专题28.2 中心对称（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦中心对称核心知识点，系统梳理中心对称的定义与性质、中心对称图形的识别与性质、关于原点对称的点的坐标规律，以及全等变换的综合运用，构建从概念理解到性质应用再到坐标与变换综合的递进式学习支架。 资料通过“即学即练”和分层题型设计，以生活实例培养学生用数学眼光观察图形特征，借助性质推理与坐标计算发展数学思维，通过作图与综合题强化数学语言表达。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

专题28.2 中心对称 教学目标 1.掌握中心对称图形的定义并能够熟练的判定生活中的一些中心对称图形。 2.掌握中心对称图形的性质，并能够熟练对其应用。 3.掌握关于原点对称的点的坐标规律特点，能够通过规律特点熟练的求值与作图。 教学重难点 1.重点 （1）中心对称和中心对称图形的定义和性质； （2）关于原点对称的点的坐标特点。 2.难点 （1）利用中心对称图形的性质计算； （2）利用中心对称的对称中心平分面积； （3）利用关于原点对称的点的坐标特点求值。 知识点01 中心对称及其性质 1.中心对称的定义 如图，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A'，B与B'，C与C' 都是对称点，中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2.中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 ，并且被对称中心 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 。 3.对称中心的确定 连接任意两组 得到两条线段，这两条线段的 就是对称中心。 4.中心对称作图的基本步骤 步骤： ①确定图形的 与 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 ；得到 。 ③按照原图形连接各对称点。 【即学即练】 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 2．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 3．如图，已知点P是内一点，作出关于点P成中心对称的． 知识点02 中心对称图形 1.中心对称图形的定义 一个图形绕某一点旋转 后，如果旋转后的图形能够与旋转前 ，那么这个图形就叫做 ，这个点叫做中心对称图形的 。 补充拓展：中心对称图形属于旋转对称图形的一种特例（旋转角恰好为180∘）。除180∘外，若一个图形绕某点旋转角α（0<α<360∘）后能与自身重合，则称其为 。圆是其中最为特殊的，它关于圆心具有 的旋转对称性，这也是许多需平稳旋转的零部件（如水泵叶轮）常设计成中心对称或圆形的原因。 2.中心对称图形的性质 性质1：对应点连线都经过 ，且被对称中心 。 性质2：对应线段的数量关系是 的，位置关系为 或 。 性质3：对应角 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的 ，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。两者的区别与联系类似于“轴对称”与“轴对称图形”。 3.常见中心对称图形及其对称中心 ①线段（对称中心为线段的中点）； ②平行四边形（对称中心为对角线的交点）； ③矩形、菱形、正方形（既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴的交点即为其对称中心）； ④圆（对称中心为圆心）。 4.对称中心的确定方法 连接图形上任意一对对应点（或连接具有对称关系的两个点），所连线段的中点即为该中心对称图形的对称中心。 【即学即练】 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 6．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 7．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1.关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 。 即若点与点关于原点对称，则有 。 2.关于点对称的点坐标 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 【即学即练】 8．如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 9．已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A．， B．， C．， D．， 10．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（ ） A． B． C． D． 知识点04 全等变换的综合运用 1.全等变换的本质 旋转（含中心对称）、平移、轴对称，这些变换的共性在于只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，即变换前后的图形 （图形上任意两点间的距离、任意三点所成的角保持不变）。 2.图案设计与应用 综合运用旋转、平移和轴对称（全等变换的组合），由简单的基本图形可以生成复杂、美观的图案。如风车或几何拼贴图案，以及过中心对称图形对称中心的任意直线将图形分成面积相等的两个部分，可用于解决分割土地面积等实际问题。 【即学即练】 11．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 12．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（ ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 13．如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（ ） A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 题型01 中心对称图形的识别与性质应用 【典例1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（ ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 （1）考查方向：考查中心对称图形定义的识别（旋转180°后与原图形重合），以及利用对称中心平分对应点连线、平分面积等性质进行推理与计算。 （2）核心方法：紧扣定义与“对称中心平分对应点连线”的性质；识别时只需旋转180°验证，应用性质时连接对应点或利用中心对称分割面积。 【变式1】如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（ ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的为（ ） A．赵爽弦图 B．科克曲线 C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形 【变式3】我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【中考链接1】下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 题型02 两个图形成中心对称的判定与应用 【典例1】下列图形中，与成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（ ） A． B． C．点的对应点是点 D． （1）考查方向：考查判断两个图形是否关于某点成中心对称，以及利用成中心对称的两图形全等、对应线段平行且相等、对应角相等等性质进行综合计算与证明。 （2）核心方法：判定时只需验证对应点连线是否交于同一点且被该点平分；计算时准确找出对应点，利用中心对称性质实现线段、角度及面积的等量转化。 【变式1】如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A．   B． C．   D． 【变式3】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（ ） A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【变式4】如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（ ） A． B． C．4 D． 【变式5】如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（ ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【中考链接1】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ） A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【中考链接2】下列哪个函数的图象不是中心对称图形（ ） A． B． C． D． 题型03 关于原点对称的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【典例2】若正比例函数的图象经过点和点，若点和关于原点对称，则的值为（ ） A． B． C． D． 【典例3】在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 （1）考查方向：考查关于原点对称的两点横纵坐标均互为相反数的坐标规律，及结合函数图象平移、中心对称（旋转180°）与坐标变换的综合应用。 （2）核心方法：掌握坐标互为相反数的特点(x,y)→(−x,−y)）；在综合题中，先利用对称规律求出对称点的坐标，再代入解析式或借助图象平移规律求解。 【变式1】如图，在中，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2】将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】若点与点关于原点对称，则的值为（ ） A． B．4 C． D．1 【变式4】在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（ ） A．   B． C．   D． 【中考链接1】已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． A组·基础过关 1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A．平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．五角星 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知一次函数的图象绕坐标原点旋转度后的一次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，对角线的交点恰好是坐标原点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． B组·能力提升 6．下列图形中，不是轴对称图形但是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 7．下列关于正多边形说法错误的是（ ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 8．如图，，关于的对称图形是，关于的对称图形是，则下列说法正确的是（ ） A．可以由通过平移得到 B．与关于点成中心对称 C．与关于的平分线成轴对称 D．与关于直线成轴对称 9．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 10．将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（ ） A． B．8 C． D．10 C组·拓展延伸 11．作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（ ） A． B． C． D． 12．如图，线段a，b的端点和A，B，C都是方格纸上的格点，已知下列变换：①沿直线翻折；②绕点A按顺时针方向旋转；③绕点B按顺时针方向旋转；④绕点C按顺时针方向旋转．其中，能使线段a经过一种变换后与线段b重合的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（ ）． A． B． C． D． 14．操作与设计： （1）如图1，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形； （2）如图2，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （3）如图3，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 15．实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2 中心对称 教学目标 1.掌握中心对称图形的定义并能够熟练的判定生活中的一些中心对称图形。 2.掌握中心对称图形的性质，并能够熟练对其应用。 3.掌握关于原点对称的点的坐标规律特点，能够通过规律特点熟练的求值与作图。 教学重难点 1.重点 （1）中心对称和中心对称图形的定义和性质； （2）关于原点对称的点的坐标特点。 2.难点 （1）利用中心对称图形的性质计算； （2）利用中心对称的对称中心平分面积； （3）利用关于原点对称的点的坐标特点求值。 知识点01 中心对称及其性质 1.中心对称的定义 如图，把一个图形绕着某个点旋转 180° ，如果它能够与另一个图形 完全重合 ，那么就说这两个图形关于这个点 对称或中心对称 ，这个点叫做 对称中心 ，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的 对称点 。 即：△ABC绕点O旋转180°与△A'B'C'完全重合，则△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，点O是对称中心，A与A'，B与B'，C与C' 都是对称点，中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2.中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够 完全重合 ；即 。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过 对称中心 ，并且被对称中心 平分 。 即：。 ③中心对称的两个图形对应边 平行或共线 。 3.对称中心的确定 连接任意两组 对称点 得到两条线段，这两条线段的 交点 就是对称中心。 4.中心对称作图的基本步骤 步骤： ①确定图形的 关键点 与 对称中心 。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离 相等 ；得到 对称点 。 ③按照原图形连接各对称点。 【即学即练】 1．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 2．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 3．如图，已知点P是内一点，作出关于点P成中心对称的． 【答案】如图，就是所求作的三角形； 【分析】分别作点A，B，C关于点P的对称点，，，再顺次连接三个点即可； 【详解】略 知识点02 中心对称图形 1.中心对称图形的定义 一个图形绕某一点旋转 180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前 完全重合 ，那么这个图形就叫做 中心对称图形 ，这个点叫做中心对称图形的 对称中心 。 补充拓展：中心对称图形属于旋转对称图形的一种特例（旋转角恰好为180∘）。除180∘外，若一个图形绕某点旋转角α（0<α<360∘）后能与自身重合，则称其为旋转对称图形。圆是其中最为特殊的，它关于圆心具有任意角的旋转对称性，这也是许多需平稳旋转的零部件（如水泵叶轮）常设计成中心对称或圆形的原因。 2.中心对称图形的性质 性质1：对应点连线都经过 对称中心 ，且被对称中心 平分 。 性质2：对应线段的数量关系是 相等 的，位置关系为 平行 或 共线 。 性质3：对应角 相等 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 全等 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。两者的区别与联系类似于“轴对称”与“轴对称图形”。 3.常见中心对称图形及其对称中心 ①线段（对称中心为线段的中点）； ②平行四边形（对称中心为对角线的交点）； ③矩形、菱形、正方形（既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴的交点即为其对称中心）； ④圆（对称中心为圆心）。 4.对称中心的确定方法 连接图形上任意一对对应点（或连接具有对称关系的两个点），所连线段的中点即为该中心对称图形的对称中心。 【即学即练】 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念以及等边三角形、菱形、平行四边形和正多边形的性质求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 5．如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识点，解题的关键是了解呈中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心． 连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心，即可解答. 【详解】解：如图所示： 可知：连线的交点为，故对称中心为 故答案为：． 6．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】2 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形与原图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，将A方格涂黑或将B方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2个方格． 7．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1.关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 相反数 。 即若点与点关于原点对称，则有 ， 。 2.关于点对称的点坐标 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 【即学即练】 8．如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 根据菱形的对角线互相平分且交点在原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标规律即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，且对角线交点在原点， 点与点关于原点对称 点的坐标为，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 点的坐标为． 9．已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据“关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数”求解． 【详解】解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， 故选：A． 10．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 知识点04 全等变换的综合运用 1.全等变换的本质 旋转（含中心对称）、平移、轴对称，这些变换的共性在于只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，即变换前后的图形全等（图形上任意两点间的距离、任意三点所成的角保持不变）。 2.图案设计与应用 综合运用旋转、平移和轴对称（全等变换的组合），由简单的基本图形可以生成复杂、美观的图案。如风车或几何拼贴图案，以及过中心对称图形对称中心的任意直线将图形分成面积相等的两个部分，可用于解决分割土地面积等实际问题。 【即学即练】 11．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 12．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（ ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 13．如图，这个图案可以看作以原图案的四分之一经过变换得到的，则所用变换一定不可能是（ ） A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转 【答案】C 【分析】本题考查几何变换的知识，熟练掌握平移、旋转、轴对称的定义是关键． 根据图形的特征可知图形所在的中心可以是旋转中心，中间两条线段所在的两条直线是对称轴；根据上述特征结合平移，旋转，轴对称的概念解答即可． 【详解】解：A、图案所在的中心可以是旋转中心，因此图案可由旋转变换得到，不符合题意； B、图案中间水平和垂直的两条线段所在的两条直线是对称轴，因此图案可由轴对称变换得到，不符合题意； C、图案无法用平移得到，符合题意； D、图案可以通过轴对称和旋转得到，不符合题意； 故选：C． 题型01 中心对称图形的识别与性质应用 【典例1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【典例2】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（ ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． （1）考查方向：考查中心对称图形定义的识别（旋转180°后与原图形重合），以及利用对称中心平分对应点连线、平分面积等性质进行推理与计算。 （2）核心方法：紧扣定义与“对称中心平分对应点连线”的性质；识别时只需旋转180°验证，应用性质时连接对应点或利用中心对称分割面积。 【变式1】如图所示是的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，选取方格为时，整个阴影部分如图，为中心对称图形． 故选：A ． 【变式2】下列图形中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的为（ ） A．赵爽弦图 B．科克曲线 C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形 【答案】C 【详解】解：A、是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 【变式3】我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 【中考链接1】下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形（沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合）以及中心对称图形（绕中心点旋转后，能与原图完全重合）的定义，对四个选项的图案逐一进行判断． 【详解】解：选项A、图案是五角星，存在对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转后角的位置发生改变，无法和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项B、图案整体呈正六边形结构（中间为六角星，周围为六个六边形），存在多条对称轴，是轴对称图形；绕图案中心旋转，图案各部分均能和原图完全重合，是中心对称图形，符合题意； 选项C、图案是三叶螺旋形状，找不到对称轴，不是轴对称图形；绕中心旋转后叶片位置错位，无法和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意； 选项D、图案是圆内S形，绕中心旋转后能和原图重合，是中心对称图形；找不到一条直线使折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合题意． 【中考链接2】下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意． 题型02 两个图形成中心对称的判定与应用 【典例1】下列图形中，与成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【典例2】已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（ ） A． B． C．点的对应点是点 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握该知识点是解题的关键． 由中心对称的性质判断即可． 【详解】解：和关于点O成中心对称， 由中心对称的性质可得，，点A的对应点是点，， 所以D选项不正确． 故选：D． （1）考查方向：考查判断两个图形是否关于某点成中心对称，以及利用成中心对称的两图形全等、对应线段平行且相等、对应角相等等性质进行综合计算与证明。 （2）核心方法：判定时只需验证对应点连线是否交于同一点且被该点平分；计算时准确找出对应点，利用中心对称性质实现线段、角度及面积的等量转化。 【变式1】如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A．   B． C．   D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 【变式3】如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ） A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 【变式4】如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 【变式5】如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（ ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 【中考链接1】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ） A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解． 【中考链接2】下列哪个函数的图象不是中心对称图形（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此， A、y=2﹣x是直线，是中心对称图形，故本选项错误； B、，是双曲线，是中心对称图形，故本选项错误； C、y=（x﹣2）2，是抛物线，不是中心对称图形，故本选项正确； D、y=2x是直线，是中心对称图形，故本选项错误． 故选C． 题型03 关于原点对称的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中，关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是． 【典例2】若正比例函数的图象经过点和点，若点和关于原点对称，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征和正比例函数系数的求解，先根据关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数，求出和的值，再将点坐标代入正比例函数解析式求解即可． 【详解】∵点和点关于原点对称， ∴，， 可得点坐标为， ∵点在正比例函数的图象上， ∴把代入解析式得 ， 解得 ． 【典例3】在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． （1）考查方向：考查关于原点对称的两点横纵坐标均互为相反数的坐标规律，及结合函数图象平移、中心对称（旋转180°）与坐标变换的综合应用。 （2）核心方法：掌握坐标互为相反数的特点(x,y)→(−x,−y)）；在综合题中，先利用对称规律求出对称点的坐标，再代入解析式或借助图象平移规律求解。 【变式1】如图，在中，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， ∴点与点关于原点中心对称， ∵， ∴点的坐标为． 【变式2】将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、点的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到和的值． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴，即 ， 一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为， ∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得 ， 解得：， 将代入，得， 解得， ∴ ． 【变式3】若点与点关于原点对称，则的值为（ ） A． B．4 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数，据此先求出、的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称 ∴两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数 ∴， ∴， 故选：A． 【变式4】在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（ ） A．   B． C．   D． 【答案】C 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【中考链接1】已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 【中考链接2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． A组·基础过关 1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A．平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．五角星 【答案】D 【详解】解：A．绕平行四边形的对角线的交点旋转后与原来的图形重合，所以平行四边形是中心对称图形，故本选项不合题意； B．绕长方形的对角线的交点旋转后与原来的图形重合，所以长方形是中心对称图形，故本选项不合题意； C．绕菱形的对角线的交点旋转后与原来的图形重合，所以菱形是中心对称图形，故本选项不合题意； D．五角星不能找到这样的一个点，使五角星绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项符合题意． 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 3．如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的性质可得B、E两点关于原点成中心对称，即可求解． 【详解】解：正六边形为中心对称图形，为对角线，正六边形的对角线交于原点O， B、E两点关于原点成中心对称， ∵， ． 4．已知一次函数的图象绕坐标原点旋转度后的一次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，先求出直线与轴和轴的交点坐标，进而根据中心对称的性质求出对称点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解，掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵一次函数的图象绕坐标原点旋转度， ∴点的对称点为，点的对称点为， 设旋转后的一次函数的表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴旋转后的一次函数的表达式为， 故选：． 5．如图，在平面直角坐标系中，对角线的交点恰好是坐标原点．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得出，点B和点D关于原点对称，进而可得出点D的坐标． 【详解】解：∵对角线互相平分，即， 又∵对角线的交点恰好是坐标原点， ∴点B和点D关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． B组·能力提升 6．下列图形中，不是轴对称图形但是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 7．下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正多边形定义和性质，中心对称和中心对称图形的定义和性质，是解题的关键．每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么这个两个图形叫做成中心对称； 根据正多边形的定义和性质，中心对称的定义和性质，中心对称图形的定义和性质，对各个选项一一判断即可得出答案. 【详解】A．正多边形不一定是中心对称图形． 正确，正奇边形绕着中心点旋转后，不能与原来的图形重合， ∴正多边形不一定是中心对称图形， 故本选项正确； B．中心对称图形一定是正多边形． 错误，平行四边形是中心对称图形，不是正多边形， ∴中心对称图形不一定是正多边形， 故本选项错误； C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． 正确，经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线，将该中心对称图形分成的两个图形，绕对称中心转后，互相重合， 故本选项正确； D．关于中心对称的两个图形是全等形． 正确，成中心对称的两个图形，绕着对称中心旋转后互相重合， 故本选项正确． 故选：B． 8．如图，，关于的对称图形是，关于的对称图形是，则下列说法正确的是（    ） A．可以由通过平移得到 B．与关于点成中心对称 C．与关于的平分线成轴对称 D．与关于直线成轴对称 【答案】B 【分析】如图，设所在直线为轴，所在直线为轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解．   【详解】解：设所在直线为轴，所在直线为轴，如图， ∵关于的对称图形是， ∴A与、B与、C与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∵关于的对称图形是， ∴与、与、与的横坐标相同，纵坐标互为相反数，   ∴A与、B与、C与的横坐标、纵坐标都互为相反数，  则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：与关于点成中心对称．   9．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形，中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等． 根据与关于点成中心对称，得到，并利用勾股定理求得的值，最后得到的值，完成求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 10．将一次函数的图象向下平移4个单位长度，若点关于原点的对称点落在平移后的函数图象上，则的值为（ ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，再得到对称点坐标，代入解析式即可求解 【详解】解：∵ 将一次函数的图象向下平移4个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得平移后的函数为， ∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均为原坐标的相反数， ∴ 点关于原点的对称点坐标为， ∵ 对称点在平移后的函数图象上，将代入得 解得 C组·拓展延伸 11．作二次函数（）的图象关于原点的中心对称图形，所得图象的解析式为，当时，二次函数最大值与最小值的差是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用关于原点中心对称的坐标变换求出原二次函数的解析式，再根据开口向上的二次函数性质，在给定范围内找出最大值和最小值，计算二者的差即可. 【详解】解：设对称后图象上任意一点为，则其关于原点的对称点在原二次函数上 将代入原函数得 ， 整理得对称后函数解析式为， ∵对称后解析式为，展开得， ∴， ∴原函数整理为， ， 二次函数开口向上，对称轴为， ∵ ∴当时，值最小，即 到对称轴距离为，到对称轴距离为，， 最大值在处，代入得； 最大值与最小值的差为. 12．如图，线段a，b的端点和A，B，C都是方格纸上的格点，已知下列变换：①沿直线翻折；②绕点A按顺时针方向旋转；③绕点B按顺时针方向旋转；④绕点C按顺时针方向旋转．其中，能使线段a经过一种变换后与线段b重合的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按变换的方式作图，再根据图形判定即可． 【详解】解：∵线段a，b关于直线对称， ∴线段a沿直线翻折后与线段b重合，①符合； 如下图所示，线段a，b的夹角是，线段a绕点A按逆时针方向旋转与线段b重合，②不符合； 线段a绕点B按顺时针方向旋转，如下图所示，旋转后与线段b重合，③符合； 线段a绕点C按顺时针方向旋转，如下图所示，旋转后与线段b不重合，④不符合； 综上分析可得，符合条件的变换是：①③． 13．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 14．操作与设计： （1）如图1，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形既是中心对称图形，又是轴对称图形； （2）如图2，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （3）如图3，在圆中画该圆的三条弦，使所得图形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】作图见解析. 【详解】试题分析：（1）、（2）、（3）分别根据轴对称及中心对称图形的性质进行解答即可． 试题解析：（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示． 考点：1.利用旋转设计图案；2.利用轴对称设计图案． 15．实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $