专题03 二次函数图象问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以数形结合为核心，通过解题通法引领、7类题型系统归纳及压轴挑战提升，构建二次函数图象问题从基础到综合的方法体系与知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|图象特征与系数对应，数形结合，变换规律，分类讨论|从概念本质建立“数-形”联系，奠定思维基础| |题型归纳|7题型（每题型1典例+3变式）|系数关系用开口/对称轴/特殊点，交点问题联立判别式，图象法解方程转化函数交点，平移“左加右减”，旋转180°变a与顶点，对称变符号|从基础系数分析到复杂变换（平移/旋转/对称），层层递进覆盖图象问题全考点| |压轴挑战|约15题|综合应用多方法，结合动态与分类讨论|对接中考压轴趋势，提升模型意识与综合解题能力|

专题03 二次函数图象问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数图象与各项系数的关系 题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题 题型3、用图象法确定方程的根 题型4、利用二次函数图象对称轴求解 题型5、平移后的二次函数图象问题 题型6、旋转后的二次函数图象问题 题型7、对称后的二次函数图象 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 研究二次函数图象的问题，核心在于把图象特征与解析式中的系数建立对应关系；要紧紧抓住开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点以及特殊点函数值等关键量，利用数形结合思想分析图象变换前后解析式与图象的联系；解题中必须注意平移、旋转、对称等变换规律，以及分类讨论与临界状态，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数图象与各项系数的关系 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若，是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型模版 1.特征：题目给出抛物线图象或部分信息，要求判断 a、b、c 及相关代数式的符号或范围． 2.方法：由开口方向定 a 的符号，对称轴位置定 b 的符号及 2a+b、2a-b 等关系，与 y 轴交点定 c；结合特殊点函数值、判别式综合判断，注意赋值验证． 变式1-1 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④ 变式1-2 （25-26九年级上·全国·期中）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有__________填序号 变式1-3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的_________． ①，②，③，④． 题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题 典例2 函数与的图象可能是（   ） A．   B．  C．   D． 题型模版 1.特征：两个函数图象相交、相切或无交点，要求确定参数取值范围或交点坐标． 2.方法：联立一次函数与二次函数解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数；结合图象趋势、临界位置列不等式并回代检验． 变式2-1 已知a，b是非零实数，且，在同一个坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 变式2-2 若，已知一次函数的图象经过和两点，则二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 变式2-3 （25-26九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 题型3、用图象法确定方程的根 典例3 （25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）三个关于的方程：，，，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：不直接解方程，而是借助二次函数图象与 x 轴或水平直线的交点来确定方程的根或其近似值、范围． 2.方法：将方程变形为两个函数相等的形式，画出相关函数图象；交点的横坐标即为方程的根；利用对称轴、区间端点函数值估算根的分布． 变式3-1 小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 变式3-2 （25-26九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量的取值范围是___________； (2)小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； (4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 变式3-3 （25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点． (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是______； ②方程的根是______（结果保留一位小数）； ③当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______； ④当时，函数值，直接写出n的取值范围______． 0 1 0 0 题型4、利用二次函数图象对称轴求解 典例4 （24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知二次函数，则下列说法中正确的是（   ） ①当时，则方程有两个不同的实数根； ②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线； ③当时，若二次函数的图象与轴负半轴交于和，且，方程的解为，，若，则有． ④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则． A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 题型模版 1.特征：题目涉及抛物线上对称点的函数值比较、最值或参数范围，要求利用对称轴性质． 2.方法：先由解析式或两点对称关系求出对称轴；利用对称点到对称轴距离相等时函数值相等的性质，把各点转化到同侧比较；结合开口方向与单调性求解． 变式4-1 （2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式4-2 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 1 4 0 5 9 5 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 变式4-3 （25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线（）上． (1)①该抛物线的对称轴为_______； ②若该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围； (2)已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值； (3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 题型5、平移后的二次函数图象问题 典例5 已知抛物线（a为常数）． (1)若抛物线经过点． ①求a的值； ②将抛物线向右平移b()个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A的横坐标为4，求b的值； (2)若点，都在抛物线上，，求a的取值范围． 题型模版 1.特征：抛物线按某方向平移若干单位后，要求新图象的解析式、顶点、与坐标轴交点或参数范围． 2.方法：平移遵循“左加右减、上加下减”原则，先确定原顶点，再按平移向量得到新顶点，从而写出新解析式；也可直接在解析式中用 x±h、y±k 替换，注意自变量范围． 变式5-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）若抛物线（a是常数，）经过点，． (1)求a与b之间的关系式． (2)若将此抛物线向上平移1个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围． (3)已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 变式5-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 变式5-3 在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． (3)当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 题型6、旋转后的二次函数图象问题 典例6 （25-26九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 题型模版 1.特征：抛物线绕某点旋转 180° 后，开口方向、顶点、对称轴均发生变化． 2.方法：旋转 180° 后开口方向相反，a 变号，顶点变为关于旋转中心的对称点；根据新顶点和新开口方向写出解析式；注意旋转后定义域与图象范围的变化． 变式6-1 （25-26九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，图像的对称轴与轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式并直接写出的值． 变式6-2 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象，图象的对称轴与x轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式． 变式6-3 （24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 题型7、对称后的二次函数图象 典例7 抛物线过，两点，交轴于点，连结．    （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，点，，的对应点分别为，，，交抛物线于点．当点为的中点时，求的值； （3）如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，直接写出点的坐标． 题型模版 1.特征：抛物线关于 x 轴、y 轴或某条竖直线对称后，求新解析式或利用对称性质求参数． 2.方法：关于 x 轴对称：a、c 变号，对称轴不变；关于 y 轴对称：b 变号，对称轴相反；关于直线 x=m 对称：顶点横坐标变为 2m−h，开口方向不变；结合图象验证． 变式7-1 已知抛物线，在之间的部分记为图象，将图象沿直线对折得到图象，图象和合成图象.若过y轴上的点且与轴垂直的直线与图象有且只有两个公共点，则的取值范围是____________． 变式7-2 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点． (1)求的值； (2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”．求抛物线上的“倍值点”的坐标； (3)如图1，将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为． ①直接写出新函数图象对应的函数解析式； ②当时，图象上函数的最小值是，最大值是，求的取值范围． 变式7-3 （25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量≥时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为． (1)求函数的对折函数； (2)若点在函数的对折函数的图象上，求的值； (3)当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 29．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 30．如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 31．已知抛物线的图象关于直线对称．若该抛物线与直线交于点，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 33．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 34．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（   ） A．④ B．③④ C．①②④ D．①③④ 35．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 1 … (1)若，请求出抛物线的表达式； (2)若，且，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； (3)若，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，求的值． 36．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 37．（2025九年级·浙江·学业考试）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． (1)若，且函数图象经过和两点，求函数的表达式及其图象的对称轴； (2)若将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，求的最小值； (3)若函数图象经过点和，且，求的取值范围． 38．抛物线交轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点G，求点G的坐标． 39．小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、．试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”． 40．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 41．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），抛物线y=-2x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为点D． （1）如图1，求抛物线的函数表达式； （2）如图2，连接AC、AD，将△ABC沿AC折叠后与AD、y轴分别交于点交于E、G，求OG的长度； （3）如图3，将抛物线在AC上方的图象沿AC折叠后与y轴交于点F，求点F的坐标． 42．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． (1)当抛物线经过原点时，直接写出的值； (2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； (3)若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 43．二次函数（）的图象交轴于原点及点． (1)求点的坐标． (2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）． ②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值． ③若点，在上，且，请直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数图象问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数图象与各项系数的关系 题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题 题型3、用图象法确定方程的根 题型4、利用二次函数图象对称轴求解 题型5、平移后的二次函数图象问题 题型6、旋转后的二次函数图象问题 题型7、对称后的二次函数图象 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 研究二次函数图象的问题，核心在于把图象特征与解析式中的系数建立对应关系；要紧紧抓住开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点以及特殊点函数值等关键量，利用数形结合思想分析图象变换前后解析式与图象的联系；解题中必须注意平移、旋转、对称等变换规律，以及分类讨论与临界状态，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数图象与各项系数的关系 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若，是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线的顶点坐标公式，二次方程根的分布，熟练掌握二次函数图象与、、的关系是解题关键． ①由开口方向、轴交点、对称轴分别得、、，推得；②由顶点坐标公式和顶点纵坐标值大于2，结合变形得；③代入得，再代入时，化简得；④整理方程为函数，结合开口方向、对称轴、当和时的函数值，判断根的范围． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴， ， ， 故①正确； ②由图可知，抛物线顶点纵坐标大于， ， ， ， 故②正确； 二次函数的图象经过点， ， ， 由图可知，当，， ，即， 故③正确； 已知，则， 令， 可知抛物线开口向下，对称轴为， 由③知， 故， 当，，则， 当，，则． 故④正确． 综上，正确答案有个． 故选：． 题型模版 1.特征：题目给出抛物线图象或部分信息，要求判断 a、b、c 及相关代数式的符号或范围． 2.方法：由开口方向定 a 的符号，对称轴位置定 b 的符号及 2a+b、2a-b 等关系，与 y 轴交点定 c；结合特殊点函数值、判别式综合判断，注意赋值验证． 变式1-1 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 变式1-2 （25-26九年级上·全国·期中）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有__________填序号 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴ ， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③∵ ∴ ∴，故③正确； ④由图可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，即，故④错误； ⑤当时，取最小值， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 变式1-3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的_________． ①，②，③，④．    【答案】③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解决本题的关键是运用数形结合思想．由抛物线的开口判断a的符号，由对称轴判断b的符号及b与的关系，由一次函数的图象和性质可判断k的取值范围，由一次函数与二次函数的交点可判断k与的关系，进而得解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴是直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故①不正确； ，故②不正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，， ， ， ， ， 点A的坐标为． 当直线的时，， ， ． ，故③正确； 联立得， 整理得， 解得， 由图象知：， ， ，故④正确． 综上，正确的命题有③④． 故答案为：③④． 题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题 典例2 函数与的图象可能是（   ） A．   B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型模版 1.特征：两个函数图象相交、相切或无交点，要求确定参数取值范围或交点坐标． 2.方法：联立一次函数与二次函数解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数；结合图象趋势、临界位置列不等式并回代检验． 变式2-1 已知a，b是非零实数，且，在同一个坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：． 故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（，0）或点（1，a+b）． 在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0， ∵ ∴0， ∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项A不可能； 在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0， ∵ ∴0， ∴（，0）比（1，a+b）更靠近原点，故选项B有可能； 在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项C不可能； 在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点． 变式2-2 若，已知一次函数的图象经过和两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象经过和两点， ∴，消去得， ∵， ∴当，即；或当时，， 当时，； 当时，； 抛物线的对称轴为直线， 当，时，对称轴为直线， 当，时，对称轴为直线， 当时，只有选项C符合抛物线与轴交点在原点下方，且开口向下，则，，与对称轴在原点右侧相矛盾，不符合题意； 当时，开口向下，排除选项B； 对于选项A，由图象知，∴，符合题意； 对于选项C，由图象知，∴，与对称轴在原点右侧相矛盾，不符合题意； 对于选项D，由图象知，∴，与对称轴在原点左侧相矛盾，不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 变式2-3 （25-26九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质，结合二次函数图像确定的取值范围，然后结合一次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数，由题意可知， 其图像开口向下，则， ∴， 该二次函数图像的对称轴在轴左侧， 则， 结合可得， ∴， ∴对于一次函数，可知随的增大而减小， 当时，则，即该一次函数的图像与轴交于正半轴， ∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 题型3、用图象法确定方程的根 典例3 （25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）三个关于的方程：，，，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解，根据可知二次函数，，的开口向上，且开口大小为：，作出函数图象，结合函数图象作出判断． 【详解】解：， 二次函数，，的开口向上，且开口大小为：， 其函数图象大致为： ． 由图象可知：． 故选：A． 题型模版 1.特征：不直接解方程，而是借助二次函数图象与 x 轴或水平直线的交点来确定方程的根或其近似值、范围． 2.方法：将方程变形为两个函数相等的形式，画出相关函数图象；交点的横坐标即为方程的根；利用对称轴、区间端点函数值估算根的分布． 变式3-1 小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，将方程转化为与的交点问题，画出函数图象得到的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：画出的图象如图： ∵方程有四个不等实数根， ∴， 故的值可能是1. 变式3-2 （25-26九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数．她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题： (1)函数的自变量的取值范围是___________； (2)小君写出该函数与的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 0 0 459 … ①的值为___________； ②小君发现该函数的图象关于轴对称，并用软件画出了该函数在时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象； (3)写出方程最小的解的近似值：___________（精确到0.1）； (4)过点作垂直于轴的直线，若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】(1)所有实数 (2)①； ②补图如下： ； (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，求函数值，画函数图象等知识，解题的关键是： （1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是任意实数； （2）①把代入解析式计算即可； ②根据表格中数据描点连线即可得出该函数图象； （3）利用图象求解即可； （4）根据配方法可求出，则当，即时，有最小值为，然后利用函数图象求解即可． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是所有实数， 故答案为：所有实数； （2）解：①当时，， 故答案为：； ②略 （3）解：令，如下图所示： 方程最小的解接近， ∵当时，； 当时，； 当时，， ∴由图象可知：方程最小的解的近似值， 故答案为：； （4）解： ， ∴当，即时，有最小值为， 如图， 由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 故答案为：或． 变式3-3 （25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点． (1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题： ①当函数值时，自变量x的取值范围是______； ②方程的根是______（结果保留一位小数）； ③当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______； ④当时，函数值，直接写出n的取值范围______． 【答案】(1)图见解析 (2)①或②③④ 【分析】本题考查画二次函数的图象，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）五点法作图即可； （2）根据二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想逐一进行求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： 0 1 0 0 描点，连线，画图如下： （2）①由图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是或； ②，整理，得，即：， 方程的解可以看作是二次函数与的交点的横坐标， 观察图象可知，； ③由图象可知：当时，y随x的增大而减小， ∴m的取值范围是； ④由图象可知：． 题型4、利用二次函数图象对称轴求解 典例4 （24-25九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知二次函数，则下列说法中正确的是（   ） ①当时，则方程有两个不同的实数根； ②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线； ③当时，若二次函数的图象与轴负半轴交于和，且，方程的解为，，若，则有． ④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则． A．①② B．①④ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】题目主要考查二次函数的性质及与一元二次方程的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的性质，作出相应草图，依次判断即可． 【详解】解：①，， ∴， ∴方程有两个不同的实数根，正确； ②，当时，， ∵二次函数的图象过点， ∴该图象的对称轴为直线，错误； ③如图所示，画草图如下： 方程的解可看作与交点的横坐标， 由图可得：，错误； ④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，， ∴当时，即有两个根， 对应的二次函数为，开口向下， ∵， ∴当时，，整理得，正确； 综上可得：正确的有①④， 故选：B． 题型模版 1.特征：题目涉及抛物线上对称点的函数值比较、最值或参数范围，要求利用对称轴性质． 2.方法：先由解析式或两点对称关系求出对称轴；利用对称点到对称轴距离相等时函数值相等的性质，把各点转化到同侧比较；结合开口方向与单调性求解． 变式4-1 （2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 变式4-2 （25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 1 4 0 5 9 5 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值，再根据对称轴公式求出对称轴即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断③；画出函数图形可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把 代入得， 解得： ∴ ∴对称轴为直线，故①正确； ∵ ∴，即为， ∴， ∵ ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故②错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故③正确； 由得， 即 则和： 由 解得：， ∴， 由图形可得，当或时，，即，故④正确； 综上，正确的结论为①③④， 故答案为：①③④． 变式4-3 （25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线（）上． (1)①该抛物线的对称轴为_______； ②若该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围； (2)已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值； (3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①直线；② (2)， (3)存在， 【分析】（1）①利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴； ②由抛物线的对称轴为直线得到，根据抛物线与x轴没有交点得到，求解即可； （2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，对应的的取值，进而求出，的值； （3）由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可． 【详解】（1）解：①抛物线， 时，， 抛物线过点， 抛物线过点， 该抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵该抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴， ∵， ∴a的取值范围是． （2）解：， ． ，抛物线开口向上， 当时，函数值在上取得最小值． 即． ∵， ∴，． 抛物线的表达式为，即． ， 当时，随的增大而减小，当时取得最大值， 当时，随的增大而增大，当时取得最大值， 对称轴为， 与时的函数值相等． ， 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值． 当时，函数值在上取得最大值3． 代入有，舍去负解，得． （3）解：存在，． 当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值， 关于的取值范围一定不包含对称轴， ①当时，在对称轴的左侧， 二次函数开口向上， ∴时，有最大值，时，有最小值， 由题意可知：，解得：， 故， ②当时，在对称轴的右侧， 二次函数开口向上， ∴时，有最小值，时，有最大值， 由题意可知：，此时无解， 故不符合题意， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键． 题型5、平移后的二次函数图象问题 典例5 已知抛物线（a为常数）． (1)若抛物线经过点． ①求a的值； ②将抛物线向右平移b()个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A的横坐标为4，求b的值； (2)若点，都在抛物线上，，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，待定系数法求解析式，即可求解； ②由①可得，对称轴为直线，根据对称性即可求解； （2）将，分别代入，根据，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：①将代入， 得． 解得． ②因为， 所以． 所以抛物线的对称轴为直线 因为点A的横坐标为4， 所以抛物线上与点A对称的点的横坐标为0． 所以． （2）将代入， 得． 将代入， 得． 因为， 所以 解得． 题型模版 1.特征：抛物线按某方向平移若干单位后，要求新图象的解析式、顶点、与坐标轴交点或参数范围． 2.方法：平移遵循“左加右减、上加下减”原则，先确定原顶点，再按平移向量得到新顶点，从而写出新解析式；也可直接在解析式中用 x±h、y±k 替换，注意自变量范围． 变式5-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）若抛物线（a是常数，）经过点，． (1)求a与b之间的关系式． (2)若将此抛物线向上平移1个单位长度，该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围． (3)已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对于任意的，满足时，都有， ∴． 【分析】（1）利用抛物线与轴的两个交点求得对称轴即可求解； （2）由a与b的关系及经过，可得抛物线解析式为，再由抛物线向上平移1个单位长度，抛物线与x轴没有交点，可得即可求解； （3）由得，则可用表示出，，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（a是常数，）经过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 将代入得， ∴， ∴抛物线为， 将此抛物线向上平移1个单位长度可得， ∵抛物线与x轴无交点， ∴， ∴或， 解得或无解， ∴． （3）略 变式5-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质． （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：由对称轴为直线， 则可设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得． ∴； （2）解：点两次平移后坐标为，即， 由（1）可知． 两次平移后落在的图象上， ． 解得，． （3）解：由（1）可知． 当时， 最大值与最小值的差为， 解得：不符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为， 解得，（不符合题意，舍去）； 综上，n的取值范围为． 变式5-3 在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． (3)当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入抛物线解析式中，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据平移的特征写出平移后的解析式，令，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标，即可得解； （3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为. 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 题型6、旋转后的二次函数图象问题 典例6 （25-26九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了新定义函数以及二次函数的性质，关键是根据中点公式求出相关函数的顶点坐标，进而求出相关函数． （1）①直接根据相关函数的定义求解即可； ②根据二次函数的性质可知顶点坐标为，由相关函数的定义可知新函数的顶点为，可得新函数的表达式为：，最后将点A的坐标代入解析式求得a的值即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，然后运用中点公式确定中点坐标即可解答； （3）求出相关函数分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时，点，相关函数顶点坐标为 则相关函数为：， 故答案为：； ②∵二次函数的顶点坐标为， ∴相关函数的顶点坐标为， ∴新函数的表达式为， 将点代入上式并解得； （2）解：函数和函数的顶点坐标分别为，， 由中点公式得：， 即； （3）的顶点为：， 设相关函数顶点为：， 由中点公式得：， 解得：， 则相关函数顶点为：， 则相关函数的表达式为：； 可知开口向上，对称轴为直线， 如图： ①当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ②当即时， 函数在时，取得最小值，即， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 故； ③当且即时， 函数在顶点处取得最小值，即， ， ， 解得：（舍去），（舍去）； 综上所述，或． 题型模版 1.特征：抛物线绕某点旋转 180° 后，开口方向、顶点、对称轴均发生变化． 2.方法：旋转 180° 后开口方向相反，a 变号，顶点变为关于旋转中心的对称点；根据新顶点和新开口方向写出解析式；注意旋转后定义域与图象范围的变化． 变式6-1 （25-26九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，图像的对称轴与轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式并直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定，旋转的性质． （1）对于直线，令，得出，即可求出点坐标； （2）过两点作轴的垂线，垂足分别为，先证明，再证明，得到点的坐标，进而利用待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据（2）的解析式，可得的顶点坐标为，当时，随着的增大而增大，进而根据题意得出，顶点坐标为，根据时，函数最大值为，最小值为，得出，，根据，解方程得出，进而求得的顶点坐标为，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴相交于点， 当时，，解得， ； （2）解：如图所示，过两点作轴的垂线，垂足分别为， 得到， 直线与轴相交于点，与的平分线相交于点， ． ， ， ， ， ． ，即， ． 又由（1）得，即， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线的解析式为； （3）解：由（2）得抛物线的解析式为， 其顶点坐标为，且开口向上， 当时，随着的增大而增大． 把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，如图所示， 抛物线的顶点坐标为，且开口向下， 抛物线的解析式为． 图像的对称轴与轴交点坐标为， ，即抛物线的顶点坐标为． 当时，函数最大值为，最小值为， ，， ， ， 解得或（舍去）， 抛物线的顶点坐标为， ，解得， 抛物线的解析式为． 变式6-2 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象，图象的对称轴与x轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定，旋转的性质； （1）对于直线，令，得出，即可得出点的坐标； （2）先证明，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出的坐标，进而利用待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据（2）的解析式，可得的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大，进而根据题意得出，对称轴为直线，根据时，函数最大值为，最小值为，得出，，根据，解方程得出，进而求得的顶点坐标为：，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：与轴相交于点， 当时，，解得， ∴； （2）解;∵直线与轴相交于点，与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 将点，代入得 ， 解得：， ∴ （3）解：∵ ∴的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大， ∵把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象， ∴的顶点坐标为：， ∴，对称轴为直线， ∵图象的对称轴与x轴交点坐标为， ∴，则的顶点坐标为：， 当时，函数最大值为，最小值为， ∴，，， ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴的顶点坐标为： ， ∴． 变式6-3 （24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，若关于的函数的图像记为，将的图像绕着原点旋转得到图像，我们把和合起来的总图像称为 的“青一对称”图像． (1)若在 的“青一对称”图像上，则 ； (2)若在 的“青一对称”图像上，求的值； (3)当二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点时，请求出的值或取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或或 (3)的值或取值范围是或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题题意，并掌握相关知识． （1）根据“青一对称”图像的定义求解即可； （2）根据题意可求出的解析式为，根据当时，，当时，，即可求解； （3）先求出的解析式为，分情况讨论：①当直线与：相切时，②当时， 当时，分别求出直线与二次函数的“青一对称”图像的交点情况即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：图像的函数解析式为， 当时，， ， 故答案为：； （2）解：， 顶点坐标为， 图像的顶点坐标为， 的解析式为， 在 的“青一对称”图像上， 当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：或， 的值为或或； （3）解：， 顶点坐标为， 将的图像绕着原点旋转得到图像， 的顶点坐标为， 的解析式为， ①当直线与：相切时，即直线与的图像只有一个交点，则， 整理得：， ， 解得：， 此时的解析式为：， 联立直线与的解析式得：， 整理得：， 此时， 直线与的图像只有两个交点， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； ②当时， 的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 此时直线与的图像只有一个交点， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 当时，的图像与直线有两个交点和， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线只有三个交点； 当时，的解析式为，的解析式为， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和， 联立直线与的解析式得：， 解得：或， 此时直线与的图像只有两个交点和，， 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有四个交点； 当时，二次函数的“青一对称”图像与直线有且只有三个交点； 综上所述，的值或取值范围是或． 题型7、对称后的二次函数图象 典例7 抛物线过，两点，交轴于点，连结．    （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，若以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，点，，的对应点分别为，，，交抛物线于点．当点为的中点时，求的值； （3）如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）E（0，） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由已知得：OC=2OB，连接OD，过D作DF⊥x轴，垂足为F，求出点D坐标，从而得到点P坐标，即可得到点M坐标，代入抛物线表达式即可解出t值； （3）利用待定系数法求得直线BC的解析式，如图3，在BC上方的抛物线图象取点E的对称点E′，过点E′作y轴的平行线交直线BC于点G．构造等腰三角形E′CG，则E′C=E′G．故设点E（n，-2n2+4n+6），则G（n，-2n+6）．由此得到方程：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+6n）2．通过解方程求得n的值，代入求得E的坐标即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过，， 则，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵，，， ∴OC=2OB， 连接OD，过D作DF⊥x轴，垂足为F， 由题意可知：BC∥OD， ∴∠OBC=∠FOD， 即tan∠OBC=tan∠FOD， 则， ∴DF=2OF， ∵△OCB以每秒个单位长度沿射线BC方向运动， ∴BP=OD=t， 在△ODF中，DF2+OF2=OD2， ∴（2OF）2+OF2=（t）2， 解得：OF=2t， ∴DF=4t， 当运动时间为t秒时，则D（-2t，4t）， ∵DP∥x轴， ∴P（3-2t，4t）， ∵点M为DP的中点， ∴M（，4t）， ∵M点在抛物线上，代入， ∴， 解得：t=或（舍）；    （3）∵B（3，0），C（0，6）， 设直线BC的表达式为：y=mx+n， 则， 解得：， ∴直线BC的表达式为y=-2x+6， 如图3，在BC上方的抛物线图象取点E的对称点E′，过点E′作y轴的平行线交直线BC于点G． 由题意得：∠ECB=∠E′CB，E′C=EC． ∵CO∥E′G， ∴∠ECB=∠CGE′． ∵∠ECB=∠E′CB，∠ECB=∠CGE′． ∴∠E′CB=∠CGE′． ∴E′C=E′G． 设点E′（n，-2n2+4n+6），则G（n，-2n+6）． ∴E′G=-2n2+6n，E′C2=n2+（-2n2+4n）2． ∵E′C=E′G， ∴E′C2=E′G2， 即：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+6n）2． 解得：n=或0（舍）， ∴E′G=， ∴E′C=E′G=EC=， ∴E（0，）．    【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力的培养；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型模版 1.特征：抛物线关于 x 轴、y 轴或某条竖直线对称后，求新解析式或利用对称性质求参数． 2.方法：关于 x 轴对称：a、c 变号，对称轴不变；关于 y 轴对称：b 变号，对称轴相反；关于直线 x=m 对称：顶点横坐标变为 2m−h，开口方向不变；结合图象验证． 变式7-1 已知抛物线，在之间的部分记为图象，将图象沿直线对折得到图象，图象和合成图象.若过y轴上的点且与轴垂直的直线与图象有且只有两个公共点，则的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】将抛物线化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，顶点为，分别求出和时的值，从而可得在时，的最大值为，最小值为，根据题意画出图象，再根据若过y轴上的点且与轴垂直的直线与图象有且只有两个公共点，结合图象即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 当时，，当时，， 在时，的最大值为，最小值为， 在之间的部分记为图象，将图象沿直线对折得到图象，图象和合成图象， 画出图形如图所示： 若过y轴上的点且与轴垂直的直线与图象有且只有两个公共点， 由图象可知：或， 的取值范围为：或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 变式7-2 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点． (1)求的值； (2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”．求抛物线上的“倍值点”的坐标； (3)如图1，将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为． ①直接写出新函数图象对应的函数解析式； ②当时，图象上函数的最小值是，最大值是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)和 (3)①；② 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）设这个“倍值点”的坐标为，将代入，求出m的值，即可求解； （3）①根据折叠的性质，即可求解；②根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ． （2）解：由（1）得该抛物线的解析式为， 设这个“倍值点”的坐标为， 将代入，得． 解得． ∴抛物线上的“倍值点”的坐标是和． （3）解：①对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵， ∴原函数图象的顶点坐标为， ∴折叠后的抛物线的顶点坐标为， ∵将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方， ∴当或时，该部分函数解析式为， 当时，该部分函数解析式为， 综上所述，新函数图象对应的函数解析式为； ②由①得，， 如图所示， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大，且当时，取得最小值为0． ∵当时，图象上函数的最小值是， ， ， 此时，图象上函数的最大值是， 在中，令，得， 解得，，（舍去）． 的取值范围是． 变式7-3 （25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量≥时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为． (1)求函数的对折函数； (2)若点在函数的对折函数的图象上，求的值； (3)当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ． 【答案】(1)； (2)或． (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数图象的翻折变换、函数与x轴的交点问题，熟练掌握函数图象的翻折规律及分类讨论思想是解题的关键． （1）先求原函数与轴的交点，确定翻折后的顶点坐标，进而得到翻折后的函数表达式，从而写出对折函数． （2）分两种情况（和），将点代入对折函数的对应表达式求解． （3）分析原函数与轴的交点，结合翻折后的图象，分类讨论的取值范围，使对折函数与轴有两个不同交点． 【详解】（1）解：∵函数， ∴顶点为， ∴函数沿直线翻折后，顶点坐标变为， ∴翻折后的函数表达式为． ∴对折函数为； （2）解：当时，把点代入得 ∵， ∴， ∴或（舍去，因）． 当时，把点代入得 ∵， ∴， ∴（舍去，因）或． 综上，或． （3）解：令， 解得或． ∴原函数与轴交点为、． 如图，由图可得 当时，对折函数与轴有个交点； 当时，有个交点； 当时，对折函数与轴有2个交点； 当时，有个交点； 当时，无交点； ∴当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，的取值范围是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 29．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图像的性质，掌握一次函数图像与比例系数、常数项的关系，二次函数图像与二次项系数、一次项系数、常数项的关系是关键． 根据一次函数图像所在象限判定的符号，从而得到二次函数图像的开口，对称轴的位置，由此即可求解． 【详解】解：A、一次函数的图像经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，则，即， ∴二次函数中，，图像开口向上，对称轴直线在轴右侧，故该选项不符合题意； B、一次函数的图像经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，则，即， ∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴左侧，故该选项不符合题意； C、一次函数的图像经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，则，即， ∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴右侧，故该选项符合题意； D、一次函数的图像经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，则，即， ∴二次函数中，，图像开口向下，对称轴直线在轴左侧，故该选项不符合题意； 故选：C． 30．如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 【答案】C 【分析】根据对称轴公式可判断①；根据对称性可求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，据此可判断②；设，连接，由对称性可得，则当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是，求出点B的坐标，再利用两点间的距离公式求出的长即可判断③；把点A的坐标代入二次函数的解析式结合求出a、b的值，再把解析式化为顶点式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，即是方程的一个根，故②正确； 如图所示，设，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是， 在中，当时，， ∴， ∵，， ∴ ， 周长的最小值是，故③不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴二次函数的关系式为， ∴当时，y的最大值为4，故④不正确； 综上所述，正确的有①②． 31．已知抛物线的图象关于直线对称．若该抛物线与直线交于点，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立抛物线与直线的方程得到一元二次方程，利用根与系数关系得到两根和的表达式，结合抛物线对称轴公式推导的表达式，再结合已知条件比较大小即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于两点， ∴联立得 ， 整理得， ∵该方程的两个根为， ∴， 整理得 ， 又∵抛物线对称轴为， 将代入得： ， ∵， ∴，即， ∴，即． 32．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题及二次函数与一元二次方程的关系．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可． 【详解】解：由图象得：，，， ∴， ∴， 故①正确； ， ， ， ，故②错误， ， 当时，函数的值最小， 对于任意，始终有，故③正确， ，对称轴为直线， 函数的图象与轴交点坐标为， 将方程变形为，如图所示， 可得且，故④正确， 故选：． 33．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的判断．结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④；根据对称性可知与时的函数值相等，再结合时函数值的符号，即可判断②． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，①正确； 当时， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，③正确； 对于直线，当时， 即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵结合图象有：，， ∴，解得： ，④正确； 对于抛物线，当时，结合图象有函数值， ∵抛物线对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，，②错误， 正确的有①③④． 34．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（   ） A．④ B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，即， ∴， ∵与y轴的交点B在之间（不含端点）， ∴， ∴，故①不正确； 对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点为， ∴当时，，故②不正确； 由题意可得方程的两个根为， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∴， ∵， ∴，解得：，故③正确； 由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图， 由图象可知：若方程两根为，则，故④正确； 综上所述，正确的结论是③④， 故答案为：B． 35．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 1 … (1)若，请求出抛物线的表达式； (2)若，且，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； (3)若，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，求的值． 【答案】(1) (2)该函数有最小值，最小值为1 (3) 【分析】（1）若，则抛物线与x轴的交点坐标为，，可设成交点式，将将点代入，求得，进而可得抛物线的表达式． （2）由可得该抛物线的对称轴为，设 ，则可得，， 由可求得，由此可得抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1； （3）先求出抛物线的对称轴为直线 ，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得． 本题考查了二次函数图像上点的坐标特征及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：若，则抛物线与x轴的交点坐标为，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式，即； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，且过点， 设， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1； （3）解：当时，抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点关于该对称轴对称的点的坐标是，点关于该对称轴对称的点的坐标是，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ∴时与时，y的符号相同，与时y的符号相反 ∴该抛物线经过点和， 设该抛物线的函数表达式为 ， 代入，得 ， 解得 ． 36．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， （2）解：①， ∴抛物选开口向上， ， ∴当时，该函数最小值为 ∵该函数的最小值为， ， ∴， ②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等 当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意） 当时， 当时， ∵两个函数的最小值相等， ，即 【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的增减性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置． 37．（2025九年级·浙江·学业考试）在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． (1)若，且函数图象经过和两点，求函数的表达式及其图象的对称轴； (2)若将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，求的最小值； (3)若函数图象经过点和，且，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴： (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的平移、不等式的性质： （1）利用待定系数法即可求解函数表达式，利用二次函数图象性质可求对称轴； （2）根据图象平移对函数表达式的影响，逆推出函数的表达式，从而得到答案； （3）将代入函数表达式，再结合即可求的范围，再根据均在函数图象上可求函数对称轴，据此即可求出t的范围． 【详解】（1）解：， ． 将和两点坐标代入，得 解得 函数表达式为， 图象的对称轴为直线； （2）解：由题意得，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度得到函数的图象， 函数图象平移后所得的函数图象的表达式为， 即， ， ， 当时，的最小值为； （3）解：∵函数的图象经过点， ∴， ， ， 即， 解得， ∴， ∴， ∴，即． ∵当时，，且当时，， ∴二次函数的对称轴为， 又∵的对称轴也为， ∴， ∴， 的取值范围为． 38．抛物线交轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点G，求点G的坐标． 【答案】(1)，， (2)2或 (3) 【分析】（1）分别令、解方程即可求解； （2）分两种情况：若时，根据坐标与图形得和C的纵坐标相等，进而列方程求解即可；若时，过作轴于T，证明，根据相似三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可； （3）先求得直线的表达式，设，，证明，得到，，解得，即H的横坐标为，进而求得点H的坐标为，利用对称性质和中点坐标公式求得，代入抛物线解析式中求解m值即可上． 【详解】（1）解：当时，由得，， 当时，， ∴，，； （2）解：如图，根据题意，设， 若时，则， ∴，解得或（舍去）； 若时，则，过作轴于T， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，，又，， ∴，解得或（舍去）， 综上，满足题意的t值为2或； （3）解：设直线的表达式为， 将，代入得，解得， ∴直线的表达式为， 作G关于直线的对称点，连接交于H，过H作轴于T， 设，， ∴，又， ∴，， ∴，，又， ∴，， 解得，即H的横坐标为， 将代入得， ∴点H的坐标为， ∵G关于直线的对称点为， ∴，则， ∴， ∵在抛物线上， ∴，整理得， 解得或， 由题意，点G在C的下方， ∴，则． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、对称性质、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关联知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 39．小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、．试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2) (3) 证明：当时，，则， 当时，， 解得，， 则，， 点、、关于原点的对称点分别是，，， ，，， 设经过点，，的二次函数解析式为， 把代入得， 解得， 经过点，，的二次函数解析式为， 而， ，，， 经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出，，，从而得到原函数的“旋转函数”； （2）根据“旋转函数”的定义得到，，再解方程组求出和的值，然后根据乘方的意义计算； （3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定，，，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，，则可利用交点式求出经过点，，的二次函数解析式为，再把化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断． 【详解】（1）解：，，， ，，， ，，， 函数的“旋转函数”为； （2）解：根据题意得，，解得，， ； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力． 40．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 41．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），抛物线y=-2x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为点D． （1）如图1，求抛物线的函数表达式； （2）如图2，连接AC、AD，将△ABC沿AC折叠后与AD、y轴分别交于点交于E、G，求OG的长度； （3）如图3，将抛物线在AC上方的图象沿AC折叠后与y轴交于点F，求点F的坐标． 【答案】（1）y=-2x2+2x+4；（2）；（3）F（0，）． 【分析】（1）先根据四边形ABCD是矩形得出点A．C坐标，再代入解析式求出b．c的值，从而得出答案； （2）由△ABC≌△AB′C知∠BCA=∠B′CA．由AO∥BC知∠BCA=∠B′CA，∠BCA=∠OAC，从而得∠B′CA=∠OAC．据此知AG=CG．设OG=x，则AG=CG=4-x．在Rt△OGC中，利用勾股定理可以求得x的值； （3）在AC上方的抛物线图象取点F的对称点F′，过点F′作y轴的平行线交直线AC于点G，先证F′A=F′G，继而得直线AC的解析式为y=-2x+4，设点F（n，-2n2+2n+4），则G（n，-2n+4）．根据F′A2=F′G2求出n的值，从而得出，F′A=F′G=FA=，从而得出点F的坐标． 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形OABC是矩形，B（2，4）， ∴A（0，4），C（2，0）， ∵抛物线y=-2x2+bx+c经过A．C两点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：y=-2x2+2x+4； （2）如图2， 由题意得：△ABC≌△AB′C． ∴∠BCA=∠B′CA． ∵AO∥BC， ∴∠BCA=∠B′CA，∠BCA=∠OAC， ∴∠B′CA=∠OAC． ∴AG=CG． 设OG=x，则AG=CG=4-x． 在Rt△OGC中，22+x2=（4-x）2， 得， ∴； （3）如图3，在AC上方的抛物线图象取点F的对称点F′，过点F′作y轴的平行线交直线AC于点G． 由题意得：∠FAC=∠F′AC，F′A=FA． ∵AO∥F′G， ∴∠FAC=∠AGF′． ∵∠FAC=∠F′AC，∠FAC=∠AGF′． ∴∠F′AC=∠AGF′， ∴F′A=F′G． 设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（0，4），C（2，0）代入得，解得 ∴直线AC的解析式为：y=-2x+4． 设点F（n，-2n2+2n+4），则G（n，-2n+4）． ∴F′G=-2n2+4n，F′A2=n2+（-2n2+2n）2． ∵F′A=F′G． ∴F′A2=F′G2． 即：n2+（-2n2+4n）2=（-2n2+2n）2， 解得：n1=0（舍去），． ∴． ∴F′A=F′G=FA=， ∴F（0，）． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．矩形的性质．折叠变换的性质及勾股定理等知识点． 42．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线，把此抛物线沿轴折叠，得到抛物线． (1)当抛物线经过原点时，直接写出的值； (2)当抛物线和有且只有一个公共点，求的值； (3)若抛物线经过． ①求抛物线的函数解析式和顶点坐标； ②直线与、分别交于点、、、，如图2，直接写出时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①，顶点坐标为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，根据抛物线和有且只有一个公共点，联立后利用根的判别式求解即可； （3）①先求得，利用折叠的性质求得，化成顶点式即可求解； ②联立，利用根与系数的关系求得，，根据列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∵抛物线和有且只有一个公共点， ∴联立得， 整理得， ∴， 解得； （3）解：①∵抛物线经过， ∴，解得； ∴， ∵抛物线沿轴折叠，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为； ②∵直线与交于点、， ∴， 整理得， 设两根为和， ∴，， ∴ ， ∵直线与交于点、， ∴，整理得， 设两根为和， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 43．二次函数（）的图象交轴于原点及点． (1)求点的坐标． (2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）． ②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值． ③若点，在上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)；或；③ 或 【分析】（1）求二次函数与轴交点，二次函数，令对所得到的代数式进行因式分解，求解，即可得出结果； （2）将点代入到二次函数解析式，即可得出； （3）利用顶点关于对称，且开口大小相同，方向相反即可得到解析式； 分别讨论、和三种情况，然后，对等式去绝对值进行计算，即可得出结果； 点，横坐标相距单位长度，结合和的对称轴和分别讨论点的横坐标位置，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：令， 得， ． （2）二次函数（）的图象经过， ，解得， 该二次函数的解析式为． （3）① （或） 由（2）知，的函数解析式为， 的顶点坐标为． ∴由绕点旋转得到， ∵与的顶点关于点对称，且与的开口大小相同、方向相反， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． ② 直线与有三个交点， 由图象可知． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为与均大于， 不妨记这三个点从左至右依次为 ， ． 由图象可知点，在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为， 与均大于，不妨记这三个点从左至右依次为 ． ， 由图象可知点在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，易知， ，不符合题意，舍去． 综上所述，或． ③ 或 方法一：结合图象可知， 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向上， 点到直线的距离大于点到直线的距离， 且点在直线的左侧． 当点在直线的左侧时， 由二次函数的性质可得，符合题意，此时，即． 当点在直线的右侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向下， 点到直线的距离小于点到直线的距离， 且点在直线的右侧， 当点在直线的右侧时，由二次函数的性质可得，符合题意，此时． 当点在直线的左侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 方法二：结合图象可知，当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的左侧， ，即． 当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的右侧， ，即． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题关键是掌握二次函数图象的特征，开口方向、对称轴、顶点和图象与轴交点，注意求解过程中运用分类讨论的方法． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $