2.5.1直线与圆的位置关系检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系，通过单选、多选、填空及解答题的梯度设计，综合考查位置判断、弦长计算、切线方程等核心知识，体现数学思维的逻辑性与几何直观的应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|位置关系判断、参数范围求解|基础巩固，如第1题直接判断位置关系，第4题结合交点个数考参数范围| |多选题|3|弦长最值、距离问题、存在性判断|能力提升，如第9题综合弦长最值与距离，培养逻辑推理| |填空题|3|参数取值范围、弦长计算|应用深化，如第12题曲线交点问题，体现几何直观| |解答题|5|切线方程、圆方程求解、综合应用|创新应用，如15题切线方程与位置关系判断，19题定点证明与面积最值，考查运算能力与模型意识|

直线与圆的位置关系专题测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 2．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 3．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 4．已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 5．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先根据，圆与的半径相等，为直角三角形，得到，进而得到点在线段的垂直平分线上；然后求出此平分线表达式，得到点的只含有的坐标，代入，得到二次函数，求其最小值即可. 【详解】解：如图所示，由圆的切线的性质得， 在中有， 由题知， ，所以点在线段的垂直平分线上； 由题知，所以与的中点的坐标为， 与所在直线的斜率为， 所在直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点在，所以点的坐标满足， 所以， 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将表示为只含有一个未知数的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点所在的一条直线，进而用一个未知数表示出其坐标，进而求得的最小值. 6．已知直线：与圆：交于，两点，则当弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析直线所过定点P，可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案． 【详解】 解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r＝2；已知直线l：2mx+y﹣m﹣1＝0恒过点P（）； ∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时，则； 此时﹣2m＝⇒m＝； 此时直线AB的方程为﹣，变形可得2x﹣4y+3＝0． 故选：A． 7．直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 8．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 二、多选题 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 【答案】ABD 【分析】对于A，判断直线的定点与圆的位置关系，进而确定直线与圆的位置关系；对于B，根据直线被圆截得的弦长最短和最长时，直线与的关系确定弦长的最小值和最大值；对于C，根据圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，结合圆心到直线的距离公式求出的值；对于D，根据两点距离公式列出等式，化简即可. 【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点. 将点代入圆方程的左侧得， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确； 对于B，圆方程变形为，圆心，半径为. 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为. 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确； 对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误； 对于D，设，因为，所以， 因为，所以， 等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致， 所以D正确. 10．已知直线和圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得直线与圆相切 B．若直线与圆交于两点，则的最小值为 C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为 D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 【答案】BCD 【分析】根据直线经过的定点在圆内，可判断A不正确； 根据圆心到直线的距离的最大值求出的最小值，可判断B正确； 根据圆心到直线的距离，可判断C正确； 将曲线的方程化为，可判断D正确. 【详解】对于A，因为直线过定点，且，即定点在圆内，所以不存在，使得直线与圆相切，故A不正确； 对于B，因为圆心到直线的距离的最大值为， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，因为圆心到直线的距离，所以， 所以对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为，故C正确； 对于D，当时，直线，曲线，即就是过直线与圆的交点的曲线方程，故D正确. 故选：BCD. 11．已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可知直线过定点，曲线表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，因为有两个交点，所以先求出当直线与圆相切时切线的斜率，再根据图像可得斜率的取值范围. 【详解】直线可化为所以直线过定点A. 曲线可变形整理为由下图所示： 设直线与圆相切时的斜率为直线过点且与圆有两个交点时的斜率为由图可知，当直线与曲线由两个不同交点时，斜率满足 由圆心到直线的距离为解得 所以 故答案为：. 13．直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 14．已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为______． 【答案】 【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【详解】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 四、解答题 15．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或 (2)相交，弦长为 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线截圆所得弦长. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆心到直线的距离为，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 16．已知圆心为，圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解法一：根据圆心到直线的距离等于半径计算即可；解法二：联立直线与圆的方程，令判别式为0，求出半径，即可求出圆的方程. （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长计算即可. 【详解】（1）解法一：圆与直线相切， 圆心到直线的距离， 即圆的半径， 所以圆的方程为； 解法二：设圆的标准方程为. 联立：，化简为：. ，. 所以圆的方程为. （2）由题意经过点的直线与圆交于，两点，且， 所以圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，故符合题意； ②当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得. 则直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 17．已知是圆：外一点. (1)求的取值范围； (2)若是负偶数，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由点在圆的外部，与方程表示圆的充要条件，求解即可得到的范围； （2）分切线的斜率存在和不存在两种情况讨论可得切线的方程． 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得. 又是圆：外一点， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）由题可知，则圆：， 即，圆的圆心为，半径为3. 当切线的斜率不存在时，切线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，故满足相切关系； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即. 故所求切线的方程为或. 18．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    19．已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) 证明：由得， 由得， 所以直线恒过定点； (2) (3) 【分析】（1）将方程变换为，即可求解直线的定点； （2）当时，此时圆心到直线的距离最大，利用斜率公式，即可求解； （3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点到直线距离的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值， 易知圆心为， 因为， 所以    即， 解得. （3）当时，直线的方程为，故可设，    圆的半径， ， 圆心到直线的距离， 所以， 所以，即四边形面积的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆的位置关系专题测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 3．已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线：与圆：交于，两点，则当弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 8．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 10．已知直线和圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得直线与圆相切 B．若直线与圆交于两点，则的最小值为 C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为 D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 11．已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 三、填空题 12．若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是______. 13．直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 14．已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为______． 四、解答题 15．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 16．已知圆心为，圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 17．已知是圆：外一点. (1)求的取值范围； (2)若是负偶数，过点作圆的切线，求切线的方程. 18．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 19．已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $