精品解析：江苏省黄埭中学2025-2026学年高一下学期3月阶段性练习数学试题

高一年级数学3月阶段性练习 一、单选题（每小题5分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据的值求出和的值，再代入两角和公式求解. 【详解】因为，所以. 又因为，将代入可得： ，即，，. 因为且，所以，. 所以，. 根据两角和公式. 将，代入可得： . 故选：D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示可求出实数的值. 【详解】因为向量，，且，则，解得， 故选：C. 3. 已知中，，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又，故或． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正切公式的逆用结合诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：D 5. 若，，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角关系，以及，利用两角差的正弦公式求角． 【详解】由可得，易知得，， 则 ，. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再由二倍角余弦公式求. 【详解】由，即， 又. 故选：D 7. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出、的坐标，再结合投影向量的计算公式求解即可． 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量为 ． 8. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系， 由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 二、多选题（每题6分） 9. ，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由数量积公式可得，计算是否等于0可判断A选项；求出可判断B选项； 对平方再开方计算可判断C选项；计算出，由向量的夹角公式计算可判断D选项． 【详解】由向量，是夹角为的单位向量，可得， ∵，， ∴， ∴不成立，故A错误； ， ∴，故B正确； 由，可得，故C错误； ，则，故D正确． 故选：BD． 10. 设函数，若在区间上单调递增，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在使得函数为奇函数 B. 函数的最大值为 C. 的取值范围为 D. 存在4个不同的使得函数的图象关于对称 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简，再根据奇函数的定义可判断A，根据正弦函数的有界性可判断B，根据正弦函数的单调性可判断C，根据正弦函数的对称性可判断D． 【详解】由题意得 ， 故， 因此不存在，使得函数为奇函数，故A错误； 由于，故，即的最大值为，故B正确； 由于在区间上单调递增， 故，解得，故C正确； 令，解得， 结合知的取值为，共8个值，故D错误． 11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】 逐项进行分析即可. 【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为的重心； 选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心； 选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心； 选项D，由得， ∴，即， ∴．同理可证， ∴，，，即点O是的垂心； 故选：AC． 【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题． 三、填空题（每题5分） 12. 已知向量满足__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 所以． 故答案为：. 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝_____. 【答案】 【解析】 【详解】由B＝C,2b＝a， 可得b＝c＝a， 所以cos A＝＝＝. 故答案为 14. 在锐角三角形中，若，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【详解】在锐角三角形中， 因为，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以， 又， 所以， 即， 当，，或，，时，等号成立， 即的最小值为8． 【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边． 四、解答题 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 16. 已知在中，角，，的对边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若线段上的一点满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过正弦定理将边的比例参数化，结合余弦定理求出边后再计算； （2）第二问由向量垂直的性质将所求角的余弦转化为计算即可． 【小问1详解】 根据正弦定理，可得， 设， 由余弦定理， 化简得，解得（边长为正，舍去负根）， 由余弦定理得． 【小问2详解】 由得，即，为直角三角形， 所以， 因此， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以． 17. 已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，，根据两角差的正弦公式求出，再根据平面向量的数量积的坐标表示可得结果； （2）利用平面向量共线的坐标表示可得，再根据两角差的正弦公式化简可解得结果. 【小问1详解】 因为角的终边过点，所以，， 所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为向量，所以，即， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 18. 如图，在中，，，． （1）求； （2）已知点D是AB上一点，满足，点E是边CB上一点，满足． ①当，求； ②是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）由，然后根据向量数量积的运算律即可求解； （2）①由题意，，由向量数量积的定义及运算律即可求解； ②由题意，，，假设存在非零实数，使得，则由即可求得. 【小问1详解】 解：∵，且，，， ∴． 【小问2详解】 解：①时，，， ∴D、E分别是边AB、BC的中点， ∴，， ∴ ； ②存在．理由如下：假设存在非零实数，使得， 由，得， ∴． 又， ∴， ∴，解得或（不合题意，舍去）， 所以存在非零实数，使得. 19. 某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示.已知扇形AOB的圆心角，半径为200米.现需要N修建的花园为平行四边形OMNH，其中M，H分别在半径OA，OB上，N在上. （1）求扇形AOB的弧长和面积； （2）设，平行四边形OMNH的面积为S.求S关于角θ的函数解析式，并求S的最大值. 【答案】（1）米，平方米 （2），平方米 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式即可求解； （2）过N作NP⊥OA于P，过H作HE⊥OA于E，利用三角函数，求出和的长度，即可得出S关于角θ的函数，利用二倍角和辅助角公式化简解析式，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 扇形AOB的弧长为(米) 扇形AOB的面积为(平方米) 【小问2详解】 过N作NP⊥OA于P，过H作HE⊥OA于E，如图所示 因为，所以， 所以. 于是 ，. 因为，所以 当即时，S取到最大值，且最大值为平方米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学3月阶段性练习 一、单选题（每小题5分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，，，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 若，，并且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. ，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，若在区间上单调递增，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在使得函数为奇函数 B. 函数的最大值为 C. 的取值范围为 D. 存在4个不同的使得函数的图象关于对称 11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有 A. 若,则点O为的重心 B. 若,则点O为的垂心 C. 若,则点O为的外心 D. 若,则点O为的内心 三、填空题（每题5分） 12. 已知向量满足__________． 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝_____. 14. 在锐角三角形中，若，则的最小值是______. 四、解答题 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 16. 已知在中，角，，的对边分别为，，，，． （1）求的值； （2）若线段上的一点满足，求的值． 17. 已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 18. 如图，在中，，，． （1）求； （2）已知点D是AB上一点，满足，点E是边CB上一点，满足． ①当，求； ②是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示.已知扇形AOB的圆心角，半径为200米.现需要N修建的花园为平行四边形OMNH，其中M，H分别在半径OA，OB上，N在上. （1）求扇形AOB的弧长和面积； （2）设，平行四边形OMNH的面积为S.求S关于角θ的函数解析式，并求S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $