专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统梳理了费马点模型的知识体系，从模型来源、知识储备到证明过程，构建“基础费马点-加权费马点”递进框架，关联将军饮马、瓜豆原理等五大最值模型，形成完整几何最值脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，A组基础题巩固旋转构造，B组提升题结合矩形、菱形载体，C组压轴题融入中考真题，如正方形内三线段和最小值计算，培养推理意识与几何直观，助力分层教学与自主复习。

专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。费马点是旋转几何中专门处理三线段和最短的专属模型，承接手拉手旋转全等的思想，是几何变换思想的延伸。常以三角形、正方形、菱形、矩形为载体命题，难度中等偏上，是尖子生冲满分必备模型，一般多嵌套在几何综合压轴中。熟练掌握费马点后，能够完整构建初中几何最值体系：两线段和或差（将军饮马）、定距路径（遛马/造桥）、动点轨迹（瓜豆）、三线段和（费马点），五大最值模型全覆盖。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.费马点模型 2 模型2.加权费马点模型 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 26 C组（综合压轴题） 36 皮埃尔·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等． 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ 1）旋转的基本性质：旋转前后对应线段长度相等，对应角相等 2）等边三角形判定与性质：三边相等，三个内角均为 60° 3）几何公理：两点之间，线段最短 4）勾股定理、特殊直角三角形（30°、45°、60°）边长计算 掌握费马点判定条件、旋转构造逻辑，熟记两类三角形费马点位置，套用固定旋转模板快速求解三条线段和最小值，区分开费马点与将军饮马、瓜豆原理的适用场景。 模型1. 费马点模型 【模型提炼与证明】 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 【模型运用】 【典例1】（2025·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？(2)求证：；(3)①当M点在何处时，的值最小；②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)见解析 (3)①点M为的中点；②点M为与的交点时，的值最小，图及理由见解析 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下：如图①，∵绕点B逆时针旋转60°得到， ∴，∴是等边三角形； （2））证明：∵和都是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴； （3）解：①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，的值最小， ∵四边形是正方形，∴点M为的中点； ②当点M为与的交点时，的值最小，理由如下： 如图②，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， 由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，， 故点M为与的交点时，的值最小． 【典例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在等腰梯形中，，，为边上的中点，，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，,,,，如图，连接，    是等边三角形．．． 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， 过点作交的延长线于，， ，，，在中， ，．即的值为． 【典例3】（25-26八年级下·重庆·校考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 【答案】B 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF， ∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=30°，AC=2AB=， ∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴AE==.故选B． 【典例4】（2026·山东·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，，， 是等边三角形，是等边三角形，， 作于，交于．，，，， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值(cm)．故答案为：cm． 【典例5】（24-25八年级·广东·培优）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站，，则的最小值为 公里． 【答案】 【详解】如图，将绕A顺时针旋转得，连接、，将绕点D逆时针旋转得到，连接、， 由旋转得：，，，， ∴和是等边三角形，∴， 同理得：和是等边三角形，，， ∴当H、G、E、F、、M在同一条直线上时，有最小值，如图， ∵，，∴是和的垂直平分线， ∴，，则，四边形是矩形，∴公里， ∵，则，∴，同理 ∴， 则的最小值是公里．故答案为：． 【典例6】（2025·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，，， ，， ，，，， ，故答案为：； （2）如图，连接，将绕点C逆时针旋转得， ，，，∴是等边三角形，∴， ，当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E，，边长为， ，，， ，，， ，的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，∴都是等边三角形， ∴，∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G，在矩形中，，∴，∴，∴； ∵，∴四边形是矩形，∴，∴． 模型2.加权费马点模型 【模型提炼与证明】 【模型提炼与证明】 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·重庆·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．则． 由旋转的性质，得，．， 连接，当且仅当，，，四点共线时，取得最小值．过点作的延长线于点．，，， ，．，． ，．，， 即的最小值为．故答案为：． 【典例2】（2025·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴， ∵等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线时最小， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：A． 【典例3】（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 模型常见易错点 1）不判断内角大小，所有三角形一律强行旋转 60° 错误：遇到任意三角形都套用旋转构造，在钝角≥120° 的三角形中做无用功，计算繁琐且答案错误。 正解：第一步先观察三角形最大内角，≥120° 直接取钝角顶点，无需旋转。 2）旋转方向向内，导致线段无法共线拉直 错误：向三角形内部旋转 60°，折线段重叠，不能形成直线段，取不到最小值。 正解：固定规则 ——一律向三角形外侧旋转。 3）混淆费马点与将军饮马适用题型 将军饮马：两条线段和最小（两定一动）； 费马点：三条线段和最小（一定三线段共顶点），题型结构完全不同，盲目套用模型。 4）旋转后等量代换出错，无法把 PB 替换成 PP' 本质是不理解等边三角形的构造目的，只会机械背步骤，不会推导线段相等关系，大题书写过程扣分严重。 5）计算出最短线段后，不会利用勾股定理求值 旋转后得到的新三角形常为特殊直角三角形，学生不会拆解边长，最终只会构造，算不出最终数值。 解题方法总结 步骤 1）判定类型 观察三角形最大内角，若≥120°，费马点为钝角顶点，最小值 = 夹钝角的两边之和，直接作答。 步骤 2）标准型（三内角均＜120°） 选顶点：任选三角形一个顶点，确定旋转中心； 做旋转：将含两条线段的小三角形绕旋转中心向外旋转 60°； 构等边：证明旋转后产生的小三角形为等边三角形，完成(PB=PP')等量替换； 化直：将(PA+PB+PC)转化为首尾相连的折线段(PA+PP'+P'C')； 取最值：四点共线时最短，连接首尾两点得到最短线段； 计算：在新构造的三角形中，利用勾股定理/特殊三角形边长公式算出长度。 1.（2025·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如解图，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知，∴是等边三角形， ∴，∴， ∴当A､P､F､E四点共线时，的值最小，最小值为AE的长， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∴在中，．故答案是：． 2.（25-26·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE， 则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°， ∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE． 当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°， ∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=， ∴AE=2AH=．故答案为． 3．（2026·重庆·校考一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______． 解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°， ∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC， 当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝， ∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形， ∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝ 所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2． 4．（25-26·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)为与的交点．证明见解析(2)的最小值为：． 【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，， ∴，，∴为等边三角形，∴， ∵为等边三角形．∴，，∴， ∴，∴，∴， 当，，，四点共线时，如图， 此时最小，∴为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于， ∵正方形，等边三角形，，∴，，， ∴，∴，， ∴，∴的最小值为：． 5．（25-26·福建泉州·八年级校考期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)的最小值为5． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴ （2）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，∴，∴ ∵，∴， ∴，∴， （3）如图，将绕着点顺时针旋转得到，连接，    由旋转知，∴，，， ∵，，∴是等边三角形， ∴，∴ ∵当、、G、E四点共线时，的值最小，最小为，即的值最小值为， ∵在等边中，，，由翻折可知：，， ∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为5． 7．（25-26·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，． 由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值． (3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）. 【详解】解：（1）如图3中，将绕点逆时针旋转得到， ∴≌，∠CAE=PAF=60°，∴AE=AC=3，AF=AP，∴是等边三角形， ∵∠BAC=30°，∴，在中，， ，，的最小值为5．故答案为5． （2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴AF=AP，∠FAP=90°， ∴是等腰直角三角形，∴FP=，∵∠BAC=45°，∴，， 作交的延长线于．在中，，， ，在中， ，，的最小值为． （3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形， 作于，交于．， 易知，， ，，的最小值为． 1.（25-26·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、， 根据旋转的性质有：，，， 为等边三角形，同理为等边三角形， ，，， 当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F， 最小值为：，在矩形中，于点E， 即可知四边形是矩形，，即， 为等边三角形，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）（4） 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，∴，∴； （2）①由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，，∴，故答案为：； ②如图，当点P落到上，由折叠的性质可得，垂直平分，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴， 当点P落到上，连接，由折叠的性质可得，，，， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵点P在的内部，不含边，∴，故答案为：； （3）①当A、M、C不共线时，， ②当点A、M、C三点共线时，的值最小为， ∵，，∴是等腰直角三角形， ∴即最小值为； （4）如图，将绕点B逆时针旋转得到，∴，， 又∵，∴是等边三角形，∴，∴， ∴当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是， 过点作的延长线于点N，由旋转的性质得，，， ∴，∴，∴， ∴，∴, 即的最小值是，故答案为：． 3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【详解】（1）解：；理由如下：是等边三角形，， 四点在同一直线上，，， 由旋转得：，，； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时，最小， 此时，由旋转得：，， 是等边三角形，，，，， ，，， 在中，故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时，最小， 此时，由旋转得：，， ，设正方形的边长为，则有，， ，， 在中，，，解得：，（舍去）， ，故正方形的边长为． 4．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上．    (1)如图1， 连接， 若，求； (2)如图2， 若， 延长交于点N， 且， 求证： (3)如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)2(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中点， ∴，∴，∴， ∵是的中点，∴； （2）证明：如图，延长至点F，使，连接，    ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，，垂直平分， ∴，∴，∴，∴， ∵，，，∴，∴， 在和中，∵，，，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴； （3）解：如图，取的中点K，则， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则，    ∴，，，是等边三角形， ∴，∴， 即当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长， 在中，，即的最小值为． 5．（25-26·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 【答案】（1），，；（2），. 【详解】解：（1）如图1，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵四边形是正方形∴∵点，∴， 过作于∴∵将绕点逆时针旋转得到， ∴∴ ∵∴点纵坐标的取值范围是 故答案为：，， （2）如图所示，连接，过作，交的延长线于， 由旋转可得，，，∴是等边三角形，∴ ∵是等边三角形∴∴∴≌（） ∴∴ ∴当，，，在同一直线上时，的最小值是的长， 又∵，∴∴中， ∴∴ ∴中， ∴的最小值为 6．（2026·河南·校考一模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题： 如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）         【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．         （2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3）的最小值为． 【详解】解：（1）点O的位置如图所示，       （2）将绕点B顺时针旋转至处，连接，如图所示： 则，，，，，， ∴是等边三角形，∴， 由【问题探索】知点的最小值即为点共线时线段的长， ∴，∴， ∵，∴四点共线， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，∴ ， 在中，由勾股定理得：，∴的最小值为； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，，    ∴、是等边三角形，∴，， ∴在同一直线上时，， 当时，的最小值为的长，记与交于点H，则， ∴，∴，∴，∴的最小值为． 7．（2026·陕西咸阳·二模）问题提出(1)如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′.则BB′＝____； 问题探究(2)如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q.①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA＋PB＋PC的最小值； 问题解决(3)如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上(含B，C两点)开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留整数) 【答案】发现问题：3；问题探究：（1）证明参见解析；（2）12；实际应用：M建在BC中点（BM=400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）万元． 解析：发现问题：由旋转角度可知∠BOB′=90°，OB=OB'=3，根据勾股定理得，BB′=3；问题探究：（1）∵△BDC是等边三角形，∴CD=CB，∠DCB=60°，由旋转得，∠PCQ=60°，PC=QC，∴∠DCQ=∠BCP，在△DCQ和△BCP中，∴△DCQ≌△BCP；（2）如图1，连接PQ， ∵PC=CQ，∠PCQ=60°∴△CPQ是等边三角形，∴PQ=PC，由（1）有，DQ=PB，∴PA+PB+PC=AP+PQ+QD，由两点之间线段最短得，AP+PQ+QD≥AD，∴PA+PB+PC≥AD，∴当点A，P，Q，D在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值为AD的长，作DE⊥AB，∵△ABC为边长是4的等边三角形，∴CB=AC=4，∠BCA=60°，∴CD=CB=4，∠DCE=60°，∴DE=6，∠DAE=∠ADC=30°，∴AD=12，即：PA+PB+PC的最小值为12；实际应用：如图2，连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′M，∵M在BC上，∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，设D′M交AD于E，∵△ADD′是等边三角形，∴EM=AB=500，∴BM=400，PM=EM﹣PE=500﹣，∴D′E=AD=400，∴D′M=400+500，∴最少费用为10000×（400+500）=1000000（4+5）万元；∴M建在BC中点（BM=400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）万元． 8．（2026·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在内部，且满足时花费最少，最少费用为元 【详解】解：任务一：如图，由旋转得：，∴是等边三角形，∴， ∵，∴；    任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小， 研发区E建在内的区域比较合适，故选：A； （3）如图， 把绕点B逆时针旋转60度得到，则 ， 连接，为等边三角形，， 绕点B逆时针旋转60度得到，， ，， 当且仅当在上时，的值为最小，为， 此时，点E在内部，且满足， 过点作，交延长线于点H， 在中，，，， 在中，， 最小值为，此时费用为元．    1．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作交于点， 由题意得：，， 点在与平行，且距离为2的直线上运动，将绕点逆时针旋转得，连接， 则是等边三角形，，， 当、、、共线，且时，最小，其值为的长， 设交于点，，，， ，最小值为，故答案为：． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 【答案】(1)(2)的最小值为，此时(3) 【详解】（1）解：依题意，如图2中， 将绕点顺时针旋转，得到，， ，，，， ，． 在中，，，，， 即的最小值为． （2）解：如图3中，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点． 将绕点顺时针旋转，得到，， ，，是等边三角形，，． 菱形中，，， ，，同理，，． 连接，交于点，则．在中，，，， ，，， ．的最小值为，此时． （3）解：如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米，千米，，， ，（千米），（千米），， ∵运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，∴千米，， ，，的最小值为2千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 3.（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24(2)见解析(3) 【详解】（1）解：设，则， ∵中，，∴，即解得（负值舍去） ∴，∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵，∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示：∵，∴， ∴，根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∴即的最小值为． 4.（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图：由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 5.（25-26八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)5(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过作的延长线于，   图3 ∴，∴，设，则， 由勾股定理得，， 解得，，∴， 由勾股定理得，，即，解得，，∴的长为5； （2）证明：如图2，过作交的延长线于，在上截取，使， ∴，∴，由勾股定理得，， ∵，，，∴， ∴，，∴，∵，∴， ∵，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接， ∴，，∴， 由勾股定理得，，∵， ∴，∴，∴， ∴当四点共线时，最小，即最小，为， 如图3，过作的延长线于，∵，，∴， ∴，，∴，∴， 由勾股定理得，，， 解得，，∴，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）阅读材料：如图①，在中，，是等边三角形，为内任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．①的形状是 ；②是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地建设口袋公园，四个顶点、、、为公园入口，公园内有两个凉亭、，为方便市民散步，需修建健身步道连接、、、、．为节约建设成本，应将、修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？ 【答案】（1）①等边三角形②存在，，理由见详解（2）、修建在线段的垂直平分线上，最短距离为米 【详解】解：（1）①∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，∴是等边三角形，故答案为：等边三角形； ②的存在最小值为，理由如下： ∵是等边三角形，∴,， 在与中， ∵是等边三角形，∴， 当点在同一条直线上的时候，的值最小，即为的长， 如图所示，过点作交的延长线于点，,， 由勾股定理得，，， 由勾股定理得，∴的最小值为； （2）如图，分别以线段为边作等边三角形和等边三角形， 将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到， 则都为等边三角形，∴， 同（1）②中的思路可证，∴， 即当在同一条直线上的时候，值最小， 此时，直线为线段的垂直平分线， 由正方形的性质和等边三角形的性质可得， ∴， 所以，应将、修建在线段的垂直平分线上，最短距离为米． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。费马点是旋转几何中专门处理三线段和最短的专属模型，承接手拉手旋转全等的思想，是几何变换思想的延伸。常以三角形、正方形、菱形、矩形为载体命题，难度中等偏上，是尖子生冲满分必备模型，一般多嵌套在几何综合压轴中。熟练掌握费马点后，能够完整构建初中几何最值体系：两线段和或差（将军饮马）、定距路径（遛马/造桥）、动点轨迹（瓜豆）、三线段和（费马点），五大最值模型全覆盖。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.费马点模型 2 模型2.加权费马点模型 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 26 C组（综合压轴题） 36 皮埃尔·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等． 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ 1）旋转的基本性质：旋转前后对应线段长度相等，对应角相等 2）等边三角形判定与性质：三边相等，三个内角均为 60° 3）几何公理：两点之间，线段最短 4）勾股定理、特殊直角三角形（30°、45°、60°）边长计算 掌握费马点判定条件、旋转构造逻辑，熟记两类三角形费马点位置，套用固定旋转模板快速求解三条线段和最小值，区分开费马点与将军饮马、瓜豆原理的适用场景。 模型1. 费马点模型 【模型提炼与证明】 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 【模型运用】 【典例1】（2025·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？(2)求证：；(3)①当M点在何处时，的值最小；②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 【典例2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在等腰梯形中，，，为边上的中点，，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·重庆·校考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 【典例4】（2026·山东·模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【典例5】（24-25八年级·广东·培优）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站，，则的最小值为 公里． 【典例6】（2025·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 模型2.加权费马点模型 【模型提炼与证明】 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·重庆·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【典例2】（2025·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【典例3】（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 模型常见易错点 1）不判断内角大小，所有三角形一律强行旋转 60° 错误：遇到任意三角形都套用旋转构造，在钝角≥120° 的三角形中做无用功，计算繁琐且答案错误。 正解：第一步先观察三角形最大内角，≥120° 直接取钝角顶点，无需旋转。 2）旋转方向向内，导致线段无法共线拉直 错误：向三角形内部旋转 60°，折线段重叠，不能形成直线段，取不到最小值。 正解：固定规则 ——一律向三角形外侧旋转。 3）混淆费马点与将军饮马适用题型 将军饮马：两条线段和最小（两定一动）； 费马点：三条线段和最小（一定三线段共顶点），题型结构完全不同，盲目套用模型。 4）旋转后等量代换出错，无法把 PB 替换成 PP' 本质是不理解等边三角形的构造目的，只会机械背步骤，不会推导线段相等关系，大题书写过程扣分严重。 5）计算出最短线段后，不会利用勾股定理求值 旋转后得到的新三角形常为特殊直角三角形，学生不会拆解边长，最终只会构造，算不出最终数值。 解题方法总结 步骤 1）判定类型 观察三角形最大内角，若≥120°，费马点为钝角顶点，最小值 = 夹钝角的两边之和，直接作答。 步骤 2）标准型（三内角均＜120°） 选顶点：任选三角形一个顶点，确定旋转中心； 做旋转：将含两条线段的小三角形绕旋转中心向外旋转 60°； 构等边：证明旋转后产生的小三角形为等边三角形，完成(PB=PP')等量替换； 化直：将(PA+PB+PC)转化为首尾相连的折线段(PA+PP'+P'C')； 取最值：四点共线时最短，连接首尾两点得到最短线段； 计算：在新构造的三角形中，利用勾股定理/特殊三角形边长公式算出长度。 1.（2025·四川自贡·一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ． 2.（25-26·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 3．（2026·重庆·校考一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______． 4．（25-26·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 5．（25-26·福建泉州·八年级校考期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 7．（25-26·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，． 由，，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________． (2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值． (3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值． 1.（25-26·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 4．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上．    (1)如图1， 连接， 若，求； (2)如图2， 若， 延长交于点N， 且， 求证： (3)如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 5．（25-26·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 6．（2026·河南·校考一模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题： 如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）         【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．         （2）【类比探究】如图5，在中，，点P为内一点，连接，求的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值． 7．（2026·陕西咸阳·二模）问题提出(1)如图①，已知△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B′，连接BB′.则BB′＝____； 问题探究(2)如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q.①求证：△DCQ≌△BCP；②求PA＋PB＋PC的最小值； 问题解决(3)如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上(含B，C两点)开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？(结果保留整数) 8．（2026·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 1．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）如图，矩形中，，，点是矩形内一个动点，且满足，点是内一个点，则的最小值为 ． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 3.（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积；(2)求证：；(3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 4.（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 5.（25-26八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）（1）阅读材料：如图①，在中，，是等边三角形，为内任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．①的形状是 ；②是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地建设口袋公园，四个顶点、、、为公园入口，公园内有两个凉亭、，为方便市民散步，需修建健身步道连接、、、、．为节约建设成本，应将、修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $