专题06 双曲线中七类最值与范围问题（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题06 双曲线中七类最值与范围问题 题型一：利用直线与双曲线的位置关系求参数值(范围) 题型二：利用双曲线中弦长求参数（值）范围 题型三：利用双曲线中弦长探求最值与范围问题 题型四：利用双曲线中切线求参数（值）范围 题型五：利用双曲线的切线探求最值与范围问题 题型六：利用双曲线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 题型七：与向量融合 题型一：利用直线与双曲线的位置关系求参参数值(范围) 1.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【解析】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 2.如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】联立方程得，由题意该方程无解，进而可得. 【解析】直线方程与双曲线方程联立：，得， 由题意无解， 当时，即时，方程有一个解，直线方程与双曲线有一个公共点，舍去； 当时，则，即或，无公共点. 综上所述：或， 故选：B. 3.若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【解析】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A. 4.已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【解析】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 5.已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】或 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的所有取值为或， 故答案为：或. 6.若直线与双曲线的右支有两个交点，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【解析】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 故答案为: 7.若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围. 【解析】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 题型二：利用双曲线中弦长求参数（值）范围 8.已知直线与双曲线交于两点，若过右焦点，且的最小值为2，则的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； 【解析】若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得， 综上可知： 9.双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上,直线与双曲线交于点，若弦的长为42，则_______________． 【答案】或 【分析】根据点在双曲线上，结合双曲线定义得出，结合焦点坐标得出双曲线方程； 先设直线方程，再联立方程组应用弦长公式结合韦达定理计算求参即可得出直线方程. 【解析】因为双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上， 所以 ． 所以，，． 所以双曲线的方程为． 直线，与双曲线联立，得． 当时，恒成立， 设，， 因为的长为42，， 所以，解得或．    故答案为:或 10.已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 11.已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【解析】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得， ，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 12.在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据双曲线的定义，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【解析】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意 题型三：利用双曲线中弦长探求最值与范围问题 13.已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，得， 所以，，所以， 所以双曲线方程为， 所以， 设直线为，设， 由，得， 所以，， 所以 ， 因为直线与的左支交于两点， 所以，得， 所以 令，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 所以，得， 因为的周长为 所以最小值时，的周长取得最小值，即为， 故选：C 14.已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【解析】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 13.已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点. (1)求的方程； (2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），点在上， 故， 又， ，， 的方程为. （2）斜率存在，设：，与联立消去得： ，设，， 则， ，， 又， 设，则，，则，则， ， ， ， 即， 化简得， ， （舍去）， 因为当时，，故点与重合，不合题意， ：直线过定点； （3）在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， 在中，根据正弦定理得：，为外接圆的半径， ， ，故， 由于，分别为和的外接圆面积， 故， 则， 设：，与联立消去得：， 设，，则，， ，， ，， 因为，所以，，， . 14.已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 15.已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点. (1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点. (2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1），即，， 故可设，，， 设，， 联立，得，且， 所以，则， 设，易知：，所以，， 有， 即， 所以，得，且该解同时满足以上方程，故该圆经过定点. （2）时，，令， 联立，得， ，， 设中点为，， ，又在轴上， 所以，得，， 由于斜率为正的渐近线为：，，故在的异支上， ，， 所以，， 故，当且仅当，即时等号成立， 所以. 题型五：利用双曲线中切线求参数（值）范围 16.已知双曲线，若过不在直线上的点能作且只能作该双曲线的一条切线，则该双曲线离心率（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过不在直线上的点能作且只能作该双曲线的一条切线，点在双曲线C上. 【解析】直线为双曲线的两条渐近线， 由于点不在双曲线的渐近线上，且只能作双曲线的一条切线，所以该点在双曲线上， 则有，所以，双曲线方程为，. 则， 离心率. 故选：D. 17.若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围. 【解析】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 18.若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，此时点在定直线t上，则t=______． 【答案】 【分析】解法一：利用导数得出在和在的切线方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上； 解法二：利用阿基米德三角形的结论直接求解即可. 【解xi 】解法一：依题意得直线AB的斜率必不为0，设直线AB的方程为， 不妨设在第一象限，在第四象限， 因为，所以，则， 且，求导得，则， 所以在点的切线方程为， 即，即， 同理在点处的切线方程为， 由，得点的横坐标为， 又， 所以， 所以的横坐标为，即点在定直线上． 解法二：已知双曲线的弦， 过A，B分别作双曲线的切线，两切线交于点，则为双曲线中的阿基米德三角形， 当弦AB过点时，点落在直线上． 由题意知此处，则所求定直线为直线． 故答案为：. 题型六：利用双曲线的切线探求最值与范围问题 19.（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（  ） A．的值随着的增大而减小 B．双曲线的离心率为 C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 渐近线为，在中， 由正弦定理可知， 显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大， 即，随着的增大分别减小与增大且均为正数， 的值随着的增大而减小，故A正确； 对于B，由，则，因为左顶点为，右顶点为， 即，所以，，故B正确； 对于C，显然，且，，故C错误； 对于D，可设双曲线， 在点处的切线方程为， 联立可得， 联立可得， 点为线段的中点，即，故D正确； 故选：ABD. 20.已知椭圆，焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点，点在上，且，在点处的切线交于两点. (1)求直线的方程（用含的式子表示）； (2)若点，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线， 设双曲线方程为，由双曲线过点，代入方程， 解得双曲线， 点在上，有， 因为点在第一象限，所以可以将双曲线变形为. 求导有， 当时，，所以的方程为：， 化简有. （2）设，有， 联立 ，消去得， 有，， ， 点到直线的距离， 则，将代入， 有 当且仅当时取等号，故面积的最大值为. 20.已知双曲线的实轴长为4，离心率. (1)求的方程； (2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，又， 所以，则双曲线的方程为. （2） 设切线的方程为，则原点到的距离为1， 得，即. 由，得. 因为切线过上一点， 所以，方程有解. 得，化简得， 又，解得， 所以切线斜率最大为，此时直线为. 不妨取切线方程为， 设与的渐近线交于， 则的渐近线方程与联立得，， 则，得， 又原点到直线的距离为1，所以面积为， 即切线斜率最大时与的渐近线围成的三角形面积为. 21.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1） 设，则满足，又可设切线， 则联立化简得. 由，解得， 所以直线，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. （2）由（1）可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 题型七：利用双曲线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 22.双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解析】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B.      23.已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【解析】时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 故答案为: 24.已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由题意建立的方程组，求解即得双曲线方程； （2）设直线的方程为，将其分别与双曲线方程和渐近线方程联立，消元后，利用韦达定理，求得弦长,以及原点O到直线的距离，结合图形，根据求出表达式，换元后根据函数的单调性即可求得的最大值. 【解析】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 25.设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解析】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 26.已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．    (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 【答案】(1)(2)（ⅰ）过定点，定点坐标，理由见解析；（ⅱ） 【解析】（1）因为离心率，所以，而，所以． 所以双曲线的方程为． 将点代入双曲线方程，得，所以． 所以的方程为． （2）（ⅰ）直线过定点． 由双曲线的方程可知，设． 方法一：由，可设，则直线即的方程为． 联立整理得. 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以． 所以，即． 又直线即的方程为， 联立得， 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以， 所以. ∴． 当时，直线的斜率 ． 直线的方程为． 化简整理得，直线过定点． 当时，，即， 解得．直线也过定点． 综上，直线过定点． 法二：设直线的方程为，联立 整理得， 则． 所以． 直线．令，得． 直线，令，得． 由，得， 即， 所以． 即． 因为， 所以． 整理可得． 所以，所以直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点，    则． 由（ⅰ）知， ∴． 又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为． 所以． 令，则， 于是． 令，，则，在单调递减， 所以在单调递增， 当，即时，取得最小值． 所以的取值范围是． 27.已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii） 【解析】（1）依题意，双曲线半焦距，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，则， 由消去得， 则，解得，， 直线的方程为，即， 而 ，因此直线的方程为， 所以直线经过定点. 或令，得 ， 所以直线经过定点. （ii）由（i）知， ， 而，令， 因此在上单调递增，则， 所以的取值范围是.    题型八：与向量融合 28.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 29.已知双曲线的渐近线方程为，且虚轴长为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围. 【答案】(1)；；(2)或. 【解析】（1）由题意知：，解得， 双曲线的方程为. （2）联立直线与双曲线：，消得：. ，可得且， 设，则， ，则，整理得， ∴或， 综上，的取值范围为或. 30.设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设点，由可得轨迹方程； （2）当直线l斜率不存在，可得；当直线l斜率存在，设其方程为，设，，将直线与轨迹方程联立，由韦达定理结合，可得，据此可得关于的表达式，然后可得取值范围. 【解析】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 31.已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 32.已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点. (1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； (2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，双曲线，其中， 因为为等腰三角形，点在第一象限， 所以由双曲线性质可知，为三角形的底边，， 所以P点在以为圆心、3为半径的圆上， 设，其中，则有，解得，即. （2）由题意的斜率不为0，设直线， 设点，则 联立得 由已知二次项系数，且， 即， 所以， 则 即. 代入得， 即， 化简得，即，所以 因为，代入，得， 所以所以， 综上， 33.已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）依题意，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为. 34.已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得， 此时，双曲线的离心率为. （2）若，不妨设点位于第一象限，且，则， 由双曲线的定义可得， 又因为，则，， 所以，， 所以，， 故. （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上， 连接、， 则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，则，即、、三点共线， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、， 因为， 所以，，则， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 令，则，则关于的二次方程在上有解， 设，则二次函数在上单调递减， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线中七类最值与范围问题 题型一：利用直线与双曲线的位置关系求参数值(范围) 题型二：利用双曲线中弦长求参数（值）范围 题型三：利用双曲线中弦长探求最值与范围问题 题型四：利用双曲线中切线求参数（值）范围 题型五：利用双曲线的切线探求最值与范围问题 题型六：利用双曲线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 题型七：与向量融合 题型一：利用直线与双曲线的位置关系求参参数值(范围) 1.“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.如果直线与双曲线没有公共点，的取值范围为（  ） A． B．或 C． D．或 3.若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4.已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5.已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 6.若直线与双曲线的右支有两个交点，则k的取值范围为__________． 7.若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________． 题型二：利用双曲线中弦长求参数（值）范围 8.已知直线与双曲线交于两点，若过右焦点，且的最小值为2，则的取值范围为_____________ 9.双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上,直线与双曲线交于点，若弦的长为42，则_______________． 10.已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 11.已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 12.在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 题型三：利用双曲线中弦长探求最值与范围问题 13.已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，过的直线与的左支交于两点，若的最小值为4，则周长的最小值为（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 14.已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 13.已知双曲线：的离心率为2，点在上，、为双曲线的下、上顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线交于点，直线交的上支于点. (1)求的方程； (2)探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围 14.已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 15.已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线与交于不重合的两点. (1)若的离心率为2，求证：对于给定的或，以为直径的圆经过轴上一定点. (2)若，为轴上一点，四边形为平行四边形，求其面积的最小值. 题型五：利用双曲线中切线求参数（值）范围 16.已知双曲线，若过不在直线上的点能作且只能作该双曲线的一条切线，则该双曲线离心率（  ） A． B． C． D． 17.若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是___________． 18.若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，此时点在定直线t上，则t=______． 题型六：利用双曲线的切线探求最值与范围问题 19.（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（  ） A．的值随着的增大而减小 B．双曲线的离心率为 C． D． 20.已知椭圆，焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点，点在上，且，在点处的切线交于两点. (1)求直线的方程（用含的式子表示）； (2)若点，求面积的最大值. 20.已知双曲线的实轴长为4，离心率. (1)求的方程； (2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 21.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 题型七：利用双曲线中三角形（四边形）面积探求最值及范围 22.双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 23.已知直线与双曲线交于两点,若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，则四边形的面积的最大值为___________． 24.已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 25.设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 26.已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点．    (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 27.已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 题型八：与向量融合 28.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 29.已知双曲线的渐近线方程为，且虚轴长为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于不同的两点，且满足，求的取值范围. 30.设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 31.已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 32.已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点. (1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； (2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围. 33.已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 34.已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $