2026年江苏省无锡市中考数学试卷

江苏省无锡市2026年初中学业水平考试 一、选择题 1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.D8.D9.C10.C 二、填空题 11.3 12.a(b+2)(b-2) 13.60 14.假 13 15.（L,0)(答案不唯-) 16.12 17.2 18.存在 0<m<17 三、解答题 19.解：(1)因为a=1,b=-3,c=1, 所以b2-4ac=5. …(2分) =(-3±5 所以 2 3+5 3-5 七2= 所以 2, 2 (4分) (2)原式=r+2y+y2+x2-2y (2分) =2x2+y2 (4分) (m-n)(m+n)+n2 20.解：原式 m+n (2分) =m2-n2+n2 m+n (4分) s、2 m+n,.… (6分) 121 当m=1,n=2时，原式1+23 (8分) 21.证明：(1)四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC. (4分) 在△ABE和△DCF中， :AB=DC,∠A=∠D,AE=DF, .△ABE2△DCF. (6分) ②)'△ABE≌△DCF ∴.∠ABE=∠DCF (8分) :四边形ABCD是矩形. ∴.∠ABC=∠DCB=90° (9分) ∴.∠GBC=∠GCB △BCG是等腰三角形. …(10分) 2 22.解：(1)3 (3分) (2)列表如下： 匆 红1 红2 白 乙 （红1，红 (红 红 (红1，红) 白) （红2，红 (红2， 红2 (红2，红) 2) 白) 白 (白，红) (白，红2) (白，白) 。。。。。。 (8分) 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种.…(9分) 5 4 所以P(甲胜)9，P(乙胜)9 54 5、4 因为99（或99）， 所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平。… (10分) 23.解：(1)6 15% …(4分) 【解题过程】因为样本容量为3÷5%=60 所以m=60×10%=6: y=9÷60×100%=15% (2)600×(1-5%-109%)=510(人). 所以估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3h的人数为510. (8分) (3)该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3小时的人数大约占总人数的85%，人数较多，所以 该校八年级学生大多数能够积极地参加家务劳动。…（I0分) 24.解：(1)如下图即为所求作. (6分) (2)12W2 (10分) 【解题过程】设CD=x,则AD=3CD=3x, DB=DA=3x,∠ACB=90°，BC=4, ∴在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2, 即4+x=(3),解得x=V2(舍负). .BD=3√2 .菱形AEBD的周长为4BD=122. 25.解：(1)连接BD, AB是⊙0的直径，.∠ADB=90 ∴.∠BDC=90° (2分) :BC与⊙0相切于点B,∴AB⊥BC, .∠ABC=90°. (4分) AD=CD=1. :.BD=1AC=1 ∴在Rt△BCD中，BC=VCD2+BD2=VP+1P=√2 (5分) (2)连接OD」 AD=CD.OA=OB. .OD/IBC op-c 2… (7分) :∠ABC=90°，∴.∠BOD=90° (9分) 3π ∴S阴影=S5形O0CB-S形08=48《公式：扇形面积 nnr2 360)(另解： 5-SA4C-S6.400-S mOD =1-1 4848). (10分) 26.解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系. 10m 图1 由题意得，图象的顶点坐标是(3,2)，过点(0,1.5) 设y=4(x-3)2+2 (2分) 把x=0,y=1.5代入y=4(x-3)2+2 1 1= 解得 18(技巧：已知顶点坐标，设成顶点式，解答更简便)· 所以y=13x=)+2 。。 (3分) 所以当少=0时，=9，x3=-3 (舍) (4分) 因为9≠10. 、13 ≠0 所以沙包不能正好命中靶心（另解：因为当x=10时， 18 所以沙包不能正好命中靶心)· …（5分) (2)建立如图2所示的平面直角坐标系. y 10m 图2 由题意得，图象过点(0,1.5)，(0,1) 设y=a,(x-4)2+k (7分) 把x=0,y=1.5:x=10,y=1分别代入y=ax-4+k 解得 (9分) 19 m 所以沙包达到最高点时距离地面l0(技巧：抛物线y=a(x-)+k,若a<0,则当x=h时，y取 最大值k). (10分) 27.解：(1)5… …(3分) 【解愿过程】'AB:轴，且A(3,5),AB=2. :B(1,5)(关键：求出点B的坐标)· 飞 y= 把点B(L,5)的坐标代入y=E中， 得，=1×5=5 (2),点A的横坐标为2， ∴点A的坐标为 2匀可。3，CDa生4与g*标 点C与点D的纵坐标相等；ACy轴，则点A与点C的横坐标相等). :B=2-AC-5-&cD=26-) k 2 k …(5分) .△ABC∽△CAD AB AC CA CD 4_k2 k 4 .kk2=16 …(6分) (3)△PCD的面积是定值. [第1步，设点A的坐标，表示出点B,C,D的坐标] a,4 如图1，设点A的坐标为 a 图1 B Ca, D (ak k2 k a a AB [第2步，求AB,AC,CD,并得到CD] .AB= a(k-k2) k AC=k-k CD=a(k-k) a k ABk2 CD k 。。。。。。。。。。。。 (7分) 解法一：[第3步，求得梯形ABCD的面积，根据相似三角形的性质求得结果] .S梯形ABC =(B+cD4C-低-5-) 2k k, (9分) 易证△PBA∽△PCD SAPCD-S带形HBCD SAPCD CD (关键：利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出面积关 系)· .S△PcD k(k-飞2) 2k2 (10分) 解法二：[第3步，设点P的纵坐标为m,利用相似三角形的性质求得PV,进而求得结果] 如图2，设点P的纵坐标为m 图2 延长AB交OP于点M,延长DC交OP于点N. ∴.PM=m k PN=m- k2 a, a. 易证△PBA∽△PCD. PM AB PN CD m- a k 上 :m=在+龙 a, .PN= (9分) :SAPCD= PN.CD-k(k-k) 2k, (10分) 2+V5 28.解：(1)3 (3分) 【解题过程】∠BDE=150°，∠DEC=120°. ∴.∠ADE=180°-∠BDE=30°，∠AED=180°-∠DEC=60 ∴.∠BAC=180°-∠ADE-∠AED=90° DE是△ABC中∠A所对的“等截线”， ∴.BD=DE=CE 设BD=DE=CE=2m, 则AE=m,AD=DE·cos∠ADE=V3m」 .AB=AD+BD=3m+2m,AC=AE+CE=3m, :tanc=4B_3m+2m_2+ AC 3m 3」 (2)[第1步，根据∠A=36°以及等腰三角形的性质推导出AE=BE=BC,表示出AC的长度] 如图1，设DE是∠A所对的“等截线”，连接BE 图1 设DE=BD=CE=x. AB=AC,.AD=AE. :∠A=36°，∴.∠ADE=∠AED=∠ABC=∠C=72° ∴.∠ABE=∠DEB=36° ∠BEC=72° ∠BEC=∠C,∠A=∠ABE. .AE=BE=BC=2 ∴.AB=AC=x+2 (4分) [第2步，推导出△CAB∽△CBE,由相似三角形的性质得出答案] .∠C=∠C,∠ABC=BEC .△CAB∽△CBE… (5分) CB CA CE CB 2-x+2 x2. x=5-1(舍负)： ∠A所对的“等截线”的长度是V5-1 (6分) (3)解法一：[第1步，作ND∥AC交AB于点D,作DEIICN交AC于点E,推导出四边形CEDN是 菱形] 如图2，作ND∥AC交AB于点D,过点D作DE/CN交AC于点E(巧作辅助线：构造平行四边形， 将线段CN转换为端点分别在AB,AC上的线段)·. 图2 ∴四边形CEDN是平行四边形. (7分) POIlAC.DNIIAC,:POllDN ∴.△BPQ∽△BDN BO PO BN DN .CNI/QM∴.△BQM∽△BNC .B≌-OM BN CN PO_OM DN CN QM=Pg.∴.CN=DN .平行四边形CEDN是菱形. (8分) [第2步，根据BP=PO推导出BD=DN,根据菱形的性质推导出结论] .CN=CE=DE=DN :POIIDN..∠PQB=∠DNB BP=PQ.∴.∠PQB=∠PBQ ∴.∠DNB=∠PBQ ∴.BD=DN 。。。。。。。。。 (9分) .BD=DE =CE ∴.DE是∠A所对的“等截线”. .CV的长度即为∠A所对的“等截线”的长度。… (10分) 解法二：[第1步，作ND/AC交AB于点D,在AC上截取CE=CV,连接DE,推导出四边形 CEDN是菱形] 作ND∥AC交AB于点D,在AC上截取CE=CN,连接DE. .POIlAC.DNIIAC,:POllDN ∴.△BPQ∽△BDN BO PO BN DN .CNI/OM.△BOM∽△BNC ..Boou PO OM BN CN.DN CN ..PO=OM,:.DN=CN ∴.DN=CE ∴四边形CEDN是平行四边形. (7分) .CE=CN. ∴平行四边形CEDN是菱形. (8分) [第2步，根据BP=PO推导出BD=DN,根据菱形的性质推导出结论] (下同解法一) 江苏省无锡市2026年初中学业水平考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（ ） A． B． C． D． 2．使分式有意义的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截止2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成绩（单位：个）为8，9，9，10，11．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．8，9 B．9，9 C．9，8 D．11，9 5．分式方程的解是（ ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 7．如下图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如下图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 10．在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上） 11．计算：______． 12．因式分解：______． 13．窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如下图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都等于______度． 14．命题：“若，则．”是______（填“真”或“假”）命题． 15．在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于1．请写出一个符合条件的点的坐标：______． 16．在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为的物体，弹簧长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的函数表达式为．若挂物体时弹簧的长度为，则挂物体时弹簧的长度为______． 17．已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 18．在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分） （1）解方程：； （2）计算：． 20．（本小题满分8分） 先化简，再求值：，其中，． 21．（本小题满分10分） 如下图，在矩形中，点，在上，，，的延长线相交于点． （1）求证：； （2）求证：是等腰三角形． 22．（本小题满分10分） 一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． （1）求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； （2）有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 23．（本小题满分10分）某校积极开展劳动教育，鼓励学生动手实践、磨炼意志．为了解本校学生参加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务劳动时间（单位：，按整数计）进行抽样调查，并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间 频数 A 3 B C D 18 E 9 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： （1）________；________； （2）学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间不少于．已知该校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于的人数； （3）请结合数据对该校八年级学生一周参加家务劳动时间的情况作出评价． 24．（本小题满分10分）如下图，在中，，． （1）尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的周长（请直接写出答案）． 25．（本小题满分10分）如下图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 26．（本小题满分10分）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如下图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 27．（本小题满分10分）如下图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． （1）若点，，则______． （2）若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． （3）延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 28．（本小题满分10分）在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． 【初步感知】 （1）如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 （2）如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 （3）小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例（），画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $