27.2.2 反比例函数的图象和性质的应用（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的应用，通过回顾反比例函数的形状、象限及增减性导入，搭建从性质到应用的学习支架，涵盖待定系数法、面积计算、实际问题等核心内容。 其亮点是以专项练习和例题为载体，结合几何直观与模型意识，通过矩形面积与k值关系培养抽象能力，借助施工人数与天数问题发展应用意识，帮助学生用数学思维解决问题，教师可提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 27.2.2反比例函数的图象和性质的应用 2026年7月31日 人教版九年级下册27.2.2反比例函数的图象和性质的应用专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 反比例函数$$y=\frac{k}{x}(k eq0)$$图象上任意一点向坐标轴作垂线，所围成的矩形面积为________，三角形面积为________。 2. 同一反比例函数图象上的所有点，横、纵坐标之积恒等于________。 3. 当$$k>0$$时，第一象限内，自变量$$x$$越大，函数值$$y$$越________。 4. 利用反比例函数解决实际问题，首先根据题意建立________，再代入求值、分析性质。 5. 面积一定的平面图形，底边长与高成________比例关系。 6. 压力一定时，压强与受力面积成________比例；做功一定时，功率与时间成________比例。 7. 若两点在不同象限，可直接根据________正负比较反比例函数值大小。 8. 反比例函数实际应用中，自变量取值一般为________数。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 已知点P在双曲线$$y=\frac{6}{x}$$上，PA、PB分别垂直坐标轴，则矩形OAPB面积为（） A.3 B.6 C.12 D.24 2. 矩形面积一定，矩形的长y与宽x的函数关系是（） A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数 3. 已知$$A(-2,y_1)$$、$$B(3,y_2)$$在$$y=-\frac{2}{x}$$上，则$$y_1、y_2$$大小关系为（） A.$$y_1>y_2$$ B.$$y_1\lt y_2$$ C.$$y_1=y_2$$ D.无法判断 4. 一定质量的气体，压强P与体积V成反比例，说明（） A.V越大，P越大 B.V越大，P越小 C.P、V不变 D.无规律 5. 双曲线$$y=\frac{k}{x}$$上一点作坐标轴垂线，三角形面积为4，则$$|k|$$为（） A.2 B.4 C.8 D.16 6. 下列实际问题变量关系不属于反比例的是（） A.路程一定，速度与时间 B.总价一定，单价与数量 C.工作总量一定，效率与时间 D.速度一定，路程与时间 7. 对于$$y=\frac{3}{x}$$，当$$x_1\lt x_2\lt0$$，则（） A.$$y_1\gt y_2$$ B.$$y_1\lt y_2$$ C.$$y_1=y_2$$ D.无法确定 三、解答题（共42分） 1. 基础面积应用（每题6分，共24分） 1. 已知点A在双曲线$$y=\frac{8}{x}$$上，AB垂直x轴，求△AOB的面积。 2. 反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为9，求$$k$$的值。 3. 已知$$A(-1,y_1)$$、$$B(2,y_2)$$在$$y=\frac{4}{x}$$上，比较$$y_1、y_2$$的大小。 4. 一定体积的水，倒入不同底面积的容器中，水深h与容器底面积S成反比例，写出函数关系式。 2. 参数求解应用题（9分） 已知双曲线$$y=\frac{m}{x}$$，图象上任意一点与坐标轴围成矩形面积为16，且图象在二、四象限，求$$m$$的值。 3. 实际工程应用题（9分） 某项工程总量固定，若10人施工，12天完成。设施工人数为x，工作天数为y，求y与x的函数关系式，并求15人施工需要多少天完成。 参考答案 一、基础知识点填空 1. $$|k|$$；$$\frac{|k|}{2}$$ 2. $$k$$ 3. 小 4. 函数模型 5. 反 6. 反；反 7. 函数值 8. 正 二、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 三、解答题 1. 解：（1）$$S=\frac{|k|}{2}=\frac{8}{2}=4$$，三角形面积为4。 （2）矩形面积$$|k|=9$$，$$k=\pm9$$。 （3）$$y_1=-4，y_2=2$$，故$$y_1\lt y_2$$。 （4）设水的体积为$$V$$（定值），则$$h=\frac{V}{S}(S>0)$$。 2. 解：由题意得$$|m|=16$$，图象在二、四象限，$$m\lt0$$，故$$m=-16$$。 3. 解：工程总量$$10\times12=120$$，解析式$$y=\frac{120}{x}(x>0)$$；当$$x=15$$时，$$y=8$$，需要8天完成。 拓展思考题 思考：反比例函数面积模型为什么只和$$k$$有关，与点的位置无关？ 答：任意点横纵坐标乘积恒为$$k$$，矩形面积为横纵坐标绝对值乘积，因此面积固定为$$|k|$$，与点的位置无关。 （总字数：1020） 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. 能解决反比例函数与一次函数的综合问题． 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 新课引入 回顾 1.反比例函数具有什么性质？ 形状 双曲线 所在象限与性质 一、三象限 每象限内， 随 增大而减小 二、四象限 每象限内， 随 增大而增大 本节课我们将运用这些性质解决具体的数学问题，包括如何求反比例函数的解析式、如何判断点是否在函数图象上，以及如何利用增减性比较函数值的大小. 新知探究 探究 例1 已知反比例函数的图象经过点 . (1) 这个函数的图象位于哪些象限? 随 的增大如何变化? 想一想 要判断函数图象所在象限和增减性，需要先知道什么？ 要判断函数图象所在象限和增减性，需要知道的符号。 即,代入得 因此图象位于 第二、第四象限 在每一个象限内，随的增大而增大。 点 A 在第二象限，横纵坐标异号 新知探究 (2) 点 , , 是否在这个函数的图象上? 解得 因此, 这个反比例函数的解析式为 因为点 , 的坐标都满足 , 点 的坐标不满足 所以点 , 在函数 的图象上, 点 不在这个函数的图象上. 解：设这个反比例函数的解析式为 . 因为点 在其图象上, 所以点 的坐标满足 , 即 1. 返回 若反比例函数的图象经过点(3，5)，则反比例函数的解析式是(　　) A．y＝ B．y＝15x C．y＝－ D．y＝－15x A 举一反三 6 返回 2. 已知反比例函数y＝ 的图象经过A(4，4)，B(2，4)，C(1，8)中的两点，则反比例函数的解析式为________． 举一反三 返回 3. 已知点A(9，2)，B 在同一个反比例函数的图象上，则m的值为________． 6 举一反三 知识小结 思考 如何判断一个点是否在反比例函数的图象上？ 1.待定系数法求反比例函数解析式的步骤： ①设解析式； ②代入已知点坐标； ③解方程求 ； ④写出解析式。 2.判断点是否在反比例函数图象上的方法： 代入验证法，即点的坐标满足（或 ），则点在图象上。 新知探究 图象特征与参数范围、增减性综合应用 探究 例2 图中的曲线是反比例函数 的图象的一支。根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 的取值范围是什么？ 解得 想一想 反比例函数的图象有什么对称性？ 解：因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限． 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 新知探究 (2) 在这个函数图象的某一这支上任取点 A 和点 B 。如果 ，那么 和 有怎样的大小关系？ 想一想 图象位于第一、第三象限，说明满足什么条件？这里的是多少？ （2）因为 所以在这个函数图象的任意一支上 都随的增大而减小 因此当时，． 思考 知识小结 一般情况下，如何比较反比例函数值的大小？ 比较反比例函数值的大小时 ①首先要判断自变量是否同号（即两点是否在同一象限） ②再利用增减性比较； 若异号，则直接根据象限内函数值的正负比较。 返回 4. 如图，点A是反比例函数y＝ (x＞0)的图象上任意一点，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B，C，则四边形OBAC的面积为(　　) A．1.5 B．3 C．6 D．9 B 举一反三 如图，已知点P是反比例函数y＝ (k≠0，x<0)的图象上一点，过点P作PA⊥x轴于点A，且S△PAO＝4，则该反比例函数的解析式为(　　) 返回 5. C 举一反三 巩固训练1 待定系数法求反比例函数解析式 已知反比例函数的图象经过点（3，-4），求这个反比例函数的解析式。 【分析】设反比例函数解析式为 ，将已知点的横纵坐标代入解析式，解方程求出 的值，即可确定解析式。 解： 设这个反比例函数的解析式为 （ 为常数，）。 反比例函数的图象经过点（3，-4） 将 ， 代入解析式，得： 得： 这个反比例函数的解析式为 。 如图，点A，B分别是反比例函数y＝ 和y＝ 的部分图象上的点，AB∥x轴，则△ABO的面积为________． 返回 6. 2.5 举一反三 返回 7. 已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，点A的坐标是(1，1)，则点B的坐标是______________． (－1，－1) 举一反三 返回 8. [教材P73习题T6变式]函数y＝－kx与y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) C 举一反三 返回 9. [连云港中考] 如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝ (k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．－1＜x＜0或x＞1 D．－1＜x＜0或0＜x＜1 < C 举一反三 19 返回 10. 如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A(2，3)，B(n，－2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 解：把点A(2，3)的坐标分别代入y＝x＋b和y＝ ， 得3＝2＋b，3＝ ，解得b＝1，k＝6， ∴一次函数的解析式为y＝x＋1，反比例函数的解析式为y＝ . 举一反三 20 返回 (2)过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，求点B的坐标，并直接写出△ABC的面积． 解：把点B(n，－2)的坐标代入y＝x＋1，得n＝－3， ∴点B的坐标为(－3，－2)． S△ABC＝ 举一反三 21 返回 11. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝ (x＞0)及y2 ＝ (x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知k1－k2的值为8，则△OAB的面积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 举一反三 22 返回 12. 如图，直线y＝2x＋2及反比例函数y＝ (x＞0)的图象与两坐标轴之间的阴影部分(不包括边界)有5个整点(横、纵坐标都为整数)，则k的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 举一反三 23 13. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，边长为3的正方形ABCD的边都平行于坐标轴，点A的坐标为(a，a)，若曲线y＝ (x>0)与此正方形有交点，则a的取值范围是________． 返回 3<a≤6 举一反三 14. [东营中考]改编 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝ 的图象相交于点A和B(－4，－3)，点A的横坐标为2. (1)反比例函数的解析式为________，一次函数的解析式为____________； 返回 (2)观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围； 解：x≤－4或0＜x≤2. 举一反三 (3)点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标． 解：设一次函数y1＝ x＋3的图象与x轴交于点D， 当y1＝0时， x＋3＝0， 解得x＝－2，∴D(－2，0)， 设C(t，0)，则CD＝|t＋2|， ∵△ABC的面积为18，且S△ABC＝S△CDA＋S△CDB＝ CD(yA－yB)， 返回 举一反三 返回 ∴S△ABC＝ CD·(6＋3)＝18， ∴CD＝4，即|t＋2| ＝4，解得t＝2或t＝－6， ∴点C的坐标为(－6，0)或(2，0)． 举一反三 课堂总结 本节课你学到了什么？ 28 谢谢观看 THANKS y＝ A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝－ － . y2＝ y1＝x＋3 $