2.1.1 认识一元二次方程 教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该教案聚焦一元二次方程的概念及一般形式，通过回顾方程、一元一次方程等旧知，类比引出新知，搭建从已学方程到一元二次方程的学习支架，梳理知识脉络。 以地毯铺设、连续整数平方和、梯子滑动等现实问题为载体，引导学生抽象出方程模型，培养抽象能力（数学眼光），通过对比思考总结概念，发展推理意识（数学思维），分层作业巩固模型应用（数学语言）。助力学生理解概念与建模，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

分课时教学设计 《2.1.1 认识一元二次方程(1) 》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 掌握一元二次方程的概念和一般形式。经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型。 学习者分析 根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数。 教学目标 1.理解一元二次方程的概念，会判断一元二次方程。 2.会将一元二次方程化为它的一般形式，并能指出二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。 教学重点 掌握一元二次方程的概念和一般形式。 教学难点 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 1. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 2. 什么叫一元一次方程？ 想一想：什么是一元二次方程呢？ 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。  活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，进行探索。回顾一元一次方程概念，类比学习一元二次方程。 环节二：新知探究 探究点：一元二次方程的相关概念 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同．如果设所求的宽为x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为　（8－2x） m　，宽为　（5－2x）m　，根据题意，可得方程：　（8－2x）（5－2x）=18①　。 问题2：观察下面等式：102＋112＋122=132＋142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：　x＋1　，　x＋2　，　x＋3　，　x＋4　．根据题意，可得方程：　x2＋（x＋1）2＋（x＋2）2=（x＋3）2＋（x＋4）2②　。 问题3：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　6　m．如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　（x＋6）　m，根据题意，可得方程：　（x＋6）2＋72=102③　。 思考1：方程①②③都不是一元一次方程．那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 未知数的最高次数是2.共同特点：它们都是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程。 概念引入：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 思考2：为什么一般形式ax2＋bx＋c=0中要限制a≠0？b，c可以为0吗？与同伴交流。 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。 学生自主解答，教师适时的进行提示 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型。 环节三：典例精析 　例：把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 x²=-2x+6； 4-3x²=0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1)²+3x=4x² 解：1，2，-6 3，0，-4 4，-5，0 3，-1，-1 学生活动3： 参与教师分析和讲例题．巩固对特殊平行四边形的对称性的理解。 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，会将一元二次方程化为它的一般形式，并能指出二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.方程x2−2(3x−2)=0的一般形式是 ( ) A.x2−5x+4=0 B.x2−6x+4=0 C.x2−6x−4=0 D.x2+4=0 选做题： 2.下列方程：① x2+y－6=0；② x2+1/x=2；③ x2－x－2=0；④ 2x2－3x=2(x2－2)，其中是一元二次方程的_______(填序号)。 【综合拓展类作业】 3.把方程(3x+2)²=4(x-3)²化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 课堂总结 课堂小结，自我完善 理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数； 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型； 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题。 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如果方程(m−3)xm2−7−x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对 选做题： 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。 【综合拓展类作业】 3. 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x (cm) 应满足的方程（其中 π 取 3）。 答案： 【课堂练习】 1.B 2.③ 3. 解：原方程可化为5x²+36x-32=0， 这时二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32。 【作业设计】 1. C 2.解：(1)设正方形的边长为x,根据题意，得4x2=25,一般形式为4x2-25=0。 (2)设矩形的长为x,根据题意，得x（x-2）=100，一般形式为x2-2x-100=0 （3）设较短一段的长为x,根据题意，得x=（1-x）2，一般形式为x2-3x+1=0 3.解：由挖去的圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 根据题意，得 整理，得 教学反思 经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，根据实际问题列出一元二次方程。理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题。 学科网（北京）股份有限公司 $