2.2.2 有理数的除法（课时1） 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“有理数的除法（课时1）”，核心知识包括除法法则、符号法则及除法与分数的关系。通过复习小学除法与乘法的逆运算关系导入，搭建新旧知识支架，为有理数除法法则的推导奠定基础。 资料亮点在于以核心素养为导向，通过探究式教学培养数学抽象与逻辑推理能力，如从具体算式归纳“除以一个数等于乘倒数”，结合例题对比两种法则提升运算素养。助力教师高效教学，帮助学生建立知识联系，发展数学思维。

2.2.2 有理数的除法（课时1） 课题 2.2.2 有理数的除法（课时1） 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标：1. 数学抽象：通过除法是乘法逆运算的关系，理解有理数除法法则的本质 2. 逻辑推理：从特殊到一般地归纳除法符号法则，培养归纳推理能力 3. 数学运算：能运用除法法则进行有理数除法运算，提升运算素养 4. 数学建模：用分数表示有理数除法的结果，建立除法与分数的联系 教学重难点：重点：有理数除法法则，除法符号法则 难点：灵活选择两种除法法则进行计算，理解除法与分数的关系 突破策略：通过将除法转化为乘法验证，对比两种法则的适用场景；通过分数与除法的类比，加深理解 一、情境导入 【过渡语】同学们，前面我们学习了有理数的加法、减法和乘法。在小学阶段，我们知道除法是乘法的逆运算。那么，在有理数范围内，除法与乘法之间是否仍然具有这种关系呢？这就是本节课要探究的内容。 教师提问：请同学们回忆，在小学阶段，除法和乘法有什么关系？举例说明。 学生回答：除法是乘法的逆运算。比如3乘4等于12，那么12除以4就等于3，12除以3就等于4。即如果a乘b等于c（a、b不为0），那么c除以b等于a，c除以a等于b。 教师引导：很好。在把除法推广到有理数范围内时，为使除法运算具有一致性，我们规定有理数的除法与乘法之间仍然具有这种关系。也就是说，有理数的除法仍然可以看作乘法的逆运算。 【知识点】本节课的研究思路：从"除法是乘法的逆运算"出发，推导有理数的除法法则，再归纳除法的符号法则，最后建立除法与分数的联系。 设计意图：通过复习小学阶段除法与乘法的关系，为引出有理数除法法则做铺垫。强调"一致性"——有理数范围内保持除法是乘法逆运算的关系，体现数学知识的连贯性。 二、探究新知 【过渡语】我们首先从"除法是乘法的逆运算"出发，探索有理数除法的计算方法。 1. 探究一：除法是乘法的逆运算 教师引导：请同学们看下面的问题。 教师提问：我们知道(−3)乘2等于−6，那么根据"除法是乘法的逆运算"，−6除以2等于多少？ 因为 ，所以 学生回答：因为(−3)乘2等于−6，所以−6除以2等于−3。 教师追问：同样地，我们知道(−3)乘(−2)等于6，那么6除以(−2)等于多少？ 因为 ，所以 学生回答：因为(−3)乘(−2)等于6，所以6除以(−2)等于−3。 教师进一步引导：同学们请看，−6除以2等于−3，6除以(−2)也等于−3。这说明除以一个数和乘以另一个数之间有某种联系。具体来说，除以2相当于乘以，除以(−2)相当于乘以(−)。请大家想一想，这是为什么？ 学生讨论后回答：因为2乘等于1，(−2)乘(−)等于1。也就是说，是2的倒数，(−)是(−2)的倒数。所以除以一个数就等于乘以这个数的倒数。 【知识点】除法是乘法的逆运算：如果a乘b等于c（b不为0），那么c除以b等于a。除以一个数等于乘以这个数的倒数。 设计意图：从"除法是乘法逆运算"出发，通过具体算式引导学生发现"除以一个数等于乘以它的倒数"这一规律。让学生经历从具体到抽象的归纳过程。 2. 探究二：有理数除法法则 【过渡语】从上面的探究中，我们发现除以一个数等于乘以这个数的倒数。下面我们来看一个具体的例子。 教师引导：请同学们看下面的算式。 计算： 教师提问：从上面的式子能看出，除以−4相当于乘上哪个数吗？ 学生回答：除以−4相当于乘上−。因为−4的倒数是−，所以8除以(−4)等于8乘以(−)。 即： 教师追问：为什么−4的倒数是−？学生回答：因为−4乘以(−)等于1，乘积为1的两个数互为倒数。所以−4的倒数是−。 教师总结：这就是有理数的除法法则——除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 用字母表示： 教师强调：这里有两个关键点。第一，除数不能为0，因为0没有倒数。第二，除法转化为乘法后，符号由乘法法则确定。 教师补充：这个法则说明，有理数的除法可以转化为乘法来计算。这样做的好处是，我们只需要掌握乘法法则，就能同时解决乘法和除法的问题。这也是数学中常用的"转化"思想——把未知问题转化为已知问题来解决。 【知识点】有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为a÷b = a×(1/b)（b≠0）。除法的本质是转化为乘法计算。 解题技巧 运用除法法则的步骤： ① 找除数的倒数（注意符号：负数的倒数仍是负数）； ② 将除法改为乘法； ③ 按乘法法则计算（同号得正，异号得负，绝对值相乘）。 设计意图：通过具体例子8÷(−4)，让学生理解"除以一个数等于乘以这个数的倒数"这一法则。强调除法转化为乘法的"转化"思想，培养学生的数学思维能力。 3. 探究三：除法符号法则 【过渡语】掌握了除法法则后，我们来观察几个除法算式，看看能否从中发现除法运算的符号规律。 教师引导：请同学们计算并观察下面的算式。 算式1： （异号两数相除） 算式2： （同号两数相除） 算式3： （异号两数相除） 算式4： （0除以非0数） 教师提问：观察这些算式，从中有什么新发现？ 学生回答：算式1和算式3是异号两数相除，转化为异号两数相乘，结果为负。算式2是同号两数相除，转化为同号两数相乘，结果为正。算式4是0除以一个非0数，结果为0。 教师追问：这与我们学过的乘法符号法则有什么联系？学生回答：除法转化为乘法后，符号就由乘法的符号法则确定。同号得正，异号得负。0乘任何数都得0，所以0除以任何非0数也得0。 教师进一步引导：很好。由于除法可以转化为乘法，所以除法的符号法则与乘法的符号法则是一致的。我们可以直接得到除法的符号法则，不需要每次都转化为乘法来判断符号。 有理数除法法则2（符号法则） 1. 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 2. 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 这是有理数除法法则的另一种说法。 【知识点】有理数除法符号法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值；（2）0除以任何不等于0的数，都得0。 教师强调：现在我们有两种方法做除法。方法一：除以一个数等于乘这个数的倒数（法则1）。方法二：先定符号（同号正、异号负），再算绝对值的商（法则2）。两种方法结果一致，可以根据题目特点选择更简便的方法。 学生活动：请同学们比较两种方法。学生讨论后回答：当除数容易求倒数时（如除数是整数或简单分数），用法则1更方便；当只需要判断符号或被除数和除数的绝对值容易相除时，用法则2更直接。 易错提示 ① 0不能作除数，这是除法运算的基本前提。 ② 0除以任何不等于0的数都得0，但任何数除以0都没有意义。 ③ 两数相除的符号法则与乘法一致：同号得正，异号得负。 ④ 注意区分"0作被除数"（结果为0）和"0作除数"（无意义）两种情况。 设计意图：通过将除法转化为乘法的计算，让学生自主发现除法的符号法则与乘法一致。两种法则的对比帮助学生灵活选择计算方法。易错提示强化对"0不能作除数"的理解。 4. 探究四：有理数的分数表示 【过渡语】在学习了有理数的除法后，我们可以用分数来表示有理数的除法结果。 教师引导：同学们已经知道，在小学阶段，分数可以看作两个整数相除的结果。比如3除以5等于。在有理数范围内，这个关系同样成立。 例如： 教师提问：观察上面的算式，分数的符号有什么规律？ 学生回答：分数的符号规律与除法一致。被除数和除数同号时，分数为正；异号时，分数为负。也就是说，分数的符号由分子和分母的符号决定——同号得正，异号得负。 教师补充：在实际书写中，我们通常把分数的符号写在分数的前面。比如(−3)÷5 = −，而不是把负号放在分母上写成3/(−5)。虽然两者大小相等，但前者的书写更规范。 教师强调：分数也可以化简。比如(−6)÷(−4) = = ，分子分母同除以最大公因数2。注意化简时符号不要弄错——同号相除得正，所以结果是正数。 【知识点】有理数的分数表示：有理数的除法可以用分数表示。a÷b = a/b（b≠0）。分数的符号法则与除法一致：分子分母同号得正，异号得负。分数可以约分化简。 设计意图：建立除法与分数的联系，让学生理解分数本质上是除法的一种表示形式。通过具体例子帮助学生掌握分数的符号规律和化简方法。 三、例题精讲 【过渡语】掌握了有理数的除法法则和符号法则后，我们来看几道例题。 例1 运用除法法则计算 计算： 审题分析 本题是(−18)除以6，异号两数相除。可以用两种方法计算：方法一，将除法转化为乘法（乘以6的倒数）；方法二，先定符号，再算绝对值的商。 解题过程 方法一（转化为乘法）： 解：(−18)÷6 = (−18)×() = −(18×) = −3 方法二（符号法则）： 解： 教师说明：方法一直接运用除法法则，将除法转化为乘法；方法二运用符号法则，先判断符号（异号得负），再算绝对值的商（18÷6=3）。两种方法结果一致。 方法总结 解题技巧 有理数除法的两种方法： 方法一（法则1）：除以一个数等于乘这个数的倒数，再按乘法法则计算。 方法二（法则2）：先定符号（同号正、异号负），再算绝对值的商。 选择原则：除数容易求倒数时用方法一，只需判断符号或绝对值易除时用方法二。 变式训练 计算：（1） （2） （3） 学生完成后汇报： （1）(−36)÷9：异号得负，36÷9=4，结果为−4。 （2）(−12)÷(−4)：同号得正，12÷4=3，结果为3。 （3）0÷(−7)：0除以任何非0数都得0，结果为0。 例2 含分数的除法 计算： 审题分析 本题是两个分数相除，(−)除以(−)。同号两数相除，结果为正。可以将除法转化为乘法——乘以除数的倒数。 解题过程 解：(−)÷(−) = (−)×(−) = ()/() = 教师说明：除以(−)等于乘以(−)的倒数(−)。两个负数相乘得正数，所以结果为。注意最后结果要化简为最简分数。 教师追问：为什么(−)的倒数是(−)？学生回答：因为(−)×(−) = ()/() = = 1，乘积为1，互为倒数。注意负数的倒数仍是负数。 变式训练 计算：（1） （2） 学生完成后汇报： （1）(−)÷(−) = (−)×(−) = ()/() = = 2。同号得正，结果为2。 （2）(−)÷() = (−)×() = −()/() = − = −2。异号得负，结果为−2。 方法总结 解题技巧 分数除法的计算步骤： ① 求除数的倒数（分子分母互换，符号不变）； ② 将除法改为乘法； ③ 按乘法法则计算（同号正、异号负）； ④ 结果化简为最简分数。 例3 化简分数 化简： 审题分析 本题要求化简(−6)÷(−4)的结果。首先判断符号——同号相除得正，所以结果为正数。然后计算绝对值的商，再约分化简。 解题过程 解：(−6)÷(−4) = = 教师说明：同号相除得正，所以结果为。分子分母同除以最大公因数2，得到最简分数。 变式训练 化简：（1） （2） 学生完成后汇报： （1）8÷(−12)：异号得负， = ，结果为−。 （2）(−5)÷(−25)：同号得正， = ，结果为。 教师追问：化简分数时，符号怎么处理？学生回答：先根据分子分母的符号确定分数的符号（同号正、异号负），把符号写在分数前面，然后对绝对值进行约分化简。 设计意图：通过三个例题，分别训练整数除法、分数除法和分数化简。每个例题按照"审题分析→解题过程→方法总结→变式训练"的流程展开，帮助学生形成规范的解题习惯。两种方法的对比让学生灵活选择计算策略。 课堂小结 【过渡语】今天这节课我们学习了有理数的除法，让我们一起来回顾本节课的主要内容。 1. 有理数除法法则 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b = a×(1/b)（b≠0）。 法则2（符号法则）：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值。0除以任何不等于0的数，都得0。 【知识点】本节课核心知识：1. 有理数除法法则（除以一个数等于乘这个数的倒数）；2. 除法符号法则（同号正、异号负、0除以非0数得0）；3. 有理数的分数表示及化简。 2. 除法与分数的关系 有理数的除法可以用分数表示：a÷b = a/b（b≠0）。分数的符号法则与除法一致：分子分母同号得正，异号得负。 3. 方法总结 归纳总结 有理数除法记忆口诀： 除法法则记心间，除以变乘倒数值； 符号法则同乘法，同号得正异号负； 零除以谁都是零，零作除数不可以； 分数就是除法变，化简约分要牢记。 4. 易错点提醒 易错提示 ① 0不能作除数，但0可以作被除数（结果为0）。 ② 负数的倒数仍是负数，如(−4)的倒数是(−1/4)，不是1/4。 ③ 同号相除得正，异号相除得负——与乘法一致。 ④ 分数化简时，先定符号再约分，不要弄错符号。 ⑤ 两种法则灵活选择：除数易求倒数用法则1，只需定符号用法则2。 学科网（北京）股份有限公司 $