第二十八章 旋转（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学旋转复习讲义通过分层知识点梳理和对比表格构建知识体系，系统呈现旋转的三要素、性质、作图方法，中心对称与中心对称图形的区别联系，以及与平移、轴对称的全等变换对比，突出旋转性质、原点对称点坐标等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“情境化问题+分层练习”设计，如风力发电机叶片旋转坐标计算（培养几何直观）、旋转模型综合题（发展推理能力），基础题巩固概念，拓展题提升创新意识，中考链接助力教师精准教学，帮助不同层次学生构建空间观念与应用能力。

第二十八章 旋转复习讲义 教学目标 1.理解旋转的定义及其三要素，掌握旋转前后图形全等的基本性质； 2.掌握在平面直角坐标系中，点绕原点旋转90°、180°等特殊角度后的坐标变化规律，以及按要求作出旋转后图形的作图方法； 3.综合运用旋转、平移、轴对称等全等变换，进行线段与角度的等量转化计算、几何证明，并能够利用这些变换进行简单的图案设计。 教学重难点 1.重点 （1）旋转的性质及其作图； （2）中心对称的性质及其作图； （3）关于原点对称的点的坐标特点。 2.难点 （1）关于原点对称的点的坐标特征及其在平面直角坐标系中的求值与计算； （2）综合运用旋转、平移、轴对称等全等变换进行图案设计、作图及复合变换处理。 知识点01 旋转 1.旋转的概念 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2.旋转的相关概念 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 3.旋转的性质 ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 4.旋转作图的步骤 ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 5.平面直角坐标系中的旋转 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 6.旋转对称图形 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 知识点02 中心对称 1.中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 注：中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2.中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即全等。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③中心对称的两个图形对应边平行或共线。 3.对称中心的确定 连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。 4.中心对称作图的基本步骤 步骤：①确定图形的关键点与对称中心。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。得到对称点。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点03 中心对称图形 1.中心对称图形的定义 一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做中心对称图形的对称中心。中心对称图形是一个图形的形状特点。 2.中心对称图形的性质 性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分。 性质2：对应线段的数量关系是相等的，位置关系为平行或共线。 性质3：对应角相等。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 知识点04 关于原点对称的点的坐标 1.关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。 即若点与点关于原点对称，则有，。 2.关于点对称的点坐标 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 知识点05 平移、轴对称、旋转之间的对比 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等。 不 同 点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换。 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换。 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换。 图形 要素 平移方向 平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 对应线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 *对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等。 题型01 旋转与中心对称的基础概念及图形识别 【典例1】数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【典例2】下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A． B． C． D． 【典例3】下列图形中，成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【典例4】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 【变式2】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A．赵爽弦图 B．欧拉螺线 C．科赫雪花 D．笛卡儿叶形线 【中考链接】在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 题型02 利用旋转与中心对称的性质进行计算 【典例1】如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（ ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【变式1】如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（ ）能与自身重合． A． B． C． D． 【变式3】如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系（图中未画出），四边形的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点D的坐标为． (1)作四边形关于原点O中心对称的四边形，并写出点的坐标； (2)连接，仅用无刻度直尺画出的中线． 【变式4】如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 【变式5】如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【中考链接1】如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 题型03 坐标系中的旋转与对称变换 【典例1】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【典例2】【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1】将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（ ） A． B．8 C． D．10 【变式2】若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【变式3】在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（ ） A． B．1 C． D．3 【变式4】平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为( ) A． B． C． D． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 【变式6】定义：如图，在平面直角坐标系中，原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点的坐标为，将点绕点顺时针旋转，每次转，则旋转2027次后，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【中考链接1】已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 题型04 旋转及中心对称的作图与图案设计 【典例1】在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． (1)画出绕点按逆时针方向旋转所得的（点与是一对对应点），并写出点的坐标； (2)在（）的旋转过程中，求点所经过的路径长． 【典例2】如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【变式1】如图，由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成下列问题． (1)在图1中，将绕点顺时针旋转得，画出旋转后的； (2)在图2中作的平分线，交于点． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【变式3】如图将一张四边形纸片沿两组对边中点连线剪开，得到4张小纸片，用这4张小纸片一定可以拼成一个（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【中考链接】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 题型05 旋转模型与几何变换综合题 【典例1】如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【变式1】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A．32 B．24 C． D．16 【变式2】如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【变式3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【变式4】已知，如图，，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作于点D． (1)依题意补全图形； (2)求的度数． 【中考链接】在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容： 如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（ ） 刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学． 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（    ）”处应填理由：____________________； （2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置． ①请在图中作出点； ②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题． A组·基础过关 1．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 2．下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多种有创意的美丽图形．将下列正方形沿虚线剪开后，通过平移、旋转拼成的“鸟”的图案为（ ） A． B． C． D． 5．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． B组·能力提升 6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ） A． B．18 C． D．24 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 8．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． C组·拓展延伸 11．如图，在矩形中，，交于点，．将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，交于点，连接，．对于任意，下面四个结论中，所有正确结论的序号是（ ） ①都有四边形是梯形； ②都有四边形是菱形； ③都有四边形是菱形； ④都有六边形是正六边形． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 12．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 13．如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 14．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 15．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转复习讲义 教学目标 1.理解旋转的定义及其三要素，掌握旋转前后图形全等的基本性质； 2.掌握在平面直角坐标系中，点绕原点旋转90°、180°等特殊角度后的坐标变化规律，以及按要求作出旋转后图形的作图方法； 3.综合运用旋转、平移、轴对称等全等变换，进行线段与角度的等量转化计算、几何证明，并能够利用这些变换进行简单的图案设计。 教学重难点 1.重点 （1）旋转的性质及其作图； （2）中心对称的性质及其作图； （3）关于原点对称的点的坐标特点。 2.难点 （1）关于原点对称的点的坐标特征及其在平面直角坐标系中的求值与计算； （2）综合运用旋转、平移、轴对称等全等变换进行图案设计、作图及复合变换处理。 知识点01 旋转 1.旋转的概念 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2.旋转的相关概念 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 3.旋转的性质 ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 4.旋转作图的步骤 ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 5.平面直角坐标系中的旋转 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 6.旋转对称图形 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 知识点02 中心对称 1.中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 注：中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2.中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即全等。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③中心对称的两个图形对应边平行或共线。 3.对称中心的确定 连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。 4.中心对称作图的基本步骤 步骤：①确定图形的关键点与对称中心。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。得到对称点。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点03 中心对称图形 1.中心对称图形的定义 一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做中心对称图形的对称中心。中心对称图形是一个图形的形状特点。 2.中心对称图形的性质 性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分。 性质2：对应线段的数量关系是相等的，位置关系为平行或共线。 性质3：对应角相等。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 知识点04 关于原点对称的点的坐标 1.关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。 即若点与点关于原点对称，则有，。 2.关于点对称的点坐标 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 知识点05 平移、轴对称、旋转之间的对比 平移 轴对称 旋转 相同点 都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等。 不 同 点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换。 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换。 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换。 图形 要素 平移方向 平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质 连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 对应线段平行(或共线)且相等。 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分。 *对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等。 题型01 旋转与中心对称的基础概念及图形识别 【典例1】数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 【典例2】下列四幅图案在设计中用到旋转变换方式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转变换的特点是解题的关键．根据图形变换的特点，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、此选项图案在设计中用到平移变换方式，不符合题意； B、此选项图案在设计中用到旋转变换方式，符合题意； C、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； D、此选项图案在设计中用到轴对称变换方式，不符合题意； 故选：B． 【典例3】下列图形中，成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【典例4】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 【变式1】如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 【答案】 【分析】分别作出的垂直平分线，即可确定旋转中心． 【详解】如图，连接，分别作出的垂直平分线，交点为， 故该旋转的旋转中心是点． 【变式2】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 7．以数学家名字命名的现象广泛存在于数学定理、公式、常数、猜想、学科分支及奖项中．以下是四个用数学家名字命名的数学图形，其中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A．赵爽弦图 B．欧拉螺线 C．科赫雪花 D．笛卡儿叶形线 【答案】C 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 【中考链接】在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)中心对称； (2)解：如图，点O为所求旋转中心． 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可； （2）连接，，分别作，的垂直平分线，两线相交于点O，则点O即为所求的旋转中心． 【详解】（1）解：将该图形绕点正六边形的中心旋转，能与原图形重合，故图1是中心对称图形． （2）略 题型02 利用旋转与中心对称的性质进行计算 【典例1】如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形旋转的性质即可求得答案． 【详解】解：根据图形旋转的性质可知， ． 【典例2】如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（ ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 【变式1】如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴A、B、C正确，不符合题意； 不一定成立，D符合题意． 【变式2】如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（ ）能与自身重合． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新图形中心角的求法解答即可. 【详解】解：要使新图形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数是 ． 【变式3】如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系（图中未画出），四边形的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点D的坐标为． (1)作四边形关于原点O中心对称的四边形，并写出点的坐标； (2)连接，仅用无刻度直尺画出的中线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点D的坐标为建立平面直角坐标系，再根据中心对称的规律描出点、、、，连接成四边形即可，由图写出的坐标即可； （2）取格点使得四边形为矩形，连接，交于点，连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：取格点使得四边形为矩形，连接交于点，连接即为所求， 理由：四边形为矩形， ， 点为的中点， 即为的中线． 【变式4】如图中正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，分别以、两点为圆心，画与轴相切的两个圆，若点的坐标为，则图中两个阴影部分面积的和是________（结果保留）． 【答案】 【分析】先利用切线的性质得到的半径为1，再根据反比例函数图象的对称性得到点B的坐标为，同理得到的半径为1，则可判断与关于原点中心对称，的阴影部分与的空白部分面积相等，所以图中两个阴影部分面积的和等于的面积，然后根据圆的面积公式计算． 【详解】解：∵点的坐标为，且与x轴相切， ∴的半径为1， ∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点， ∴点B的坐标为， 同理得到的半径为1， ∴与关于原点中心对称， ∴的阴影部分与的空白部分完全重合， ∴的阴影部分与的空白部分面积相等， ∴图中两个阴影部分面积的和． 【变式5】如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算，即可得解． 【详解】解：由图可知：与交于点， 故与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 则，， 整理得，，， 故点的坐标为． 【中考链接1】如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绕点A逆时针旋转得，知，，故，根据三角形内角和定理可说明． 【详解】解：如图，设与交于点， 由旋转可知，，， ， 在中，， 在中，， ， ． 【中考链接2】如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 题型03 坐标系中的旋转与对称变换 【典例1】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，若两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标都互为相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 【典例2】【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 【变式1】将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（ ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，再得到对称点坐标，代入解析式即可求解 【详解】解：∵ 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移后的函数为， ∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 点关于原点的对称点坐标为， ∵ 对称点在平移后的函数图象上，将代入得 解得 【变式2】若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 【变式3】在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（ ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 【变式4】平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，，进而得出的坐标和的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到， ∴，， ∴轴，轴， ∴， ∴． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 【答案】C 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵点B的坐标为，∴，， A、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； B、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； C、若轴，点A的坐标为，则，该选项符合题意； D、若轴，点A的坐标为，则，该选项不符合题意． 【变式6】定义：如图，在平面直角坐标系中，原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点的坐标为，将点绕点顺时针旋转，每次转，则旋转2027次后，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点，首先，根据题意得出每旋转4次为一个循环，然后，得出旋转2027次后点的坐标与旋转3次后点的坐标相同，即为点F的坐标，再由点的坐标得的长，接着，证得四边形是正方形及，得，，即可得出点F的坐标及结论． 【详解】解：， 每旋转4次为一个循环． ， 旋转2027次后点的坐标与旋转3次后点的坐标相同，即为点F的坐标． 如图，连接，设与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点，    ∵点的坐标为， ∴， ∵原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上， ∴，原点也是正八边形的中心， ∴四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为，即旋转2027次后，点的坐标为． 【中考链接1】已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 【中考链接2】如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得，，，，，轴， ， ， 中，， 在轴的负半轴， 的坐标为． 题型04 旋转及中心对称的作图与图案设计 【典例1】在平面直角坐标系中，的顶点分别是，，． (1)画出绕点按逆时针方向旋转所得的（点与是一对对应点），并写出点的坐标； (2)在（）的旋转过程中，求点所经过的路径长． 【答案】(1)见解析，点； (2)点所经过的路径为． 【分析】本题主要考查了画旋转图形，勾股定理，求弧长，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将绕点逆时针方向旋转得到，再依次连接，然后确定点的坐标； （）先由勾股定理求出，然后通过弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∴点； （2）解：如图，点所经过的路径为弧长， 由题意得：，， ∴点所经过的路径为． 【典例2】如图是由相同的正六边形组成的网格图，每个网格图中有3个小正六边形已涂上阴影，请在余下的空白小正六边形中，分别按要求选取一个涂上阴影． (1)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合； (2)使得阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合． 【答案】(1)画出图形如图所示： (2)画出图形如图所示： 【分析】（1）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可； （2）根据阴影部分组成的图形绕着某个点旋转后能与自身重合画出图形即可． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式1】如图，由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成下列问题． (1)在图1中，将绕点顺时针旋转得，画出旋转后的； (2)在图2中作的平分线，交于点． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)解：如图所示，即为所求； 【分析】（1）根据旋转作图即可解答； （2）找到格点E，使得连接与的交点即为点D． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下：连接，如图 ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 即是的平分线； 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，点． (2) 如图，即为所求，点． 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】如图将一张四边形纸片沿两组对边中点连线剪开，得到4张小纸片，用这4张小纸片一定可以拼成一个（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】将四边形绕点H顺时针旋转到四边形，将四边形绕点F顺时针旋转到四边形，将四边形平移到四边形，得到四边形，解答即可． 【详解】解：将四边形绕点H顺时针旋转到四边形， 则， ， 将四边形绕点F顺时针旋转到四边形， 则， ， 将四边形平移到四边形， 得到四边形， 故四边形是平行四边形． 【中考链接】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】(1)解：下图为所求： (2)解：下图线段为所求： (3) 下图线段为所求，点的坐标为 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型05 旋转模型与几何变换综合题 【典例1】如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（ ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 【变式2】如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) 证明：如图，将绕点逆时针旋转 得到， 则：， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴； (2)6 (3) ，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接， 则：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证； （2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积； （3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）略 【变式3】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴在中，． 【变式4】已知，如图，，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作于点D． (1)依题意补全图形； (2)求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)∠DOC=15°． 【分析】（1）由题意，只要过点O作于点D即可． (2) 过点A作AE⊥BO于E，由题意可得∠1=30°，∠2=15°，∠3=15°，证明AD=DC，可得到∠DOC=∠AOD，从而得解． 【详解】（1）解：由题意可以补全图形如下： （2）解：如图，过点A作AE⊥BO于E， ∴∠AEB=90∘， ∵∠ABO=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°， 又∵BA=BO， ∴∠2=∠3=15°， ∴∠OAE=75°， ∵∠BAC=90°， ∴∠4=75°， ∴∠OAE=∠4， ∵OD⊥AC于点D， ∴∠AEO=∠ADO=90°， 在△AOE和△AOD中， ， ∴△AOE≌△AOD， ∴AE=AD， 在Rt△ABE中，∠1=30°， ∴AE=AB， 又∵AB=AC， ∴AE=AD=AB=AC， ∴AD=CD， 又∵∠ADO=∠CDO=90°， ∴OA=OC， ∴∠DCO=∠4=75°， ∴∠DOC=15°． 【中考链接】在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容： 如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（ ） 刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学． 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（    ）”处应填理由：____________________； （2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．    ①请在图中作出点； ②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．    【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等； （2）①下图中，点O为所求：      ②； 问题拓展： 【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等； （2）①分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可； 问题拓展，连接，交于，连接，，，由旋转得，，在和中求出和的长，可以求出，再证明，即可求出最后结果． 【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等                   （2）①略 ②连接，， 扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置， ，, ， 设， ， ， 在旋转过程中，点经过的路径长为以点为圆心，圆心角为，为半径的所对应的弧长， 点经过的路径长；    【问题拓展】解：连接，交于，连接，，如图所示   ． 由旋转得，．     在中， ． 在中， ， ， ．        ． ． ，        在和中， ， 又，， ． 又， ， ． A组·基础过关 1．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．下列图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得到，就是看这个图形可以通过中心的射线平分成几个全等的部分，即可确定旋转的角度． 【详解】解：每一个图案都可以通过中心的射线平分成6个全等的部分， ∴旋转的角度是． 3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一个图形绕某一点旋转后，若能与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．是中心对称图形，故该选项符合题意， D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 4．将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多种有创意的美丽图形．将下列正方形沿虚线剪开后，通过平移、旋转拼成的“鸟”的图案为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平移、旋转的性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移、旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：根据正方形的性质，平移、旋转性质，得到图案为． 故选：B． 5．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． B组·能力提升 6．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（ ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】先过点作轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 8．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 【答案】（1）B； （2）(1)(3)(5)； （3）C； （4）图形如图所示： 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断； （2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的定义进行判断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计． 【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形， 故选：B． （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)． 故答案为：(1)(3)(5)． （3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确； ②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确； ③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确； 即命题中①③正确， 故选：C． （4）略 【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点中心对称的坐标变换规则求出各顶点的对称点，描点连线画出三角形； （2）根据题意得出平移规则：左移、下移，将各顶点按规则平移后连线即可； （3）取一组对应点​、，用中点坐标公式算出中点，该点即为两三角形的对称中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交于点， 则点为和的中心对称点， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，即， 和的中心对称点为． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求作的三角形； (2)解：如图，即为所求作的三角形； (3) 【分析】（1）先作出点A，B，C平移后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （2）先作出点A，B，C绕原点顺时针旋转后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （3）先求出，的长，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可知，，， 线段在旋转过程中扫过的面积为． C组·拓展延伸 11．如图，在矩形中，，交于点，．将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，交于点，连接，．对于任意，下面四个结论中，所有正确结论的序号是（     ） ①都有四边形是梯形； ②都有四边形是菱形； ③都有四边形是菱形； ④都有六边形是正六边形． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，梯形与菱形、正多边形的判定，利用矩形对角线互相平分且相等的性质，结合旋转得到的线段角的关系，逐一判定结论即可. 【详解】解：连接， ∵矩形对角线，交于， ∴， ∵，是矩形对角线， ∴过点， 由旋转性质可得，旋转角为， 逐一判定如下： ① ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不平行， ∴四边形只有一组对边平行，是梯形，①正确. ②∵ ，与不一定相等， ∴与不一定相等， 因此四边形不一定是菱形，②错误. ③ 由矩形性质得， 即， 由旋转后矩形得，， 即， 因此四边形是平行四边形， ∵， ∴梯形是等腰梯形， 由轴对称知， 邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形是菱形，③正确. ④ 只有当时，六边形才是正六边形， 题干要求对任意都成立，因此④错误. 综上，正确结论为①③，对应选项是C. 12．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 13．如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点，根据旋转的性质得到为等边三角形，从而得到，再证得，得到对应边的长度，再解直角三角形求出的长度，根据平行线间垂线段相等求出的长度，从而算出的高进行求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点； ， ∵绕点逆时针旋转至， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵，．点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴，解得， 在中，， ∴，解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 则， ∴． 14．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、、．根据勾股定理可得，在点与之间总有（如图1），、、、四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段取最大值． 【详解】解：如图1，，，取的中点，连接、、． ． 同理． 正方形，为中点，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 如图1，在点与之间总有， 由于的大小为定值，只有，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立，如图2， 线段取最大值， 15．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ 【分析】（1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $