1.5 二次函数的应用 同步课时练 练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数应用，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，覆盖建模、求最值等核心目标，通过实际情境问题培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|面积、利润等单一模型|选择填空聚焦关系式建立，如矩形面积函数表达式| |能力提升|含约束条件的综合应用|解答题结合墙长限制求面积最值，培养运算能力| |拓展探究|跨情境复杂问题|隧道截面问题融合坐标系建立与实际安全判断，发展数学眼光|

第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 同步课时练 【教材版本】浙教版九年级上册　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分 【学习目标】 1. 能从实际问题中建立二次函数模型，体会数学建模思想； 2. 掌握利用二次函数求最值的方法，解决面积最大、利润最大等实际问题； 3. 能将抛物线形的实际问题（桥梁、投掷等）转化为二次函数求解。 【知识梳理】 一、解题步骤 ◆ 第1步：审题，明确变量和常量，设自变量； ◆ 第2步：建立二次函数关系式 y = ax² + bx + c； ◆ 第3步：配方或用公式求最值； ◆ 第4步：结合实际意义确定自变量取值范围，验证结果； ◆ 第5步：作答。 二、常见应用类型 ◆ 面积最大问题：矩形/三角形面积 = 底×高/2，用周长约束建立函数； ◆ 利润最大问题：利润 = (售价 - 成本) × 销量，涨价则销量减少； ◆ 抛物线形问题：桥拱、隧道、喷泉等，建立坐标系转化为二次函数； ◆ 运动轨迹问题：竖直上抛 h = -½gt² + v₀t + h₀。 口诀：审题设变量，建模列函数；配方求最值，检验莫忘掉。 ────────────────────────────────────────────────── 一、选择题（每小题5分，共25分） 1．用长为 50 m 的篱笆一面靠墙围矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 x m，面积 S 关于 x 的函数表达式为（ ） A．S = x(50 - 2x) B．S = x(50 - x) C．S = 2x(50 - x) D．S = x(25 - x) 2．某商品进价 10 元，售价 x 元时日销量为 (100 - 5x) 件，则日利润 y 与 x 的函数关系为（ ） A．y = (x - 10)(100 - 5x) B．y = x(100 - 5x) C．y = (x + 10)(100 - 5x) D．y = (x - 10)(100 + 5x) 3．小球被竖直上抛，高度 h（m）与时间 t（s）的关系为 h = -5t² + 20t，则小球达到的最大高度为（ ） A．10 m B．15 m C．20 m D．25 m 4．用一段 40 cm 的铁丝围成矩形，当矩形面积最大时，矩形的长和宽分别为（ ） A．12 cm 和 8 cm B．10 cm 和 10 cm C．15 cm 和 5 cm D．14 cm 和 6 cm 5．某抛物线形桥拱的跨度为 8 m，拱高为 4 m，建立适当的坐标系后，拱形抛物线的解析式可能为（ ） A．y = -¼x² + 4 B．y = -½x² + 4 C．y = -x² + 4 D．y = -¾x² + 4 二、填空题（每小题5分，共25分） 6．用 36 m 长的篱笆围成矩形场地，则面积 S（m²）与一边长 x（m）的函数关系式为 S = ____________，当 x = ______ 时，面积最大。 7．某商品进价 20 元，售价 30 元时每天可卖出 200 件。售价每提高 1 元，日销量减少 10 件，则日利润 y 与售价 x 的函数关系式为 y = ____________。 8．火箭发射后高度 h（m）与时间 t（s）的关系为 h = -10t² + 200t，则火箭落地时间为 ______ s。 9．一个窗户的形状是矩形上面加一个半圆，矩形长为 2x，半圆半径为 x。若窗户总周长（不含底边）为 6 m，则窗户面积 S 与 x 的函数关系式为 S = ____________。 10．旅行社组织 30 人团，每人费用 200 元。每增加 1 人，每人费用降低 5 元，则总收入 y 与增加人数 x 的函数关系式为 y = ____________。 三、解答题（共20分） 11．（10分）如图，用 50 m 长的篱笆一面靠墙围一个矩形花圃，墙长 30 m。 设垂直于墙的一边长为 x m。 （1）写出面积 S 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，花圃面积最大？最大面积是多少？ 12．（10分）某商店销售一种饰品，进价 12 元/件，售价 20 元时，日均销量 100 件。 调查发现：售价每提高 1 元，日均销量减少 5 件。 （1）设每件涨价 x 元，日均利润 y 元，求 y 关于 x 的函数表达式； （2）当售价定为多少元时，日均利润最大？最大利润是多少？ 四、能力提升（共20分） 13．（8分）一个高尔夫球被击出后，飞行高度 h（m）与水平距离 x（m）的关系为 h = -¾x² + ⅐x（x ≥ 0）。 （1）求球飞行的最大高度； （2）球落地时距击球点多远？ （3）球在飞行过程中，高度超过 15 m 的水平距离范围是多少？ 14．（12分）某养殖户承包一片鱼塘，年固定成本 5 万元。已知鱼的市场售价为 a 元/千克， 产量为 (50 - a) 万千克（a 为售价，10 ≤ a ≤ 40）。 （1）设年利润为 W 万元，求 W 关于 a 的函数表达式； （2）当售价定为多少元/千克时，年利润最大？最大利润是多少？ （3）若要保证年利润不低于 100 万元，求售价 a 的取值范围。 五、拓展探究（共10分） 15．（10分）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成。已知矩形宽 8 m、高 2 m， 抛物线最高点距地面 6 m。以矩形底边所在直线为 x 轴， 对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系。 （1）求抛物线的解析式； （2）若隧道内设双向行车道，中间隔离带宽 1 m，每条车道宽 3.5 m。一辆高 4.5 m 的货车能否安全通过？请通过计算说明； （3）如果隧道内水位上涨到距地面 1 m 时（即 y = 1），隧道内水面宽度是多少？ 参考答案与解析 一、选择题 1．A 垂直于墙的两边各 x m，平行于墙的一边为 (50-2x) m，S = x(50-2x)。 2．A 利润 = (售价-进价)×销量 = (x-10)(100-5x)。 3．C h = -5(t²-4t) = -5(t-2)² + 20，t=2 时最大高度 20 m。 4．B 周长 40 → 长+宽=20。设长 x，面积 S=x(20-x)=-x²+20x，x=10 时最大。即正方形 10×10。 5．A 跨度 8 m 即 x = ±4 时 y = 0，拱高 4 即 x=0 时 y=4。y = -a × 16 + 4 = 0 → a = ¼。 二、填空题 6．S = -x² + 18x；x = 9 长+宽 = 18，S = x(18-x) = -x²+18x，x = 9 时 S_max = 81。 7．y = -10x² + 300x - 1400 利润 = (x-20)(200-10(x-30)) = (x-20)(500-10x) = -10x²+700x-10000+300x-2000... 简化：(x-20)(500-10x) = 500x-10x²-10000+200x = -10x²+700x-10000。 8．20 h = -10t² + 200t = 0 → t(-10t+200) = 0 → t = 0 或 t = 20。 9．S = 2x² + ½πx² 矩形面积 = 2x·2x... 不对。设矩形宽 2x、高 h。周长（不含底）= 2h + 2x + πx = 6 → h = (6-2x-πx)/2。S = 2x·h + ½πx²。 10．y = -5x² + 50x + 6000 人数 = 30+x，每人费用 = 200-5x，y = (30+x)(200-5x) = 6000-150x+200x-5x² = -5x²+50x+6000。 三、解答题 11．解：（10分） (1) S = x(50 - 2x) = -2x² + 50x。 由 0 < 50 - 2x ≤ 30，得 10 ≤ x < 25。 即 x 的取值范围为 10 ≤ x < 25。（5分） (2) S = -2(x² - 25x) = -2(x - 12.5)² + 312.5。 ∵ 10 ≤ 12.5 < 25，∴ 当 x = 12.5 时，S_max = 312.5 (m²)。（5分） 12．解：（10分） (1) 涨价 x 元后，每件利润 (20+x-12) = (8+x) 元，日销量 (100-5x) 件。 y = (8+x)(100-5x) = 800 - 40x + 100x - 5x² = -5x² + 60x + 800。（5分） (2) y = -5(x² - 12x) + 800 = -5(x - 6)² + 180 + 800 = -5(x - 6)² + 980。 当 x = 6 时，y_max = 980 元。此时售价 = 20 + 6 = 26 元。 即售价定为 26 元时，日均利润最大，为 980 元。（5分） 四、能力提升 13．解：（8分） h = -¾x² + ⅐x = -¾(x² - 60x) = -¾(x - 30)² + ¾ × 900 = -¾(x - 30)² + 225。 (1) 最大高度为 225 m（x = 30 时）。（3分） (2) 落地时 h = 0：-¾x² + ⅐x = 0 → x(-¾x + 30) = 0 → x = 0 或 x = 40。 落地距击球点 40 m。（2分） (3) h > 15：-¾(x - 30)² + 225 > 15 → (x - 30)² < 280 → |x - 30| < √280 ≈ 16.7 ∴ 13.3 < x < 46.7，但 x ≤ 40（落地距离）， 所以高度超过 15 m 的水平距离范围约为 13.3 m 到 40 m。（3分） 14．解：（12分） (1) 收入 = a·(50-a) 万元， W = a(50-a) - 5 = -a² + 50a - 5（10 ≤ a ≤ 40）。（4分） (2) W = -(a² - 50a) - 5 = -(a - 25)² + 625 - 5 = -(a - 25)² + 620。 ∵ 10 ≤ 25 ≤ 40，∴ 当 a = 25 时，W_max = 620 万元。 即售价定为 25 元/千克时，年利润最大为 620 万元。（4分） (3) W ≥ 100：-a² + 50a - 5 ≥ 100 → a² - 50a + 105 ≤ 0。 a = (50 ± √(2500-420))/2 = (50 ± √2080)/2 ≈ (50 ± 45.6)/2。 a₁ ≈ 2.2，a₂ ≈ 47.8。 结合 10 ≤ a ≤ 40，得 10 ≤ a ≤ 40（整个范围内 W ≥ 100）。 实际上 W(10) = -100+500-5 = 395 ≥ 100，W(40) = -1600+2000-5 = 395 ≥ 100。 所以 a 的取值范围为 10 ≤ a ≤ 40。（4分） 五、拓展探究 15．解：（10分） 建立坐标系：底边中心为原点，则矩形底边从 x = -4 到 x = 4。 矩形高 2 m，抛物线顶点在 (0, 6)，抛物线过点 (±4, 2)。 (1) 设 y = ax² + 6，代入 (4, 2)：2 = 16a + 6 → a = -¼。 ∴ 抛物线解析式 y = -¼x² + 6（|x| ≤ 4）。（3分） (2) 车道总宽：1 + 3.5×2 = 8 m，恰好等于隧道底部宽度。 最外侧车道边缘距中心线 4 - 3.5 = 0.5 m 和 4 m。 货车高 4.5 m，在 x = ±4 处（车道最外侧）： y = -¼ × 16 + 6 = 2 m < 4.5 m，不安全。 实际上货车应靠隧道中心行驶。在 x = 3.5 处： y = -¼ × 12.25 + 6 = 2.9375 m < 4.5 m，仍不安全。 所以该货车不能安全通过。（4分） (3) y = 1 时：-¼x² + 6 = 1 → x² = 20 → x = ±2√5。 水面宽度 = 4√5 ≈ 8.9 m。（3分） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $