专题02 抛物线（二次函数的图象）与直线的交点问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以联立方程转化思想为核心，通过7类题型系统构建抛物线与直线交点问题的解题方法体系，实现从基础到压轴的逻辑递进，培养几何直观与代数推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|联立方程转化为一元二次方程，用判别式、韦达定理及数形结合分析|从几何交点到代数方程的转化，奠定思维基础| |题型归纳|7典例+21变式|针对x轴/y轴/平行直线/线段/一次函数/折叠等场景，提炼交点个数、坐标及参数范围的求解策略|按直线类型与范围限制递进，形成题型-方法对应体系| |压轴挑战|15综合题|综合应用转化思想与分类讨论，突破含参、动态及图形变换的复杂交点问题|从单点到综合，提升逻辑推理与创新意识|

专题02 抛物线与直线的交点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、抛物线与x轴的交点问题 题型2、抛物线与y轴交点距离 题型3、抛物线与平行于x轴的直线的交点问题 题型4、抛物线与平行于x轴的线段的交点问题 题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题 题型6、抛物线与一次函数交点问题 题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决抛物线与直线的交点问题，核心在于联立方程组，把几何交点问题转化为一元二次方程根的判别式、根与系数关系问题；要紧紧抓住抛物线解析式与直线解析式，通过消元得到关于自变量的一元二次方程，利用判别式判断交点个数，借助数形结合确定参数范围；解题中必须注意讨论二次项系数、直线斜率是否存在以及交点是否在给定区间或线段上等临界状态，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、抛物线与x轴的交点问题 典例1 如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型模版 1.特征：题目给出抛物线解析式或含参解析式，要求判断抛物线与x轴的交点个数、交点坐标或求参数范围． 2.方法：令 y=0 得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式判断交点个数；求根公式或因式分解得交点横坐标；含参时根据交点个数要求列判别式不等式，注意二次项系数不为零并回代检验． 变式1-1 （25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知函数，解答下列问题： （1）此函数必过的固定点是______． （2）若该图象与坐标轴只有两个交点，则______． 变式1-2 如图，直角坐标系中，抛物线分别交轴于点，交轴于点，（点在点的左侧），为顶点，为线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线于点，（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的对称轴及的长． (2)当时，点关于的对称点恰好落在轴上，求此时的长． 变式1-3 （25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 题型2、抛物线与y轴交点距离 典例2 （25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)当时，若，求的最大值； (3)对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 题型模版 1.特征：题目关注抛物线与 y 轴交点的位置、两交点间距离或与坐标轴围成图形的面积等． 2.方法：令 x=0 求出抛物线与 y 轴交点纵坐标；若涉及两个函数图象与 y 轴交点距离，则求出两交点纵坐标之差的绝对值；结合几何意义列方程或不等式求解． 变式2-1 已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2-2 （25-26九年级上·江西宜春·期中）定义：抛物线与轴交于，两点（点A在点B的左侧），它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”． (1)理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号） ①    ②    ③ (2)应用：若“完美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． (3)拓展：已知“完美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．若该“完美抛物线”与抛物线开口大小一样，求点的纵坐标． 变式2-3 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．       (1)直接写出抛物线的对称轴________； (2)如图1，已知点，点，若抛物线与线段有公共点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当，请判断是否为一个定值，并说明理由． 题型3、抛物线与平行于x轴的直线的交点问题 典例3 （25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知两个二次函数和，对于函数，当时，该函数取最小值． (1)求的值． (2)若函数的图象与坐标轴只有个不同的公共点，求这两个公共点间的距离． (3)若函数、的图象都经过点，过点（为实数）作轴的平行线，与函数、的图象共有个不同的交点，写出的取值范围． 题型模版 1.特征：直线 y=k（k 为常数）与抛物线相交，要求交点个数、交点坐标或参数范围． 2.方法：联立 y=k 与抛物线解析式，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程；利用判别式或求根公式分析交点；结合抛物线顶点、开口方向与对称轴画图辅助判断． 变式3-1 关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 变式3-2 已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是______． 变式3-3 （25-26八年级下·浙江杭州·期末）如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 题型4、抛物线与平行于x轴的线段的交点问题 典例4 在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 题型模版 1.特征：在直线 y=k 基础上限定 x 的取值范围（线段），讨论抛物线与线段有一个、两个或无交点的情况． 2.方法：先求抛物线与直线 y=k 的交点，再判断交点横坐标是否落在线段范围内；或利用函数值范围、对称轴与区间位置关系，结合端点值与临界状态列不等式组． 变式4-1 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 变式4-2 （24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 变式4-3 已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且为线段的中点，求的值． (3)若，当时，该二次函数的最大值是最小值的3倍，求的值． 题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题 典例5 ①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 题型模版 1.特征：一次函数图象为射线、线段或折线的一部分，要求与抛物线的交点情况． 2.方法：分段联立解析式，注意自变量取值范围；画出关键端点、转折点与抛物线相对位置；通过方程根的分布或端点函数值比较确定参数范围． 变式5-1 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． (1)当时，求该函数表达式； (2)若点，都在直线上，求的值； (3)当时，都有，求的取值范围． 变式5-2 定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 变式5-3 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交轴于点，且与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值和二次函数图象与轴的交点个数； (2)当二次函数图象恰好经过四个点中的某两点时，请指出是哪两个点，并求出的值； (3)若二次函数的图象与线段有两个交点，求的取值范围． 题型6、抛物线与一次函数交点问题 典例6 （25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 题型模版 1.特征：直线 y=kx+b 与抛物线相交，讨论交点个数、交点坐标及由交点条件求参数． 2.方法：联立两解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数，用韦达定理求交点横纵坐标关系；结合图象分析直线过定点、与抛物线相切等临界状态． 变式6-1 已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． (3)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 变式6-2 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 变式6-3 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； (3)当时，求d的取值范围． 题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题 典例7 将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：抛物线沿某条直线或某点折叠后，与新直线（或原直线）产生交点，涉及对称变换． 2.方法：先求折叠后抛物线的解析式（关于对称轴或对称中心对称），再与原直线联立；利用对称性把交点问题转化为原抛物线与对称直线的问题，注意折叠后定义域与图象范围的变化． 变式7-1 （2025·山东泰安·三模）我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7-2 已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是_____． 变式7-3 已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，求的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 29．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 30．已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知一次函数（为实数）和二次函数，对任意，总有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象有两个交点，则_____，k的取值范围是________________． 33．-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版））将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 34．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，它的顶点为点． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________（用表示）； (2)已知射线，若抛物线与该射线恰有一个公共点，求的取值范围． 35．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 36．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 37．已知二次函数，其中c，d为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为． (1)当时，求n的值； (2)当时，点在该函数图像上，且，求整数n的值； (3)若，对于该函数图像的顶点坐标，满足，求的取值范围． 38．（2025·河南周口·二模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴． (2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． (3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 39．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图① 是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图② 所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． (1)在图③ 中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． (3)已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，求n的取值范围． 40．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D． (1)则点C的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ； (2)若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且． ①求d关于t的函数解析式； ②当时，直接写出t的取值范围． 41．（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知二次函数的图像过三点，直线l解析式为， (1)求二次函数解析式 (2)求证：此抛物线与直线l无公共点 (3)若与l平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P点坐标 (4)若是直线l上的一个动点，求P、Q两点距离的最小值 42．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数的图象和性质进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示． 请根据函数图象完成以下问题： (1)观察发现： ①写出该函数的一条性质_________________； ②函数图象与x轴有_________个交点，所以对应的方程有________个实数根； (2)分析思考： ③方程的解为__________________； ④关于x的方程有4个实数根时，n的取值范围是_________； (3)延伸探究： ⑤将函数的图象经过怎样的平移可以得到函数的图象，直接写出平移过程． 43．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 抛物线与直线的交点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、抛物线与x轴的交点问题 题型2、抛物线与y轴交点距离 题型3、抛物线与平行于x轴的直线的交点问题 题型4、抛物线与平行于x轴的线段的交点问题 题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题 题型6、抛物线与一次函数交点问题 题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决抛物线与直线的交点问题，核心在于联立方程组，把几何交点问题转化为一元二次方程根的判别式、根与系数关系问题；要紧紧抓住抛物线解析式与直线解析式，通过消元得到关于自变量的一元二次方程，利用判别式判断交点个数，借助数形结合确定参数范围；解题中必须注意讨论二次项系数、直线斜率是否存在以及交点是否在给定区间或线段上等临界状态，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、抛物线与x轴的交点问题 典例1 如图是抛物线，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的有（     ） ①若抛物线与轴的另一个交点为，则； ②；③若时，随的增大而增大，则；④若时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的对称性得：，列不等式可得结论； ②将顶点坐标代入抛物线的解析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴即可判断； ④设，把它看作另一个二次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断． 【详解】解：①如图1，设抛物线与轴的交点为和（在的右侧）， 则， ∴， 由对称性得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴时，随的增大而增大， ∵时，随的增大而增大， ∴； 故③错误； ④由图可知：抛物线开口向下， ∴， ∴抛物线也开口向下，且过原点，如图2所示， 当时，， ， ∴，， ∴当时，， 即当时，； 故④正确； 其中正确结论是：①②④，3个． 题型模版 1.特征：题目给出抛物线解析式或含参解析式，要求判断抛物线与x轴的交点个数、交点坐标或求参数范围． 2.方法：令 y=0 得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式判断交点个数；求根公式或因式分解得交点横坐标；含参时根据交点个数要求列判别式不等式，注意二次项系数不为零并回代检验． 变式1-1 （25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知函数，解答下列问题： （1）此函数必过的固定点是______． （2）若该图象与坐标轴只有两个交点，则______． 【答案】 0或1或2 【分析】本题考查了函数过定点问题，函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）将原函数解析式变形为，要使得经过定点，则与无关即可，那么只需，进而即可求解； （2）分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：（1）， ∵此函数图象经过定点， ∴， ∴， ∴， ∴经过定点； 故答案为：； （2）①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则，解得：， 此时，， 图象与轴还有一个交点，满足题意； 若函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得： 当时，函数为，其图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，共有两个交点，满足题意． 综上所述：或或， 故答案为：0或1或2． 变式1-2 如图，直角坐标系中，抛物线分别交轴于点，交轴于点，（点在点的左侧），为顶点，为线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线于点，（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的对称轴及的长． (2)当时，点关于的对称点恰好落在轴上，求此时的长． 【答案】(1)对称轴x=1，GF-GE=2 (2)AB=4 【分析】（1）作于点，交于点，求出抛物线对称轴为，根据，得到，，得到． （2）根据，，得到，根据点关于的对称点恰好落在轴上，得到，根据，得到，，得到，，，推出． 【详解】（1）解：（1）作于点，交于点， 抛物线对称轴为， ∵，∴，， ∴． （2）（2）易知， ∵， ∴， 又∵点关于的对称点恰好落在轴上， ∴，而点， ∴，， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线的性质，轴对称，待定系数法，二次函数与一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握抛物线的对称性，熟练掌握轴对称性质，熟练运用待定系数法求抛物线的解析式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 变式1-3 （25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为-6或0 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法、根与系数关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据根与系数关系和两点之间的距离公式得到，根据得到，解不等式即可得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得 所以抛物线的表达式为：； （2）解：设M，N两点坐标分别为 因为抛物线向上平移个单位长度后为， 所以关于的方程的两个实数根为 所以 所以 因为， 所以， 解得； （3）解：抛物线开口向下，对称轴为， ①即时，随的增大而增大 时时 所以， 解得：； ②且，即时， 当时，当时， 所以， 解得：（舍） ③且，即时， 当时时， 所以4－， 解得：（舍） ④时，随的增大而减小 时时 所以， 解得：； 综上所述，的值为或0． 题型2、抛物线与y轴交点距离 典例2 （25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)当时，若，求的最大值； (3)对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 【答案】(1) (2)的最大值 (3)或 【分析】（1）令即可求解； （2）令，求得A、B的坐标，即可求得的长，由则可求得a的值，从而求得二次函数解析式，再由求得关于t的函数式，即可求得其最大值； （3）由求得关于t的函数式，分两种情况考虑，利用函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，得， ∴； （2）解：令， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴ 令，整理得：， ∵M、N不重合， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，其中， 对于一次函数，且， 当时，函数取得最大值17，从而取得最大值， ∴的最大值为； （3）解：令， 整理得：， 由题意知，方程必有两个不相等的实数根，设这两个实数根分别为， ∴， ∴，其中， ∵M、N不重合， ∴， 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 综上，a的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一次函数的性质，解不等式组等知识，有一定的综合性，熟练运用这些知识是关键． 题型模版 1.特征：题目关注抛物线与 y 轴交点的位置、两交点间距离或与坐标轴围成图形的面积等． 2.方法：令 x=0 求出抛物线与 y 轴交点纵坐标；若涉及两个函数图象与 y 轴交点距离，则求出两交点纵坐标之差的绝对值；结合几何意义列方程或不等式求解． 变式2-1 已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，根据当时得到，借此判断抛物线的开口及最高点坐标即可得出结论. 【详解】解：∵， 又∵当时． ∴ ∵， 抛物线与轴的交点位于最高位置， ∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下， 故选：A ． 变式2-2 （25-26九年级上·江西宜春·期中）定义：抛物线与轴交于，两点（点A在点B的左侧），它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“完美抛物线”． (1)理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号） ①    ②    ③ (2)应用：若“完美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． (3)拓展：已知“完美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为．若该“完美抛物线”与抛物线开口大小一样，求点的纵坐标． 【答案】(1)②③ (2) (3)点的纵坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，得到，，求出点坐标，待定系数法求出点的值，求出函数解析式，再令，求出点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为分数，不是整数， 故①不是完美抛物线； ②当时，解得； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 故②是完美抛物线； ③， ∴抛物线的顶点坐标为，横纵坐标均为整数； 当时，解得或； ∴，，两个点的横纵坐标均为整数； 故③是完美抛物线； 故答案为：②③； （2）∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴，对称轴为直线； ∵， ∴，即：； ∴，解得， ∴； （3）∵“完美抛物线”与抛物线开口大小一样， ∴， ∵“完美抛物线”的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为或，对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，解得， 当时，解得 ∴或 ∴当时，或； 故点的纵坐标为或． 变式2-3 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．       (1)直接写出抛物线的对称轴________； (2)如图1，已知点，点，若抛物线与线段有公共点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当，请判断是否为一个定值，并说明理由． 【答案】(1)1； (2)或． (3)解：，理由如下： 设，，， 解方程组， 整理可得：， ，， ，， 直线， 设直线的解析式为， 解方程组：， 整理可得：， ，， 解得：，， 直线， 设直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， ，， 解得：，， 直线，令，，， ，， ， ， 即， 又， ， ， 为定值． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求出抛物线的对称轴即可； （2）因为抛物线与线段有公共点，当时，可得不等式；当时，可得不等式；解不等式即可求出的取值范围； （3）设，，，根据点、是抛物线与直线的交点，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，即可求出，，从而得到直线和的解析式，分别求出两直线与轴交点的纵坐标，根据列出方程即可得到结果． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：当时，抛物线开口向上， 则时，可得：， ， 当时，抛物线开口向下， 则时，可得：， ， 综上所述：或； （3）略 题型3、抛物线与平行于x轴的直线的交点问题 典例3 （25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知两个二次函数和，对于函数，当时，该函数取最小值． (1)求的值． (2)若函数的图象与坐标轴只有个不同的公共点，求这两个公共点间的距离． (3)若函数、的图象都经过点，过点（为实数）作轴的平行线，与函数、的图象共有个不同的交点，写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的计算，图象的对称轴的计算，顶点坐标的计算等知识是关键． （1）根据二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值，代入对称轴直线的计算方法即可求解； （2）根据二次函数图象与坐标轴的交点的计算，分类讨论：当函数的图象与x轴只有个不同的公共点时；当函数的图象与x轴有交点，与y轴有一个交点时；由二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意，分别算出二次函数的解析式为，二次函数的解析式为，作图分析即可求解． 【详解】（1）解：二次函数中，二次项系数， ∴图像开口向上，函数在对称轴处取得最小值， ∵当时，该函数取最小值， ∴对称轴直线为， ∴； （2）解：∵， ∴二次函数的解析式为， ∴， 当函数的图象与x轴只有个不同的公共点时， ，且函数的图象与y轴无交点， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象与x轴的交点分别为， ∴这两个公共点间的距离为； 当函数的图象与x轴有交点，与y轴有一个交点时， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， ∴这两个公共点间的距离为； 综上所述，函数的图象与坐标轴只有个不同的公共点，这两个公共点间的距离为或； （3）解：二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴二次函数的解析式为， 在二次函数中，当时，， 解得，， ∴二次函数的解析式为， 函数的函数图象如下， ∵函数、的图象都经过点， ∴函数的交点为， 函数的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 函数的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 如图所示，过点（为实数）作轴的平行线，与函数、的图象共有个不同的交点时，且． 题型模版 1.特征：直线 y=k（k 为常数）与抛物线相交，要求交点个数、交点坐标或参数范围． 2.方法：联立 y=k 与抛物线解析式，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程；利用判别式或求根公式分析交点；结合抛物线顶点、开口方向与对称轴画图辅助判断． 变式3-1 关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数m，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④若，则一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴利用中点坐标公式即可判定①；分和两种情况，根据二次函数的图象与性质，确定出当时，函数值的取值范围，由题意即可求得a的取值范围，从而判定②；当时，，则；由，则当时，即对称轴右边到对称轴的距离为3时自变量值，此时得对应函数值；分和两种情况，分别得到和，解两个不等式组即可判定③；对于方程，有；当，且时，，原方程一定有两个不相等实数根；，但，则不一定成立；故可判定④；从而可确定最后答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，故①正确； 当时，；当时，；当时，； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 若，则，对应y的整数值有4个分别是， ， ； 综上，时，对应的y的整数值有4个， 则或；故②错误； 当时，，则， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， 当时，， ，解得：， 若，抛物线与x轴交于A、B两点，， ∴当时，， ，解得：； 若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或，故③正确； 对于一元二次方程，有， 若，且，则成立，原方程一定有两个不相等实数根； 若，但，则不一定成立；故④错误． 综上，正确的有①③， 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解不等式组等知识；掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 变式3-2 已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是______． 【答案】0和4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先确定二次函数与x轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解． 【详解】解：由题意可知二次函数与x轴的交点分别为和， 与的交点分别为和， 设与的交点分别为和， ∵， ∴直线在x轴和直线之间， 如图所示： 由图可知，， 又，q都为整数， ∴，， 故答案为：0和4． 变式3-3 （25-26八年级下·浙江杭州·期末）如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】(1)是“邻交函数” (2) (3)的最大值为 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 题型4、抛物线与平行于x轴的线段的交点问题 典例4 在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 题型模版 1.特征：在直线 y=k 基础上限定 x 的取值范围（线段），讨论抛物线与线段有一个、两个或无交点的情况． 2.方法：先求抛物线与直线 y=k 的交点，再判断交点横坐标是否落在线段范围内；或利用函数值范围、对称轴与区间位置关系，结合端点值与临界状态列不等式组． 变式4-1 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 变式4-2 （24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键． 变式4-3 已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且为线段的中点，求的值． (3)若，当时，该二次函数的最大值是最小值的3倍，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解二元一次方程组即可； （2）由为线段的中点，得到点的纵坐标为，求出当时，的值，即为的值； （3）分两种情况讨论：①当时，②当时，判断出函数的最大值和最小值分别是多少，根据最大值是最小值的3倍求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：为线段的中点，点，∴． 当时，， ∴， ∴或． （3）解：． ①当时，则函数在时取到最大值6， 由题意，最小值为． 当时，， ∴，． 由于最小值在或处取得， ∴或或或． 又∵， ∴． ②当时，则当时函数值最大，时函数值最小， 由此可得，， ∴，． 又∵， ∴，均不满足题意． 综上所述，． 题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题 典例5 ①抛物线向上平移________个单位得到抛物线； ②一段抛物线与直线有唯一公共点，则的范围是________ ． 【答案】 2 1或 【分析】①根据抛物线平移的上加下减法则，可直接得到平移单位； ②联立抛物线与直线的解析式，转化为一元二次方程在上只有一个解的问题，分判别式为0（相切）和只有一个根在内两种情况讨论，求解得到的取值范围． 【详解】① 原抛物线解析式为，平移后抛物线解析式为，根据抛物线平移“上加下减”的规律，可得向上平移了个单位； ② 联立抛物线与直线的解析式得： ， 消去整理得： ， 问题转化为在上只有一个解， 情况一：当，方程有两个相等的实数根，抛物线与直线相切， 此时： ，解得，此时方程的根为，满足，故符合题意； 情况二：当，方程有两个不相等的实数根，同时方程有且只有一个根在内： ， ， 解得， ①当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 解得； ②当在内，有不在内， ， 即， 又恒成立， ， 即， ， 此时，无解， 综上，的取值范围是或． 题型模版 1.特征：一次函数图象为射线、线段或折线的一部分，要求与抛物线的交点情况． 2.方法：分段联立解析式，注意自变量取值范围；画出关键端点、转折点与抛物线相对位置；通过方程根的分布或端点函数值比较确定参数范围． 变式5-1 在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． (1)当时，求该函数表达式； (2)若点，都在直线上，求的值； (3)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据当时，点，关于对称轴对称，求出的值，即可求解； （2）先根据点，点都在直线上，求出的关系，得出点坐标，再将点、点代入二次函数即可求解； （3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，点，关于对称轴对称， ∴， ∴该函数表达式为：； （2）解：∵点，点都在直线上， ∴， 由①②得：，即， ∴点坐标为： 将点，坐标代入函数表达式：， 解得：； （3）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ①当时，和在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵， ∴，与矛盾，不成立； ②当时，和在对称轴左侧，随的增大而减小， 在对称轴左侧，当，有，与矛盾，不成立； ③当时，在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 点对称点为， 当，，需要， 解得 变式5-2 定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 【答案】(1)； (2) 解：甲同学说法错误；乙同学说法错误． 对“甲同学说法”的判断理由如下： ， ∵抛物线开口向上，在的范围内， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时， ∴在的范围内函数最大值； 对“乙同学说法”的判断理由如下： 二次函数，对称轴为， 时，则在的范围内，随的增大而减小， 时，二次函数有最大值，时，最小值， ∵， ∴，即， ∵， ∴一元二次方程没有实数根， ∴不符合题意； 时， 时，二次函数有最大值，当时，有最小值， ，不符合题意； 时， 当时，有最大值，当时，最小值， ， 若，则， 解得， 只有当时符合题意； 综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的， 即甲同学说法错误，乙同学说法错误． 【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可； （2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可． 【详解】（1）解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当时，；当时，． （2）略 变式5-3 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交轴于点，且与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值和二次函数图象与轴的交点个数； (2)当二次函数图象恰好经过四个点中的某两点时，请指出是哪两个点，并求出的值； (3)若二次函数的图象与线段有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)，二次函数图象与x轴有且只有1个交点 (2)经过的两点是、， (3) 【分析】（1）将代入得出，将代入得，，得出对称轴为直线，则，计算的判别式，即可求解； （2）根据（1）二次函数解析式可写成，顶点为，得出一定不在抛物线上，且两点不可能同时在抛物线上，验证是否在抛物线上，即可求解； （3）根据抛物线与线段有交点，则，根据抛物线的对称性，当抛物线经过点时，正好与线段有两个交点，将代入中，得，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将代入中， ∵， ∴， ∴一次函数为， 将代入得，， ∴二次函数的对称轴，得， 当时，， ∴二次函数图象与x轴有且只有1个交点； （2）解：∵一次函数为， 当时，， ∴， 根据（1）二次函数解析式可写成，顶点为， 则一定不在抛物线上，且两点不可能同时在抛物线上，所以抛物线可能经过、或、， 即将代入得，解得， ∴， 而，此时的纵坐标为，则抛物线经过另一个点是， ∴经过的两点是、； （3）解：由（1）可知二次函数图象与x轴有且只有1个交点， ∵抛物线与线段有交点， ∴抛物线开口向上，即， ∵，，对称轴为直线， 根据抛物线的对称性，当抛物线经过点时，正好与线段有两个交点， 将代入中，得， 即当时，二次函数的图象与线段都有两个交点． 题型6、抛物线与一次函数交点问题 典例6 （25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的顶点在一次函数上，且当时，都有，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据整理得到关于x的不等式，利用开口向上二次函数的性质，只需区间端点处函数值即可满足区间内不等式恒成立，解不等式后取交集得到a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， ∵顶点在上， ∴将顶点坐标代入得：， 整理得， 即， 即， 将代入化简得， 对于二次函数， ∵二次项系数为，抛物线开口向上， 要使时恒成立，即恒成立，结合函数图象可知只需端点处函数值， 当时，， 整理得， 对于二次函数， 二次项系数为，抛物线开口向上， 当时，解得或2， ∴满足的a为， 当时，， 整理得， 对于二次函数， 二次项系数为，抛物线开口向上， 当时，解得或3， ∴满足的a为， 综上，a的取值范围是． 题型模版 1.特征：直线 y=kx+b 与抛物线相交，讨论交点个数、交点坐标及由交点条件求参数． 2.方法：联立两解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数，用韦达定理求交点横纵坐标关系；结合图象分析直线过定点、与抛物线相切等临界状态． 变式6-1 已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． (3)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的平移、二次函数的图象性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线表达式求出的值； （2）先求出平移后抛物线的表达式，再将代入平移后的抛物线表达式求出的值； （3）根据题意得的坐标为，的坐标为，求出、的表达式，进而得到的长随的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线得：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 抛物线表达式为， 平移后抛物线的解析式为， 将点代入得： ， 解得：或， ， ； （3）解：如图：∵， 的坐标为，的坐标为， ，， 、， 的长随的长增大而增大， 的长随的增大而增大， 抛物线中， 该抛物线的图象开口向下， 该抛物线的对称轴为， ， 解得：． 变式6-2 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②，， 【分析】（1）把点代入抛物线表达式中可解出的值； （2）由（1）求出点和点的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标； （3）利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时，的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． 变式6-3 【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】 若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； (3)当时，求d的取值范围． 【答案】(1) (2)线段的中点M一定落在直线上，理由如下： ∵点在抛物线上， ∴， 同理（1）可得，抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点， ∵点M是中点， ∴点的坐标为，即， ∴线段的中点一定落在直线上． (3) 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解； （3）结合（2）可得，令，则，根据二次函数的性质得到，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线是平衡抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：由（2）得，，， ∴， ， 令，则， 则的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，有最小值； ∵，且， ∴当时，有最大值， ∴， ∴， 即． 题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题 典例7 将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换． 【详解】解：对抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点为、， ∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变， ∴新图像中当时，解析式为，即，如图， 当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点， 把代入直线，解得：， 将直线向下平移时，有个交点， 当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点， 整理得：， ∴， 解得：， 综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是． 故选：C． 题型模版 1.特征：抛物线沿某条直线或某点折叠后，与新直线（或原直线）产生交点，涉及对称变换． 2.方法：先求折叠后抛物线的解析式（关于对称轴或对称中心对称），再与原直线联立；利用对称性把交点问题转化为原抛物线与对称直线的问题，注意折叠后定义域与图象范围的变化． 变式7-1 （2025·山东泰安·三模）我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式（组）关系、二次函数的图象性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由图象可知，图象关于直线对称，可判断①；关于x的不等式的解是且，可判断②；结合图象可得，当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点，即当时，关于x的方程|有四个实数解，可判断③；由图象可知：当时，函数的y值随x值的增大而减小，可判断④． 【详解】解：由图象可知，函数图象与x轴交于和两点， ∴图象关于直线对称， 故①正确； 由图象可知，关于x的不等式的解是且， 故②不正确； 将代入，得， ∴当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点， ∴当时，关于x的方程有四个实数解，当时，关于x的方程有两个实数解，当时，关于x的方程没有实数解， 故③不正确； 由图象可知，当时，函数的y值随x值的增大而减小； 当时，函数的y值随x值的增大而增大；当时，函数的y值随x值的增大而减小；当时，函数的y值随x值的增大而增大； 故④正确． ∴正确的有①④共2个． 故选：B． 变式7-2 已知关于x的方程，在的范围内，该方程有2个不同的实数根，则t的取值范围是_____． 【答案】 【分析】将方程在给定区间内有两个不同实数根的问题，转化为二次函数与平行于x轴的直线的交点个数问题，通过配方得到二次函数的顶点坐标，计算区间端点的函数值，结合二次函数的图像性质确定t的取值范围 【详解】解：方程在范围内有个不同的实数根，等价于函数与直线有个不同的交点， 对二次函数配方得： 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 当时，；当时，； 结合二次函数的图像性质可得，要使直线与在范围内有两个不同交点，需满足 变式7-3 已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形．若对于的每一个值，直线与图形总有三个不同的交点，求的取值范围． 【答案】(1)证明：∵二次函数， 当时，得：，∴， ∵，，∴， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， ∴二次函数的图象与轴有两个不同的交点； (2)①；②且 【分析】（1）证明判别式即可； （2）由A、B纵坐标相等得对称轴，得；①根据图象过点，得，从而得 ，根据二次函数的性质，即可得最小值；②根据交点的个数，画出简图，分类讨论，列出不等式，求解即可得到n的取值范围． 【详解】（1）略； （2）解： ，， 对称轴 ， 对称轴， ，则， ①当时，，则， ， ，整理得， ， ， 当时，取得最小值，为； ②二次函数有最大值，，开口向下，对称轴为直线 ， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点， 如图1，当时，只需点在直线右侧即可， ，解得； 如图2，当时，只需点在直线上或左侧即可， ，解得； 综上所述：且． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 29．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，掌握根与系数的关系和解不等式组是解题的关键．联立二次函数与一次函数方程，得到关于的二次方程，根据判别式及根在内的条件，分情况讨论确定的取值范围，从而求出的最大值与最小值的差． 【详解】解：令， 整理得：， ， 二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点， 当时，即时，方程的解为，满足，且两函数图象只有一个交点， 当时，即时，方程的解为，只需满足一个解在内， 若，即， ，即， 解得； 若，即， 故此情况不存在， 当时和当时，两函数图象只有一个交点， 的最大值与最小值的差为． 故选：D． 30．已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立抛物线与直线的方程，得到关于x的一元二次方程，再结合两点间距离公式推导出关于的表达式，最后利用平方数的非负性求出长的最小值． 【详解】解：设， 联立抛物线与直线方程 整理得 由根与系数的关系得 ∵ ∴ ∵ ， ∴ 当 时，取得最小值 代入得． 31．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知一次函数（为实数）和二次函数，对任意，总有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是关键． 将不等式 转化为 对任意 成立，由于 是开口向上的二次函数，需保证自变量范围中的端点 ，，以及当顶点在该范围内时 ，由此即可求解． 【详解】解：一次函数（为实数）和二次函数，对任意，总有， ∴设， ∵，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为：直线， ①当时，即，在上，随的增大而增大， 当时，有最小值，，即， ∴； ②当时，即， 当时，， ∴， 解得，， ∴当时，， ∴； ③当时，即，在上，随的增大而减小， 当时，有最小值，，即， ∴此种情况不符合题意； 综上所示，， 故选：D． 32．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与y轴交于点C．将抛物线位于点A，C之间的部分（包含端点）记为图象G，若直线与图象有两个交点，则_____，k的取值范围是________________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点的k值，利用数形结合思想得出答案． 先由待定系数法求二次函数解析式，然后求出C的坐标，再得到直线过定点，分别求出直线经过点C、A以及与抛物线相切时的k值，结合图象，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∴， ∴解析式为：， 令，则， ∴， ∵当时，， ∴直线经过定点， 如图， 当直线经过点C时，由得，此时直线与图象G有两个交点， 当直线与抛物线相切时， 由得， 由解得，， 当直线经过点A时，由得，此时直线与图象G有一个交点， 由图可知，当，直线与图象G有两个交点， 故答案为：，． 33．-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版））将抛物线的图像位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线与此图像有四个交点；求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：根据题意，画出图象如图所示： 直线与抛物线未翻折部分有一个交点时，此时直线与新图象有三个交点， 可得方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ， 当直线经过点时，此时直线与新图象有三个交点， 可得， 解得， 根据图象可得，的取值范围是：． 34．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，它的顶点为点． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________（用表示）； (2)已知射线，若抛物线与该射线恰有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围为 【分析】（1）利用抛物线的性质与顶点公式求出点和点的坐标即可； （2）将代入得到方程，根据得到或．分类讨论，结合韦达定理判断两根的符号，筛选出符合题意的范围． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 的对称轴为直线， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ， 化简，得， ∵抛物线与该射线恰有一个公共点， ∴方程只有一个非负实数根， ∴，且， 当时，解得， 原方程变为：， 解得， 此时方程有两个相等的负根，不满足题意， 当时，，解得或， ①当时， 由韦达定理可得， ∴，异号， ∴方程有一个正根和一个负根，符合题意； ②当时， 由韦达定理可得，， ∴方程有两个不相等的负根，不符合题意； 综上所述，的取值范围为． 35．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上．当时，求的最大值． (3)点在抛物线上（不与点重合），过点作直线轴，若直线与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的点的坐标为，代入函数解析式得出，根据，，解不等式即可求解； （3）先求得抛物线与坐标轴的交点，，不重合，则，分情况讨论，当在直线上时，得出；当不在直线上时，直线与抛物线交于点和，分和两种情况讨论，分别列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ∴； （2）解：向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，为 ∵在； ∴ 解得： ∵且 ∴ 解不等式得或， 解不等式得， 又因， ∴ ∴的最大值为； （3）解：当时， 解得：或 ∴， ∵ ∴顶点坐标为 过点作直线轴， 则 解得： ∵不重合，则， 当在直线上时，，解得：或（舍去） 当时，，即点，直线为轴，不符合题意，则 当不在直线上时，直线与抛物线交于点和 ①当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则； ∴或； ②当时，之间的横坐标满足，则的横坐标满足或 当时，则， 当时，则（矛盾，舍去） ∴ 综上所述，或或． 36．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象经过和两点，从而，且，进而求出，后可以判断得解； （2）依据题意，当时，函数为，从而可得对称轴是直线，则顶点为，，结合顶点坐标始终在直线的下方，可得，进而求出的范围； （3）依据题意，当，时，函数为，从而，结合，故，进而或，最后计算可以判断得解． 【详解】（1）解：函数的图象经过和两点， ，且． ，． 二次函数的表达式为． 故答案为：． （2）解：由题意，当时，函数为． 对称轴是直线． 顶点为，． 又顶点坐标始终在直线的下方， ． ． 或． （3）解：由题意，当，时，函数为． ． 又， ． ． 或． 或． 37．已知二次函数，其中c，d为两个不相等的实数，与y轴交点坐标为． (1)当时，求n的值； (2)当时，点在该函数图像上，且，求整数n的值； (3)若，对于该函数图像的顶点坐标，满足，求的取值范围． 【答案】(1)12 (2)1，2，3，4 (3) 【分析】（1）将，代入解析式求解即可； （2）分别表示出，根据得出，根据得出，则，根据抛物线与y轴交点坐标为，得出，进而求得n的取值范围，即可确定n的整数值； （3）根据题意可得，根据函数图像的顶点坐标，得出，根据得出，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，二次函数． ∵函数与y轴交点坐标为， ∴． （2）解：当时，二次函数， 已知点在该函数图像上，则，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即． ∵函数与y轴交点坐标为， 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴整数n的值为1，2，3，4． （3）解：∵二次函数，函数与y轴交点坐标为， ∴当时，． 当，即时，， 该函数图像的顶点坐标， ∴， ∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 38．（2025·河南周口·二模）已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴． (2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象； ②在同一坐标系中画出直线，并根据图象直接写出关于x的不等式的解集． (3)若关于x的一元二次方程在的范围内有实数根，请结合图象直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) ①描点，画出二次函数的图象如解图所示． ②画出直线如解图所示； 由图象可得：出关于x的不等式的解集为或； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数的性质即可得出对称轴； （2）①利用描点法画出函数图象即可；②画出直线的图象，结合图象即可得解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为． ∴对称轴为直线； （2）解：①略； ②略； （3）解：∵一元二次方程在的范围内有实数根， ∴在的范围内，抛物线与直线有交点． ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线在时取得最小值． 当时，，当时，． ∴当时，． ∴t的取值范围为． 39．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图① 是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图② 所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成． (1)在图③ 中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象． (2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值． (3)已知，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有4个交点，求n的取值范围． 【答案】(1)如图，即为函数的“镜面函数”的图像 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可； （2）分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）先求出的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图， 对于，当时， 函数与轴的交点坐标为 当直线经过点时，； 此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点， 当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：， 整理得，， 此时，， 解得， 综上，的值为或； （3）函数的“镜面函数”解析式为， 当时，， ∴， 解得，； 当的顶点在上时， 解得或（舍）， 此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有5个交点，不合题意， ∴ 当时， ∴ 解得，； 综上，的取值范围为或． 40．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D． (1)则点C的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ； (2)若点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线的距离分别是，，且． ①求d关于t的函数解析式； ②当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或或 【分析】（1）对于抛物线，令，求出对应的值，即可得出其与轴的交点的坐标，然后由二次函数的图象与性质即可得出抛物线的对称轴； （2）①由题意得，结合抛物线对称轴为直线，直线的解析式为，可得，，进而可得，由于点Q在y轴右侧的抛物线上运动，，因而可分别写出当、、时d关于t的函数解析式；②当时，令，，通过求解上述两个方程即可求出当时所对应的的取值范围；当时，令，，通过求解上述两个方程即可求出当时所对应的的取值范围；当时，令，，通过求解上述两个方程即可求出当时所对应的的取值范围；综合以上，即可求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，则， ， 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：，； （2）解：①由题意得：， 抛物线对称轴为直线，直线的解析式为， ，， ， 点Q在y轴右侧的抛物线上运动，， 与之间的函数关系式为： 当时，， 当时，， 当时，， 综上，d关于t的函数解析式为： ； ②当时，的取值范围为：或或， 理由如下： 当时， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， ； 当时， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， ； 当时， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， 令，解得：或（不符合题意，故舍去）， ； 如图： 综上所述，当时，的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，求抛物线与轴的交点坐标，化简绝对值，公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 41．（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知二次函数的图像过三点，直线l解析式为， (1)求二次函数解析式 (2)求证：此抛物线与直线l无公共点 (3)若与l平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P点坐标 (4)若是直线l上的一个动点，求P、Q两点距离的最小值 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式和直线l解析式联立方程组，整理得出，然后判断即可； （3）设该直线解析式为，联立方程组，整理得，结合已知可得出，求出m的值，然后求出方程组的解即可； （4）设直线l与x、y轴交于点A、B，求出A、B的坐标．则可求出，，，根据勾股定理求出，根据垂线段最短得当时，最小，此时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴； （2）证明：联立方程组， 整理得， ∴， ∴该方程无实数根， ∴方程组无解， ∴此抛物线与直线l无公共点； （3）解：设该直线解析式为， 联立方程组， 整理得， ∵与l平行的某直线与抛物线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：设直线l与x、y轴交于点A、B， 当时，，解得；当时，， ∴，， 又， ∴，，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． 42．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数的图象和性质进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示． 请根据函数图象完成以下问题： (1)观察发现： ①写出该函数的一条性质_________________； ②函数图象与x轴有_________个交点，所以对应的方程有________个实数根； (2)分析思考： ③方程的解为__________________； ④关于x的方程有4个实数根时，n的取值范围是_________； (3)延伸探究： ⑤将函数的图象经过怎样的平移可以得到函数的图象，直接写出平移过程． 【答案】(1)①图象关于y轴对称，或当时，y随x的增大而增大；②2，2； (2)③；④； (3)⑤先向左平移2个单位，再向下平移4个单位． 【分析】（1）①结合图象，写出一条性质即可；②观察图象，即可得出图象与轴的交点个数，进而得出对应方程的根的个数； （2）③图象法解方程即可；④图象法求出的取值范围即可； （3）⑤根据二次函数的平移规则：上加下减，左减右加，即可得出结论． 【详解】（1）解：①函数的性质：图象关于y轴对称； 或当时，y随x的增大而增大． 故答案为：图象关于y轴对称；或当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； ②函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个实数根； 故答案为：2，2； （2）解：③如图， 作，与函数交于， 故方程的解为； ④如图，作， 关于x的方程有4个实数根，故n的取值范围是； 故答案为：； （3）解：根据二次函数的平移方法可知：将函数的图象经过先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可以得到函数的图象． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，图象法解一元二次方程，二次函数的平移．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 43．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段检测）一次函数的图象与轴交于点，二次函数的图象经过点、原点和一次函数图象上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图象交于点、，过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①________，________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图象是由二次函数的图象平移后得到的．点是二次函数的图象上的点，设点的横坐标为，过点平行于轴的直线交函数的图像于点，交函数的图像于点、（在点右侧）， ①当时，求点的坐标； ②直接写出点是的中点时的的值 【答案】(1) (2)①，；②见解析 (3)①；② 【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、O三点坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值； ②通过， 即可求出的长度；通过，F即可求出的长度； （3）①根据题意分别表示出，的坐标，进而求得， ，根据，建立方程，解方程，即可求解． ②由点是的中点时，建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）令，则，解得， ∴， 将点代入中，解得， ∴点的坐标为． 将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（）， ∴联立关系式得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，； ②当时，位于的上方，∵、， ∴，， ∴， 当时，位于的下方，同理可证． 故可得：； （3）①依题意，，在上，对称轴为直线 ∴，， ∵在上，对称轴为直线 当时， 解得： ∴ ，， ∴， ， ∵ ∴ 解得或 （舍去） ∴ ②由①可得，， 当点是的中点时， ∴ 解得：或（舍去） 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $