专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学讲义以“圆中全等三角形模型”为核心，通过知识框架图系统梳理圆的性质（等弧、等弦、圆周角）与全等判定（SAS/AAS）的内在联系，将切线长、燕尾蝴蝶、手拉手、对角互补四大模型按“性质推导-模型提炼-应用”递进呈现，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计（A组基础、B组提升、C组压轴）和易错点总结（如跳过弧直接证角相等），典例结合中考真题（如切线长模型求量角器直径），培养学生推理意识与几何直观，助力不同层次学生掌握“弧为中间桥”的解题方法，为教师精准教学提供系统支持。

专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中全等三角形，区别于普通全等，它的相等边角都由圆的性质推导而来：同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆周角、同弧所对圆周角相等、半径全部相等。它是圆综合解答题核心基础模型，圆中证明线段相等、角度相等的常用手段。常和圆周角模型、切线模型、圆翻折模型组合成大题，学会圆内全等的倒角逻辑，能够打通圆板块的证明思路，是从基础圆计算迈向圆综合大题的关键一步。掌握圆中等弧、等弦、圆周角相等的转化关系，能够利用圆的性质找到全等条件（SAS/AAS），快速识别圆内几类全等结构，规范圆内全等证明书写格式。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、切线长模型 2 模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6 模型3、手拉手（旋转）模型 11 模型4、对角互补模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 29 C组（综合压轴题） 38 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件； 2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角⇔等弧⇔等弦；圆全等的转化关系：弧⇔圆心角⇔圆周角⇔弦； 3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等； 4）全等判定：SAS、AAS、ASA； 5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 模型1.切线长模型 【模型提炼与证明】 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。 【模型运用】 【典例1】（2026·河北·校考一模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（    ）．    A．3 B． C．6 D． 【典例2】（24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【典例3】（2025·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆．(1)证明：是的切线；(2)已知 ，求的长． 【典例4】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 模型2.燕尾模型与蝴蝶模型 【模型提炼与证明】 1）.燕尾模型 条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 图1 图2 2）蝴蝶模型 条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 由于证明过程比较简单，故略去相关证明。 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长． 【典例3】（25-26重庆九年级期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．    【典例5】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．    【典例6】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 模型3.手拉手（旋转）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在圆内接四边形中，．若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【典例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为．①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【典例4】（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 模型4.角互补模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（   ） A．5 B． C．2 D．1 【典例2】（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【典例3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 模型常见易错点 1）跳过弧，直接默认角相等 错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。 正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。 2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题 只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。 3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错 审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。 4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错 圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。 5）忽略 “同圆或等圆” 大前提 不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。 解题方法总结 1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）； 2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角； 3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边； 4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS； 5）写出全等，推导对应边、对应角相等。 终极原理总结 圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：；(2)试判断四边形的形状，并说明理由． 3．（24-25·江苏·九年级专题练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等．（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 4．（2025·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长． 5．（24-25·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题． [材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线． [问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．(1)求的大小；(2)过点C作交的延长线于点F，若，，求此圆直径的长． 7．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．    (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长 8．（2025·江苏扬州·三模）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． (1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； (2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 1．（24-25·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 2．（2026·河南周口·校考二模）数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下： 利用尺规过圆外一点作圆的切线． 已知：如图（1），为⊙的切线，切点为A．求作：圆的另一条切线，切点为B．         下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题． (1)进步小组的作法：以点P为圆心，长为半径作弧，交⊙于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．问题：①请你在图（2）中补全进步小组的作图痕迹． ②进步小组通过连接，，证明，他们证明两个三角形全等的依据为______（填“”“”或“”）． (2)希望小组的作法：如图（3），连接，作的垂直平分线m交于点M，以点M为圆心，长为半径作圆，交于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线． 问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程． 证明：连接，由作图知，是的※，∴，（理由：◎）即 又是的半径，∴为的切线．在上述证明过程中，※处应该填写______； ◎处应该填写______（填序号） ①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②90°的圆周角所对的弦是直径 ③直径所对的圆周角是直角；④同弧所对的圆周角相等 (3)拓展小组的作法：如图（4），连接交于点C，过点C作的垂线n，以点O为圆心，长为半径作弧，交直线n于点D，连接交于点B，作直线，则直线即为所求作的切线．问题：请你结合该组作图方案给出证明过程． 3.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．    (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；(2)如图2，弦与弦交于点，，．①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知四边形内接于，平分． (1)如图1，求证：(2)如图2，若，求证：． 5．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．    (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长 6．（25-26江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．(1)求证：是半圆O的切线；(2)设，． ①写出y与x的关系式；②若，求阴影部分的面积．      7．（24-25·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线： （1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点； （2）如图2，的两边与一圆交于，且． 8．（24-25·江苏南京·九年级校考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．为直径 B． C． D． 2．（24-25·天津和平·九年级专题练习）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪．    (1)如图2，四边形内接于，；①证明：圆中存在“爪形D”；②若，求证：．(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ． 5．（2025·广东肇庆·二模）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 6．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等 垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 7．（2025·贵州遵义·校考一模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）； 拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中全等三角形，区别于普通全等，它的相等边角都由圆的性质推导而来：同圆或等圆中，等弧对等弦、等弧对等圆周角、同弧所对圆周角相等、半径全部相等。它是圆综合解答题核心基础模型，圆中证明线段相等、角度相等的常用手段。常和圆周角模型、切线模型、圆翻折模型组合成大题，学会圆内全等的倒角逻辑，能够打通圆板块的证明思路，是从基础圆计算迈向圆综合大题的关键一步。掌握圆中等弧、等弦、圆周角相等的转化关系，能够利用圆的性质找到全等条件（SAS/AAS），快速识别圆内几类全等结构，规范圆内全等证明书写格式。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、切线长模型 2 模型2、燕尾模型与蝴蝶模型 6 模型3、手拉手（旋转）模型 11 模型4、对角互补模型 16 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 29 C组（综合压轴题） 38 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 1）同圆半径相等；垂径定理可以平分弧、平分弦，创造相等条件； 2）圆心角、弧、弦三者关系：等圆心角⇔等弧⇔等弦；圆全等的转化关系：弧⇔圆心角⇔圆周角⇔弦； 3）圆周角定理：同弧所对圆周角相等； 4）全等判定：SAS、AAS、ASA； 5）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 模型1.切线长模型 【模型提炼与证明】 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 由于证明过程相对简单，故略去相关证明（主要运用切线长定理和圆中相关性质定理证明即可）。 【模型运用】 【典例1】（2026·河北·校考一模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（    ）．    A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】连接，，，如图，    根据题意有：，，∵、是圆O的切线，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴量角器的直径是，故选：D． 【典例2】（24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【答案】 30 【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D， ∴，，， ∴ ∵、分别与相切于点A、B，∴， 又∵，∴， ∵与相切于点D，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故答案为：30；．    【典例3】（2025·广西·模拟预测）如图，，，与交于点O，以O为圆心，长为半径作圆．(1)证明：是的切线；(2)已知 ，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过O点作，垂足为点E，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵为半径，∴为半径，又∵，∴是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得，∴， 设的半径为r，则，∴，由（1）得， ∴，∴，在中，由勾股定理得， 即，解得：， 在中，由勾股定理得，即，∴． 【典例4】（2025·湖北·一模）如图，，分别与相切于E，F两点，点G是圆上一点，直线过点G，且，交于C点，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（保留根号和）． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ，是的切线，，，， ，，． 在和中，，，，， 是的半径，是的切线； （2）解：，是的切线，平分，平分， ，，， ．，，． 在中，，在中，， ，． 模型2.燕尾模型与蝴蝶模型 【模型提炼与证明】 1）.燕尾模型 条件：如图1，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 图1 图2 2）蝴蝶模型 条件：如图2，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 由于证明过程比较简单，故略去相关证明。 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． 【典例2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：直径垂直于弦于点E，连接，∴，∴， ∵过圆心O的直线，∴，即是的中垂线，∴， ∴．即：是等边三角形，∴， 在中，有，∴，∴点E为的中点； （2）解：∵，∴， 又∵，∴，∴，，∴． 【典例3】（25-26重庆九年级期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由圆的基本性质可知：，， ∴，即：，故A正确；∴和均为等腰三角形， ∵和的顶角均为， ∴，， ∴，∴，故B正确； ∵当是的中位线时，满足，由于不一定为的中点， ∴不一定等于，故C错误； 在和中，∴，∴，故D正确；故选：C． 【典例4】（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接，∵，∴， ∴，即，∴，∴， 又∵，∴．    【典例5】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析 【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C， 在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）； （2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°， ∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B， ∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD； （3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：    ∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2， ∴EH＝AH﹣AE＝1，∴OH＝＝＝1， ∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为， ∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线． 【典例6】（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)结论仍然成立，证明见解析 【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分，∴，∴；    （2）解：结论仍然成立．理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知．∴， 如图④，当点在内时，由（1）知．∴． 模型3.手拉手（旋转）模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 【模型运用】 【典例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在圆内接四边形中，．若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图，延长到E，使，连接， 四边形是圆内接四边形，， 在和中，，， ， 即，，故选：B． 【典例2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，       ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，， 在和中，，，，， ，，由圆周角定理得：，，， ∵，∴，∴ 【典例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为．①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)①，②证明见解析．(3)，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意得：四边形是圆美四边形， ，，． （2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接， ，，，， ，，．故答案为：． ②如图，连接，在（1）的条件下，，， 平分，，，， 是等边三角形，延长到，使得， 又，，，，， ，为等边三角形， 则，即，． （3）如图，延长和交于点，在（1）的条件下，，， 是直径，，，， ，，在中，，， 即，解得：． 【典例4】（2025·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴，∴，解得，故答案为：60． ②作圆的直径，连接，则 ∵圆的半径为5，∴，∵，∴.∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角，∴， ∴，解得，∴， ∵平分，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值，即的最大值是． 模型4.角互补模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC。 【模型运用】 【典例1】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，D为劣弧的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，连接．若，则的半径为（   ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：如图，连接，∵为的切线，． ∵D为的中点，．，．，． ，；如图，过点D作于点F， ，．， ，．∵D为的中点，，． ∵在和中，，，． ，，， ∴的半径为，故选：B． 【典例2】（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】【探究】成立，见解析；【应用】 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，∴在和中，， ∴，∴，， ∴在和中，，∴， ∴，∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，，∴，∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴，∵， ∴在和中，，∴， ∴，，∴四边形是正方形，∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴， 设，则，∴，， ∴． 【典例3】（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接， ，， 又，，， 为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上； ②解：， 故答案为：234； （2）解：，，， 在中，，在中，，，即； （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ，，， ，，，，， 同理可证，，，， ∵，，，， ，， 即四边形面积S的最大值为 模型常见易错点 1）跳过弧，直接默认角相等 错误：直接写两角相等，没有用 “同弧所对圆周角相等” 作为依据，逻辑断裂，扣分。 正解：圆内证角相等，必须以弧为过渡条件。 2）混淆 “弦相等” 与 “圆周角相等”，乱用逆命题 只有同圆 / 等圆中，等弧才能推等角，任意两条弦相等，不能直接推出圆周角相等。 3）把圆周角当成圆心角，角度条件用错 审题看清角的顶点在圆心还是圆周，选用对应定理。 4）全等对应顶点书写顺序混乱，对应边找错 圆内三角形顶点都在圆上，字母较多，书写全等时顶点顺序必须一一对应。 5）忽略 “同圆或等圆” 大前提 不同圆中，弧相等不能推出弦相等，不可随意套用性质。 解题方法总结 1）观察图形，找出相等的弧（已知条件或垂径 / 折叠得到）； 2）由等弧转化为相等的圆周角 / 圆心角，得到一组等角； 3）利用半径相等或者等弧对等弦，得到一组等边； 4）补齐第二个角或者第二条边，凑齐 SAS/AAS； 5）写出全等，推导对应边、对应角相等。 终极原理总结 圆中证全等，弧是中间桥；弧等角也等，半径自带边；凑齐边角条件，全等自然出现。 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在和中，，， ，，， ，，故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， (1)求证：；(2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)四边形是菱形，理由见解析 【详解】（1）证明：是直径，， 在和中，，，， ，； （2）解：四边形是菱形，理由如下：，，，∵，， 在和中，，， ，四边形是平行四边形， ，，四边形是菱形． 3．（24-25·江苏·九年级专题练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距． 【探究】等弧所对弦的弦心距相等． （1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明． 【应用】（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，且，连接．求证：平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】（1）已知：，于点，于点．求证：． 证明：∵，∴．∵，，∴，，∴． 在和中，， ∴（HL），∴． （2）证明：过点作，，垂足分别为、，连接． 由（1）可知，当时，．在和中，， ∵∴（HL），∴，即平分． 4．（2025·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析   （2）3． 【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示： ∵∴∠AOE=∠BOD∵OA=OB∴∠OAE=∠OBF ∴∴ （2）∵∴AM=BM=4设OM=x，则OA=ON=x+2 在RtAOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，解得：x=3∴OM=3． 5．（24-25·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题． [材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线． [问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长． 【答案】(1)作图方法正确；作图见解析；理由见解析(2) 【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示： 以上即为所求作的图形；理由如下：∵是小圆的切线，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，又为半径，∴是小圆的切线； （2）解：连接，如图所示： 在中，，，∴， ∵，为圆的半径，， ，∴，∵为大圆的直径，∴， 在中，． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，．(1)求的大小；(2)过点C作交的延长线于点F，若，，求此圆直径的长． 【答案】(1)；(2)圆的直径长是4． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，   ∴，∵     ， ∴    ， ∴，，∵四边形是圆内接四边形． ∴．∴； （2）∵，  ∴是圆的直径，∵，   ∴  ， ∴是等边三角形，∴，∴   ，   ∴ ， ∵，    ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴   ∴圆的直径长是4． 7．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．    (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴，∴，∴是等腰三角形； （2）解：作于M，交延长线于N，∴，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 8．（2025·江苏扬州·三模）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． (1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； (2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵，，∴，∵，∴， ∵，，，∴，∴； （2）解：如图，线段或， 在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则， 过点作的垂线，垂足为点，以为圆心，为半径画圆，连接， 取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为， 过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可， 由作图可得，由圆周角定理可得：，而， 由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即． 1．（24-25·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【详解】解：连接， 在和，PA，PB，分别切⊙O于点A，B，，， ，， ，是等边三角形， ，， 又，， ，，过点作，如下图 根据等腰三角形的性质，点为的中点，， 在中，设，则，， ，解得：，，，故选：A． 2．（2026·河南周口·校考二模）数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下： 利用尺规过圆外一点作圆的切线． 已知：如图（1），为⊙的切线，切点为A．求作：圆的另一条切线，切点为B．         下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题． (1)进步小组的作法：以点P为圆心，长为半径作弧，交⊙于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线．问题：①请你在图（2）中补全进步小组的作图痕迹． ②进步小组通过连接，，证明，他们证明两个三角形全等的依据为______（填“”“”或“”）． (2)希望小组的作法：如图（3），连接，作的垂直平分线m交于点M，以点M为圆心，长为半径作圆，交于点B（非点A），作直线，则直线即为所求作的切线． 问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程． 证明：连接，由作图知，是的※，∴，（理由：◎）即 又是的半径，∴为的切线．在上述证明过程中，※处应该填写______； ◎处应该填写______（填序号） ①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②90°的圆周角所对的弦是直径 ③直径所对的圆周角是直角；④同弧所对的圆周角相等 (3)拓展小组的作法：如图（4），连接交于点C，过点C作的垂线n，以点O为圆心，长为半径作弧，交直线n于点D，连接交于点B，作直线，则直线即为所求作的切线．问题：请你结合该组作图方案给出证明过程． 【答案】(1)①见解析；②(2)直径，③(3)见解析 【详解】（1）解：①补全图形如下：    ②连接，由作图可知：， 又，∴，故答案为：．    （2）证明：连接，由作图知，是的直径， ∴，（理由：直径所对的圆周角是直角）即 又是的半径，∴为的切线．故答案为：直径，③； （3）证明：由作图知，，， 在和中，，∴，∴． ∵，∴．∴，即，∴直线是的切线． 3（25-26九年级上·湖南长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．    (1)如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；(2)如图2，弦与弦交于点，，．①求证：，是⊙的等垂弦； ②连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【详解】（1）证明：∵，是的等垂弦，，， ∴，∴四边形是矩形，∵，是的等垂弦，∴， ∵，，∴，∴矩形是正方形； （2）①证明：连接，∵，，∴，∴，       ∵，∴∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴、是的等垂弦． ②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示： 由①得，，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，， ∵，∴垂直平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴垂直平分，∴， ∵，∴∴， ∵，∴∴，∴． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知四边形内接于，平分． (1)如图1，求证：(2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：∵平分，∴ 又∵，．∴，∴，∴． （2）解：如图：延长到，使，过作于点， ∵，，∴， ∵，，∴， 又∵，∴∴，， ∵，，，∴在中，， ∴，∴． 5．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．    (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2)． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴，∴，∴是等腰三角形； （2）解：作于M，交延长线于N，∴，    ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 6．（25-26江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．(1)求证：是半圆O的切线；(2)设，． ①写出y与x的关系式；②若，求阴影部分的面积．      【答案】(1)见解析(2)①；②． 【详解】（1）证明：连接，如图，         ∵射线是半圆O的切线，E点在半圆O上，∴，， ∵，，∴．∴，∴是半圆O的切线； （2）解：①过点D作于点F，如图，∵、是半圆O的两条切线，∴， ∵，∴四边形为矩形， ∴．∴，． 在中，∵，∴， ∴．∴y与x之间的函数关系式为； ②当时，∵，∴与重合，此时四边形为矩形， 连接，则四边形为正方形，如图，∴， ∴． 7．（24-25·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线： （1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点； （2）如图2，的两边与一圆交于，且． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用点、是优弧的三等分点，连接，，其交点为，即可得出答案； （2）利用，连接，，其交点为，即可得出答案． 【详解】解：（1）射线即为所求，如图： 证明：连接、，如图：∵的两边与一圆切于点，∴ ∵点，是优弧的三等分点∴ ∴在和中∴ ∴∴射线为的平分线； （2）射线即为所求，如图：证明：∵，， ∴∴，∴即 ∵，∴∴ ∴即 ∵∴∴射线为的平分线． 8．（24-25·江苏南京·九年级校考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点， ∵，∴，， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，∴，故答案为： （2）过作，作，垂足分别为、， ∴，，，， 又∵，∴，连接、、、， 在和中，， ∴，∴， 在和中，， ∴，∴，∴． 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．为直径 B． C． D． 【答案】C 【详解】A：，根据圆周角定理，的圆周角所对的弦是直径，为直径，A正确，不符合题意； B：由作图知平分，即．同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故，则，B正确，不符合题意； C：是直径，．若，则，但由已知条件无法推出，实际分析：所对的弧为，结合圆的性质，，C错误．符合题意； D：D正确，不符合题意，证明如下： 证明：延长至点E，使，连接， ，，， ，，，， 是直径，， ，是等腰直角三角形，，故选：C． 2．（24-25·天津和平·九年级专题练习）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，交于点， ∵在圆内接四边形在中，，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴；故答案为：． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)10． 【详解】（1）证明：平分，，弧弧，， 弧弧，，，； （2）证明：如图：弧弧，，且， ，， 且，为等边三角形； （3）解：如图：设，为等边三角形， ，弧弧，，， 弧弧，，弧弧，， ，，， ，， 在上截取，且，是等边二角形，， ，且， ，，． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中“爪形A”，弦，，称为“爪形A”的爪．    (1)如图2，四边形内接于，；①证明：圆中存在“爪形D”；②若，求证：．(2)如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若“爪形D”的爪之间满足，则 ． 【答案】(1)①见解析，②见解析(2) 【详解】（1）①证明：∵，， ，平分圆周角，∴圆中存在“爪形D”． ②如图所示，延长至点E，使得，连接，    ，，， 在和中，，，，， ，，，为等腰直角三角形， 由勾股定理得：，即，，． （2）解：延长至点E，使得，连接， ，，， 在和中，，，，， ，，，是等边三角形， ，．故答案为：． 5．（2025·广东肇庆·二模）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【答案】（1）（2）16（3） 【详解】解：（1）由旋转得，，，是等边三角形， ，，；故答案为：； （2）∵是的弦，且的半径为8， ∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ，∴的最大值是16； （3）∵，， ∴是的直径，且圆心在上，∴，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ，，，∵，∴， ∴、、三点在同一条直线上，∵， ∴， ∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ∴的最大值为，∴的最大值为， ∴周长的最大值是． 6．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等 垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或 【详解】（1）证明：根据题意，得，，，∴四边形是矩形， ∵，根据垂径定理，得∴四边形是正方形． （2）证明：∵，，∴， ∴，∴，∴； 连接，设，交点为G，∴， ∴，∴， ∴．∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F，根据题意，得，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴四边形是正方形，∴． ∵，设，， ∵，∴，∴，连接， ∵的直径为10，∴，根据勾股定理，得，∴， 解得（舍去），∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G，根据题意，得，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴四边形是正方形，∴． ∵，设，， ∵，∴，∴，连接， ∵的直径为10，∴，根据勾股定理，得，∴， 解得（舍去），∴．综上所述，或． 7．（2025·贵州遵义·校考一模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）； 拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)推理过程如下(2)(3) 【详解】（1）∵绕点顺时针旋转得到，∴，， ∴，，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． （2）绕点点顺时针得到，∴， ∴，，，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，∴． （3）∵绕点点逆时针得到，点在上，∴， ∵沿翻折得到，∴，∴， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵是圆的直径，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $