精品解析：江苏省苏州市相城区苏州国裕外语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

苏州国裕2024-2025学年第二学期高一年级自主学习检测试卷 数学学科 2025.03 （本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 2. 下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角函数图象的对称变换，确定各选项中三角函数的周期性与单调性，一一判断各选项，即可求解. 【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：， 所以AC选项不符合题意； 对于B：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递增，所以B选项不符合题意； 对于D：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递减，所以D选项符合题意； 故选：D 3. （ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即得. 【详解】. 故选：B 4. 给出下列各式的值：①②③④其中符号为负的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出各角所处的象限，再根据不同象限三角函数值的符号即可得出①②③符号为负，利用三角函数单调性即可求得，即可得出结论. 【详解】对于①，易知，即5弧度的角位于第三象限，其正弦值为负，符合题意； 对于②，易知是第二象限角，其余弦值为负，正弦值为正， 所以可得符号为负，符合题意； 对于③，易知弧度的角与弧度的角终边相同， 又弧度的角位于第二象限，其正切值为负，即的符号为负，符合题意； 对于④，由三角函数单调性可知， 所以，符号为正，不符合题意. 所以符号为负的是①②③. 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由利用两角和的正切公式展开代入已知数据结合正切的二倍角公式，可得关于的方程，进而可得的值，再由同角三角函数基本关系即可求的值. 【详解】 因为， 所以，整理可得：，可得：， 又因为，所以， 由可得， 因为，所以， 故选：D. 6. 把函数图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个的长度单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法即可得到的解析式. 【详解】由已知的函数逆向变换， 第一步：向右平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象， 所以， 故选：C. 7. 已知为三角形的两个内角，，则＝（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得． 【详解】因为三角形的两个内角，且， 则，， 因，， 得， 则， 故， 因，，则． 故选：B． 8. 若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 则原问题转化为不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又， 所以在上恒成立， 设，则函数在上单调递增， 所以，得， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为在上恒成立问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 计算下列各式的值，其结果为1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A中，将正切转化为正余弦的比，再由辅助角公式及二倍角公式即可判断AC；由辅助角公式和二倍角公式及诱导公式可判断B；由诱导公式及二倍角公式可判断D. 【详解】，所以A正确； ，所以B不正确； ，所以C错误； ，所以D正确； 故选：AD． 10. 已知函数，则下列四个结论中不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间内有4个零点 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A不正确；令，求得可判定B不正确；由时，可得，可判定C正确；由，结合正弦函数的性质，可判定D不正确. 【详解】对于函数， 对于A中，令，可得， 所以函数的图象不关于点中心对称，所以A不正确； 对于B中，令，可得不是最值， 所以函数的图象不关于直线对称，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 当时，可得， 所以在上有4个零点，所以C正确； 对于D中，由，可得， 根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D不正确. 故选：ABD. 11. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数为 B. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 C. 经过10分钟点Q距离地面35米 D. 摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 【答案】CD 【解析】 【分析】由题可知，摩天轮转一圈用30分钟，则OQ在分钟转过的角为，即可得OQ为终边的角，进而判断A选项；对称中心的横坐标满足，即可判断B选项；将代入点Q距离水平地面的高度与时间的函数中，即可判断C选项；令，求解即可判断D选项. 【详解】由题意知，OQ在分钟转过的角为， 所以以OQ为终边的角为， 所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误； 由，得，所以不是对称中心，故B错误； 经过10分钟，，故C正确； 由，得，得，解得，共20分钟，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、，、是一元二次方程的两个根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，，即可得到、，则，再求出，即可得解. 【详解】因为、是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 所以，， 又、，所以、，所以， 所以， 所以. 故答案为： 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值（记为m）也可以表示为．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，故利用辅助角公式化简得到. 【详解】，，故， 故 . 故答案为： 14. 已知，若在内恰有两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简的解析式，根据在区间上零点的个数列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 ， 要使在内恰有两个零点， 首先，即； 其次由得， 由得，， 由于在内恰有两个零点， 若，则，解得. 若，则，解得. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：首先需要化简的解析式，利用的是三角恒等变换的知识，将三角函数的解析式化简为的形式，然后由以及三角函数的性质来列不等式来对问题进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象如图所示. （1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； （3）求这个函数的单调增区间和对称中心. 【答案】（1），其振幅是2，初相是 （2）时，函数取得最大值为0；时，函数取得最小值为-2 （3）单调递增区间为，对称中心为 【解析】 【分析】（1）根据图像写出，由周期求出，再由点确定的值． （2）根据确定的取值范围，再由 的单调求出最值 （3）用整体代入法结合函数可求函数的单调增区间和对称中心. 【小问1详解】 由图象知，函数的最大值为，最小值为，∴， 又∵，∴，，∴. ∴函数的解析式为. ∵函数的图象经过点， ∴，∴， 又∵，∴. 故函数的解析式为，其振幅是，初相是. 【小问2详解】 由（1）得，令，则. ∵，∴. 于是，当，即时，函数取得最大值0； 当，即时，函数取得最小值为. 【小问3详解】 令，，解得, 所以函数的单调增区间. 令,，解得， 故函数的对称中心为，. 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． （1）求； （2）的值． （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案； （2）由诱导公式化简，后由可得答案； （3）根据半角公式，结合同角三角函数关系式联立方程组解题即可. 【小问1详解】 由三角函数定义，结合题意，可得， 即，所以； 【小问2详解】 由诱导公式，结合题意可得： ， 又，则 【小问3详解】 根据半角公式，则， 由，即，可得. 又因为，把代入可得. 即，，，则. ，且终边与单位圆交点，终边在第一象限， 则，则， 则终边落在第一象限，则，则，； 则的值为. 17. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成角，该铁棒欲通过该直角走廊，求： （1）铁棒长度L（用含的表达式表示）； （2）当时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式； （2）根据（1）表达式，化简可得，令，根据范围，可得t的范围，根据二次函数性质，可得L的最小值，即可得答案. 【小问1详解】 作出示意图，铁棒，， 在中，， 在中，， 所以 【小问2详解】 当时， 令，因为，， 所以，， 所以，且在上单调递增， 所以当时，即时，L的最小值为， 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）若函数在上不单调，求的取值范围； （3）若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， 对称轴; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴； （2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围； （3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围. 【小问1详解】 函数 , 所以函数的最小正周期， 由，所以函数图象的对称轴为； 【小问2详解】 由， 可得函数在区间上单调递增， 由于区间里面一定有，而， 所以函数在上不单调的等价条件是， 即满足或，解得：， 故的取值范围； 【小问3详解】 当时，，则， 所以函数的值域为， 再由，，都有恒成立， 则有，即， 故实数的取值范围． 19. 定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期. （1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）； （2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数； （3）若为线周期函数，求的值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一判断即可； （2）根据新定义证明即可； （3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有 ，可得，解得的值再检验即可. 【详解】（1）对于，，所以不是线周期函数， 对于，，所以不是线周期函数， 对于，，所以是线周期函数； （2）若为线周期函数，其线周期为， 则存在非零常数对任意，都有恒成立， 因为， 所以， 所以为周期函数； （3）因为为线周期函数， 则存在非零常数，对任意， 都有， 所以， 令，得， 令，得， 所以，因为，所以， 检验：当时，， 存在非零常数，对任意， ， 所以为线周期函数， 所以：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州国裕2024-2025学年第二学期高一年级自主学习检测试卷 数学学科 2025.03 （本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 给出下列各式的值：①②③④其中符号为负的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 把函数图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个的长度单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为三角形的两个内角，，则＝（     ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 计算下列各式的值，其结果为1的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列四个结论中不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间内有4个零点 D. 函数在区间上单调递增 11. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数为 B. 点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为 C. 经过10分钟点Q距离地面35米 D. 摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、，、是一元二次方程的两个根，则_________. 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值（记为m）也可以表示为．若，则________． 14. 已知，若在内恰有两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象如图所示. （1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值； （3）求这个函数的单调增区间和对称中心. 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． （1）求； （2）的值． （3）求的值． 17. 如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成角，该铁棒欲通过该直角走廊，求： （1）铁棒长度L（用含的表达式表示）； （2）当时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）若函数在上不单调，求的取值范围； （3）若，，都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期. （1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）； （2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数； （3）若为线周期函数，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $