1.5 二次函数的应用 同步课时练 练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第1章  二次函数

1.5  二次函数的应用  同步课时练

【教材版本】浙教版九年级上册　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 能从实际问题中建立二次函数模型，体会数学建模思想；

2. 掌握利用二次函数求最值的方法，解决面积最大、利润最大等实际问题；

3. 能将抛物线形的实际问题（桥梁、投掷等）转化为二次函数求解。

【知识梳理】

一、解题步骤

◆  第1步：审题，明确变量和常量，设自变量；

◆  第2步：建立二次函数关系式 y = ax² + bx + c；

◆  第3步：配方或用公式求最值；

◆  第4步：结合实际意义确定自变量取值范围，验证结果；

◆  第5步：作答。

二、常见应用类型

◆  面积最大问题：矩形/三角形面积 = 底×高/2，用周长约束建立函数；

◆  利润最大问题：利润 = (售价 - 成本) × 销量，涨价则销量减少；

◆  抛物线形问题：桥拱、隧道、喷泉等，建立坐标系转化为二次函数；

◆  运动轨迹问题：竖直上抛 h = -½gt² + v₀t + h₀。

口诀：审题设变量，建模列函数；配方求最值，检验莫忘掉。

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一、选择题（每小题5分，共25分）

1．用长为 50 m 的篱笆一面靠墙围矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 x m，面积 S 关于 x 的函数表达式为（    ）

A．S = x(50 - 2x)

B．S = x(50 - x)

C．S = 2x(50 - x)

D．S = x(25 - x)

2．某商品进价 10 元，售价 x 元时日销量为 (100 - 5x) 件，则日利润 y 与 x 的函数关系为（    ）

A．y = (x - 10)(100 - 5x)

B．y = x(100 - 5x)

C．y = (x + 10)(100 - 5x)

D．y = (x - 10)(100 + 5x)

3．小球被竖直上抛，高度 h（m）与时间 t（s）的关系为 h = -5t² + 20t，则小球达到的最大高度为（    ）

A．10 m

B．15 m

C．20 m

D．25 m

4．用一段 40 cm 的铁丝围成矩形，当矩形面积最大时，矩形的长和宽分别为（    ）

A．12 cm 和 8 cm

B．10 cm 和 10 cm

C．15 cm 和 5 cm

D．14 cm 和 6 cm

5．某抛物线形桥拱的跨度为 8 m，拱高为 4 m，建立适当的坐标系后，拱形抛物线的解析式可能为（    ）

A．y = -¼x² + 4

B．y = -½x² + 4

C．y = -x² + 4

D．y = -¾x² + 4

二、填空题（每小题5分，共25分）

6．用 36 m 长的篱笆围成矩形场地，则面积 S（m²）与一边长 x（m）的函数关系式为 S = ____________，当 x = ______ 时，面积最大。

7．某商品进价 20 元，售价 30 元时每天可卖出 200 件。售价每提高 1 元，日销量减少 10 件，则日利润 y 与售价 x 的函数关系式为 y = ____________。

8．火箭发射后高度 h（m）与时间 t（s）的关系为 h = -10t² + 200t，则火箭落地时间为 ______ s。

9．一个窗户的形状是矩形上面加一个半圆，矩形长为 2x，半圆半径为 x。若窗户总周长（不含底边）为 6 m，则窗户面积 S 与 x 的函数关系式为 S = ____________。

10．旅行社组织 30 人团，每人费用 200 元。每增加 1 人，每人费用降低 5 元，则总收入 y 与增加人数 x 的函数关系式为 y = ____________。

三、解答题（共20分）

11．（10分）如图，用 50 m 长的篱笆一面靠墙围一个矩形花圃，墙长 30 m。

设垂直于墙的一边长为 x m。

（1）写出面积 S 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围；

（2）当 x 为何值时，花圃面积最大？最大面积是多少？

 

 

 

 

12．（10分）某商店销售一种饰品，进价 12 元/件，售价 20 元时，日均销量 100 件。

调查发现：售价每提高 1 元，日均销量减少 5 件。

（1）设每件涨价 x 元，日均利润 y 元，求 y 关于 x 的函数表达式；

（2）当售价定为多少元时，日均利润最大？最大利润是多少？