算点的横纵坐标的积 ； ②若 ，则该点在图象上； ③若 ，则该点不在图象上。 设计意图：通过多个点的判断，让学生掌握“横纵坐标积”的判断方法，加深对反比例函数图象特征的理解。 环节四：探究新知——根据图象位置确定参数范围 师生活动： 【例3】 已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限。 （1）求 的取值范围； （2）在这个函数图象的任意一支上， 随 的增大如何变化？ （3）若 、 在这个函数图象的同一支上，且 ，比较 与 的大小。 解：（1）∵ 这个函数的图象的一支位于第一象限， ∴ 另一支必位于第三象限， ∴ 这个函数的图象位于第一、第三象限， ∴ ，解得 。 （2）∵ ， ∴ 在这个函数图象的任意一支上， 都随 的增大而减小。 （3）∵ 、 两点在图象的同一支上，且 ， 又∵ 在每一个象限内， 随 的增大而减小， ∴ 。 设计意图：通过含参问题，培养学生根据图象位置反推参数范围的逆向思维能力，同时强化“在同一支上”这一前提条件的重要性。 环节五：课堂练习 1. 已知反比例函数 的图象经过点 ，求这个反比例函数的解析式，并指出图象的位置和增减性。 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 ， ∴ 将 ， 代入 ，得： 解得： ∴ 这个反比例函数的解析式为 。 ∵ ， ∴ 这个函数的图象位于第一、第三象限， 在每一个象限内， 随 的增大而减小。 2. 已知反比例函数 的图象的一支位于第二象限，求 的取值范围。 解：∵ 这个函数的图象的一支位于第二象限， ∴ 另一支必位于第四象限， ∴ 这个函数的图象位于第二、第四象限， ∴ ，解得 。 3. 已知点 、 都在反比例函数 的图象上，比较 与 的大小。 解：分别计算两点的纵坐标： ∵ ， ∴ 。 （方法二）解：∵ 中 ， ∴ 图象位于第二、第四象限。 ∵ 点 的横坐标 ， ∴ 点 在第二象限，。 ∵ 点 的横坐标 ， ∴ 点 在第四象限，。 ∴ 。 4. 判断点 、 是否在反比例函数 的图象上。 解：对于反比例函数 ，。 点 ： ∵ ， ∴ 点 在反比例函数 的图象上。 点 ： ∵ ， ∴ 点 在反比例函数 的图象上。 环节六：课堂小结 师生活动： 教师引导学生回顾本节课内容，完成知识梳理： 1. 待定系数法求反比例函数解析式： ①设 ； ②代入已知点坐标； ③解方程求 ； ④写出解析式。 1. 判断点是否在图象上： ①计算 ； ②若等于 ，则在图象上；否则不在。 1. 根据图象位置确定参数范围： ①图象在第一、第三象限 ⟺ ； ②图象在第二、第四象限 ⟺ 。 1. 比较函数值大小： ①先确定两点是否在同一象限； ②在同一象限内，利用增减性比较； ③不在同一象限，根据象限判断正负。 设计意图：通过系统梳理，帮助学生形成完整的知识结构，掌握反比例函数图象与性质的综合应用。 五、当堂检测 A 基础巩固 1. 反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 解：∵ 图象经过点 ， ∴ 。 ∴ 选 A。 2. 已知反比例函数 的图象上有两点 、，且 ，则 与 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 解：∵ 中 ， ∴ 在第一象限内， 随 的增大而减小。 ∵ ，说明 、 两点都在第一象限， ∴ 。 ∴ 选 B。 B 能力提升 3. 已知反比例函数 的图象在第一、第三象限，求 的取值范围。 解：∵ 图象在第一、第三象限， ∴ ， 解得 。 ∴ 的取值范围为 。 4. 已知点 、、 都在反比例函数 的图象上，比较 、、 的大小。 解：∵ 中 ， ∴ 图象位于第二、第四象限，在每一个象限内， 随 的增大而增大。 分别计算各点纵坐标： ； ； 。 ∵ ， ∴ 。 C 拓展延伸 5. 已知反比例函数 的图象经过点 ，若点 也在该函数图象上，求 的值。 解：∵ 图象经过点 ， ∴ ， ∴ 反比例函数解析式为 。 ∵ 点 在图象上， ∴ ， 解得 。 6. 已知反比例函数 的图象在第二、第四象限，且 为整数，求 的最大值。 解：∵ 图象在第二、第四象限， ∴ ， 解得 。 ∵ 为整数且 ， ∴ 的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $