专题1.5 三角函数的应用+利用三角函数测高 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

**基本信息** 本练习以“三角函数应用与测高”为核心，通过“基础达标-能力提升-拓展培优”三层设计，实现从单一知识应用到综合问题解决的梯度进阶，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|三角函数定义、解直角三角形基础应用|以梯子靠墙、河宽测量等生活化情境为主，8选择+4填空+3解答，巩固公式直接应用| |能力提升|方向角、俯/仰角综合计算、实际问题建模|结合无人机飞行、海关缉私等动态情境，5选择+2填空+3解答，培养数学思维与推理能力| |拓展培优|动态几何、跨情境综合应用、创新问题解决|通过正方形动点、校园平面测量等复杂问题，3选择+2填空+2解答，发展创新意识与应用能力|

三角函数的应用+利用三角函数测高 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，在中，， ∴． 2．如图，中，，，，则高约为（   ） （精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到，在中，利用求解即可． 【详解】解：， 是等腰三角形， 是的高， ， 在中，． 3．如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据正切函数可求河宽的长度． 【详解】解：根据题意可知， ， 米，， （米）． 4．如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先由平行线的性质得到，在中，由余弦函数定义列式计算即可． 【详解】解：由平行线性质可知， 在中，，米，则， （米）． 5．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡的坡比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，即可计算答案． 【详解】解：， 斜坡的坡比是． 6．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和相交于点， ， ， ， ， ． 7．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用正弦定义求出即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，，， ∴， ∴， ∴档案盒的厚度为． 8．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为120米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为俯角的定义，所以可得出，，因为，米，，所以可分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长度，将求出的和相加即可得到的长度． 【详解】解： 由图可知水平线， ∴，， 又∵，米，。 在中，，代入得： 米， 在中，，代入得： 米， ∴米． 二、填空题 9．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 【答案】 【分析】先得出时，安全攀上墙的高度最高，再利用角的正弦函数求解即可． 【详解】解：∵要使用这个梯子安全攀上墙的高度最高， ∴应尽可能大， ∵， ∴当时，安全攀上墙的高度最高， ∵梯子长， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是． 10．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：由题意可知，，，， ， 海里， 海里， 即处与处的距离约是． 11．如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为_______． 【答案】 【分析】根据坡度比为，即坡角的正切值，可得，利用直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：坡比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 【答案】31 【详解】解：如图，过点C作于点，则，，， ∴, ∴（米）． 三、解答题 13．如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，） (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为 (2)派送员能在内到达驿站 【分析】（1）过点作于点，于点，结合PQ长度和，可计算出PB的长度，证明四边形是矩形，得的长度，由与，即可求出的长度； （2）由总路程计算总时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， 由题意得，，，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：驿站P与驿站N之间的距离约为． （2）解：根据题意可得，， ， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 14．高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用，所以修高速公路遇山需开凿隧道．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：） 【答案】点E与点D之间的距离是640米 【分析】利用三角形外角的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中，， ， 答：点E与点D之间的距离是640米． 15．香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】先理解题意，在中，把数值代入整理得，同理得，然后，最后计算，即可作答． 【详解】解：依题意，得米，，， ∵， ∴在中， 则； ∴在中， 则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴米． ∴香积寺塔的高度（米）． 能力提升 1、 选择题 1．如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确（   ）    A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 【答案】A 【分析】对于甲同学的作法，先证明进而得到，然后利用平行线内错角相等即可得出结论；对于乙同学的作法，先证明，然后通过构造，即可得出结论． 【详解】解：设每个单元格的边长为， 根据甲同学的作法，． 在中， ． ． ． ， ． ，故甲同学的作法是对的； 对于乙同学的作法，如图， ， ， ， ， ． ． 连接，对于和， ， ． ． 乙同学的作法也是对的． 2．如图，某海关缉私艇巡逻到达A处时，接到情报，在A处北偏西方向的B处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C处截住可疑船只，则该艇的速度约为 （   ）． A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】C 【分析】如图，设的长为x，可得，根据经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，可知海里，由可得关于x的方程，解方程求出x的值，据此计算即可得到该艇的速度． 【详解】解：如图，设的长为x，由于点C在点A的北偏西的方向上， ∴， 由于点B在点A的北偏西的方向上， ∴， 在中,，， 即， ∴， 解得， ∴（海里）， 答：该艇的速度是46海里/时． 3．市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】由已知可求，在中，可表示，可证四边形为矩形，则米，则可求． 【详解】解：∵， ∴， 在中， （米）， ∵由题意可知， ∴四边形为矩形， ∴（米）， ∴米． 4．平台高为，在处测得楼房顶部点的仰角为，底部点的俯角为，则楼房的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形，本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：如图，过点作， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ． 5．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， 若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过． 2、 填空题 6．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯A离地面的距离为a米，则该车大灯照亮地面的宽度是_______米．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，解直角三角形分别求得、的长，从而可以求得的长． 【详解】解：作于点D，如图所示， 由题意可得，米，，，， ∴米，米， ∴米． 7．如图，为方便行动不便的群众出行，某小区打算对小区楼梯口出口处的无障碍通道进行改造，改造前，，现将斜坡延长，使得，则此时通道斜坡的坡比为______． 【答案】 【分析】设，，，所以，因为，得，进而求出坡比． 【详解】解：设， 在中，，， ∴ ， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 3、 解答题 8．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再解直角三角形求出的长即可； （2）求出的长，进而求出的长；过点作于点，则四边形为矩形，可得，，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 在中，，， ∴， 答：无人机的高度为； （2）解：根据题意得：， ∴， 如图，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ． 答：的长度约为． 9．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点处和楼顶处起飞竖直上升，其中点距离楼顶边缘点的水平距离为，从地面点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离；（结果保留整数，，tan31°） (2)分别求两架无人机距离地面的高度与无人机上升时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据求出，再加上可得答案； （2）将点代入可得答案；再将点代入，求出解即可； （3）当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好为，可得，再求出解，然后根据时间差得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 由图（2）知无人机乙刚起飞时离地面的高度， ∴， 解得， 则， 所以起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； 设无人机乙距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是， ∴当两架无人机垂直距离为15米时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好为，即， ∴， 解得或， ∴ 所以一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 10．在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事，现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑，． (1)求的大小及的值； (2)在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）为，求透光长度比原来增大多少？（，结果保留两位小数） 【答案】(1)，米 (2)透光长度比原来增大了0.98米 【分析】（1）由题意易得米，然后可得，进而问题可求解； （2）连接并延长交的延长线于点G，由题意易得米，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∵厘米米， ∴米， ∴， 又∵， ∴； （2）解：将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）为，如图，连接并延长交的延长线于点G， ∵厘米米， ∴米， 根据题意得：，， ∴（米）， ∴（米） 答：透光长度比原来增大了0.98米． 拓展培优 一、选择题 1．如图，在中，，点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动．点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动．若，，连接，，．有下列结论：①点P可以到达C点；②的面积可以为；③至少有两个时刻，的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先计算到达C点的时间为：（秒），可以判断①；设运动时间为x秒，根据题意，得，，则，当时，；当时，，过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，当点P在上运动时，过点P作于点G，利用分类思想，解方程求解即可． 【详解】解：， ， 故点P运动的路程为， 点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动， 故到达C点的时间为：（秒）， 点Q运动的路程为， 点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动， 故到达B点的时间为：（秒）， 根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求， 得到P先到达，然后Q停止运动， 故①正确； 设运动时间为x秒，根据题意，得，，则， 当时，；当时，， 过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F， ， ， ，， ，， 的面积可以为， ， 解得， ， 根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求，此时点Q早已停止运动， 故不可能， 故②错误； 当点P在上运动时，过点P作于点G， 则， ， 的面积为， ， 整理，得， ， 故， 故，舍去； ，符合题意， 此时； 当点P在上运动时， ， 的面积为， ， 整理，得， 解得， 满足的条件， 此时； 故至少有两个时刻，的面积为． 故③正确． 2．如图，在正方形的对角线上取一点E．使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形、相似三角形的判定及性质等，证明，即可判定结论①是否正确；在上取一点，使得，可求得为等边三角形，进而证明，进而可判定结论②是否正确；连接，可求得，进而可求得，的长度，结合，进而可判定结论③是否正确；容易证明，得到，结合，即可判定结论④是否正确． 【详解】 因为四边形为正方形， 所以，． 又因为． 所以． 所以． 结论①正确 如图所示，在上取一点，使得． 因为， 所以． 所以． 所以为等边三角形． 所以，． 因为， 所以． 所以，． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以． 结论②正确 如图所示，连接． 根据题意可知． 因为四边形为正方形， 所以，，． 所以． 所以，． 所以，． 所以． 所以． 结论③正确． 因为， 所以． 又因为． 所以． 所以． 因为． 所以． 结论④错误． 综上所述，结论①②③正确． 故选：A 3．已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米． A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质以及已知条件得到，再根据三角形内角和定理得到，根据余弦和正切的定义求出，然后根据线段的和差求出，再解直角三角形求出，最后求得即可． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题 4．如图，在四边形中，，，平分，E为边的中点，连接交于F．若，则线段_____ 【答案】 【分析】延长交于点G，证明等边三角形，，利用特殊角的三角函数求解即可． 【详解】解：延长交于点G， ，平分，， ， ∴， ， ∴等边三角形， ，， ∴， ，， ， ， ，， 连接， E为边的中点， ， ，， ∴， ∴， ∴， 解得． 5．如图，张明家附近有一斜坡米，其坡度，斜坡上有一古树，点F为的中点，，张明在山底A处看古树树顶E的仰角为，则古树的高为______米． 【答案】20 【分析】根据坡度求出坡角的度数，结合仰角求出的度数，利用三角形外角的性质求出的度数，从而判定为等腰三角形，利用中点性质求出的长即可得出的长． 【详解】解：斜坡的坡度， ， ， 在处看古树树顶的仰角为， ， ， 是的外角，且， ， ， ， 点为的中点， ， ， ∴古树的高为20米． 三、解答题 6．如图是某校的部分平面展示图，为一教楼，体育馆在的正西方向，二教楼、图书馆均在的西北方向上，在三教楼的北偏东方向300米处，在的正东方向，在的正南方向150米处．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)某一时刻，学生甲从三教楼出发，以1米每秒的速度前往图书馆；同时学生乙从一教楼出发，以2米每秒的速度慢跑去往体育馆．在行进过程中，求两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间． 【答案】(1)米； (2)秒． 【分析】（1）作于点F，于点G，根据进行解答即可； （2）如图，于点，交于点，设两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间为．求出,,据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：作于点F，于点G，则，则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由题意可得，， ∴， 在中，， ∴ 即的长度为米； （2）如图，于点，交于点，则， 设两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间为． 则, 则 则 由（1）可得， ∴， ∴ ∴, ∵ ∴ 解得 即两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间为秒． 7．为测量某建筑物的高度，数学兴趣小组先从与建筑物底部在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得建筑物顶部的俯角为，底部的俯角为，求该建筑物的高度．(参考数据：，，结果保留整数．) 【答案】求该建筑物的高度米 【分析】过点作于，作于，如图所示，根据坡度定义，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，根据题意，利用矩形的判定得到四边形是矩形，解求得，解求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：过点作于，作于，如图所示： ∵沿斜面坡度为的斜坡前进到达点， ∴，且， 设， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：或（负值不合题意，舍去）， ， ， 四边形是矩形，则， 在中，， 在中，， 答：求该建筑物的高度米． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的应用+利用三角函数测高 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，则高约为（   ） （精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 3．如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．“坡比”常用来反映斜坡的倾斜程度，如图是某水库坝体的横截面及相关数据，则斜坡的坡比是（   ） A． B． C． D． 6．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（   ） A． B． C． D． 7．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 8．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为120米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 10．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 11．如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为_______． 12．如图,两幢楼间距为40米,某时太阳光线与水平线的夹角为,光线经过一号楼楼顶A照射在二号楼的一楼窗台上（窗台高1米）,则一号楼的高度为__________米．（参考数据：,,） 三、解答题 13．如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，） (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 14．高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用，所以修高速公路遇山需开凿隧道．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：） 15．香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 能力提升 1、 选择题 1．如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确（   ）    A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错 2．如图，某海关缉私艇巡逻到达A处时，接到情报，在A处北偏西方向的B处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C处截住可疑船只，则该艇的速度约为 （   ）． A．44 B．45 C．46 D．47 3．市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．平台高为，在处测得楼房顶部点的仰角为，底部点的俯角为，则楼房的高度为（    ） A． B． C． D． 5．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 2、 填空题 6．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线、与地面所夹的锐角分别是和．大灯A离地面的距离为a米，则该车大灯照亮地面的宽度是_______米．（不考虑其他因素）（参考数据：，，，）． 7．如图，为方便行动不便的群众出行，某小区打算对小区楼梯口出口处的无障碍通道进行改造，改造前，，现将斜坡延长，使得，则此时通道斜坡的坡比为______． 3、 解答题 8．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 9．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点处和楼顶处起飞竖直上升，其中点距离楼顶边缘点的水平距离为，从地面点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离；（结果保留整数，，tan31°） (2)分别求两架无人机距离地面的高度与无人机上升时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 10．在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事，现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑，． (1)求的大小及的值； (2)在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）为，求透光长度比原来增大多少？（，结果保留两位小数） 拓展培优 一、选择题 1．如图，在中，，点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动．点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动．若，，连接，，．有下列结论：①点P可以到达C点；②的面积可以为；③至少有两个时刻，的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在正方形的对角线上取一点E．使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 3．已知某仓储中心有一个斜坡，B，C在同一水平地面上，，其横截面如图．现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米． A．6 B． C． D． 二、填空题 4．如图，在四边形中，，，平分，E为边的中点，连接交于F．若，则线段_____ 5．如图，张明家附近有一斜坡米，其坡度，斜坡上有一古树，点F为的中点，，张明在山底A处看古树树顶E的仰角为，则古树的高为______米． 三、解答题 6．如图是某校的部分平面展示图，为一教楼，体育馆在的正西方向，二教楼、图书馆均在的西北方向上，在三教楼的北偏东方向300米处，在的正东方向，在的正南方向150米处．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)某一时刻，学生甲从三教楼出发，以1米每秒的速度前往图书馆；同时学生乙从一教楼出发，以2米每秒的速度慢跑去往体育馆．在行进过程中，求两人的连线第一次与的夹角为时所用的时间． 7．为测量某建筑物的高度，数学兴趣小组先从与建筑物底部在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得建筑物顶部的俯角为，底部的俯角为，求该建筑物的高度．(参考数据：，，结果保留整数．) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $