专题04 认识一元二次方程（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦“认识一元二次方程”核心知识点，系统梳理定义（三大条件：整式方程、一个未知数、最高次数2且二次项系数不为0）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）、根的含义（代入检验法）及解的估算（夹逼思想），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过典例与变式结合、分层训练设计，培养学生抽象能力（如辨析方程是否为一元二次方程）、推理意识（由根求参数值）和模型意识（实际问题列方程）。课中助力教师系统授课，课后帮助学生强化练习，有效查漏补缺。

专题04 认识一元二次方程 1、理解一元二次方程定义，准确识别一元二次方程，掌握一元二次方程一般形式，分清二次项、一次项与常数项。 2、能够根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程，体会方程模型思想。 3、理解一元二次方程根的含义，会检验数值是否为方程的根。 4、关注二次项系数不为 0 这一隐含条件，规避概念类常见易错问题。 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 构成一元二次方程的三大条件: ①整式方程 方程两边的分母中不能含有未知数 ②只含一个未知数 方程中只有一个未知数（一元） ③最高次数为2 整理后未知数的最高次数是2，且二次项系数不能为0 【注意】含有分母且分母中有未知数的方程（如）不是整式方程，不是一元二次方程； 方程必须整理化简后再判断最高次数，不能只看表面形式。 2.一般形式的定义 一元二次方程都可以化成以下形式： 其中 称为一元二次方程的一般形式。 各项名称与系数 名称 表达式 说明 二次项 次数最高的项 二次项系数 a ≠ 0 一次项 / 一次项系数 / 常数项 / 【注意】一般形式中，方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数的降幂排列，方程右边为0。 3. 一元二次方程的解（根）: 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断方法——代入检验法:将未知数的值代入方程左右两边，若两边相等，则该值就是方程的根。 解的特点:一元二次方程的解可能不止一个。。 4. 估算一元二次方程的解（近似解） 估算方法——“夹逼”思想:估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，逐步缩小范围，逼近真实解。 估算步骤: （1） 根据实际问题的实际意义，确定未知数的大致范围（如宽度不能为负）； （2） 在这一范围内取一些值代入方程，计算代数式的值； （3） 观察代数式的值何时接近0，逐步缩小范围； （4） 确定解的整数部分和十分位（或更精确的近似值）。 题型01一元二次方程的定义 【典例】下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【变式】一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 题型02化成一元二次方程的一般式 【典例】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】把方程化为一般形式是__________． 题型03由一元二次方程的定义求参数 【典例】（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【变式】已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 题型04判断是否是一元二次方程的解 【典例】关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式】若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 题型05由一元二次方程的解求参数 【典例】定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【变式】已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 题型06一元二次方程的解的估算 【典例】小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少           3                          【变式】阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【巩固训练】 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 4．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 5．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 6．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 8．已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 9．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 10．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 11．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 12．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 13．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 15．在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 16．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 17．关于x 的一元二次方程的一个根是 ，且a，b 满足，用配方法解关于y的方程. 18．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 19．阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 20．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值． 21．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 【强化训练】 1．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 2．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 3．已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 和 4．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 5．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 6．等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为______． 7．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 8．抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 9．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 10．我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 11．先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 12．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 13．材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． (1)将函数拆分成整式与真分式的和的形式； (2)若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； (3)若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 14．阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 认识一元二次方程 1、理解一元二次方程定义，准确识别一元二次方程，掌握一元二次方程一般形式，分清二次项、一次项与常数项。 2、能够根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程，体会方程模型思想。 3、理解一元二次方程根的含义，会检验数值是否为方程的根。 4、关注二次项系数不为 0 这一隐含条件，规避概念类常见易错问题。 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 构成一元二次方程的三大条件: ①整式方程 方程两边的分母中不能含有未知数 ②只含一个未知数 方程中只有一个未知数（一元） ③最高次数为2 整理后未知数的最高次数是2，且二次项系数不能为0 【注意】含有分母且分母中有未知数的方程（如）不是整式方程，不是一元二次方程； 方程必须整理化简后再判断最高次数，不能只看表面形式。 2.一般形式的定义 一般形式的定义 一元二次方程都可以化成以下形式： 其中 称为一元二次方程的一般形式。 各项名称与系数 名称 表达式 说明 二次项 次数最高的项 二次项系数 a ≠ 0 一次项 一次项系数 常数项 【注意】一般形式中，方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数的降幂排列，方程右边为0。 3. 一元二次方程的解（根）: 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 判断方法——代入检验法:将未知数的值代入方程左右两边，若两边相等，则该值就是方程的根。 解的特点:一元二次方程的解可能不止一个。。 4. 估算一元二次方程的解（近似解） 估算方法——“夹逼”思想:估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，逐步缩小范围，逼近真实解。 估算步骤: （1） 根据实际问题的实际意义，确定未知数的大致范围（如宽度不能为负）； （2） 在这一范围内取一些值代入方程，计算代数式的值； （3） 观察代数式的值何时接近0，逐步缩小范围； （4） 确定解的整数部分和十分位（或更精确的近似值）。 题型01一元二次方程的定义 【典例】下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 【变式】一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 题型02化成一元二次方程的一般式 【典例】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 【变式】把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 题型03由一元二次方程的定义求参数 【典例】（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 【变式】已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 题型04判断是否是一元二次方程的解 【典例】关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 【变式】若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 题型05由一元二次方程的解求参数 【典例】定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 【变式】已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 题型06一元二次方程的解的估算 【典例】小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【变式】阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【巩固训练】 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 4．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（     ） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 5．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 6．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程转化为二次函数与直线交点问题，利用二次函数图像性质判断根的范围即可． 【详解】解：设二次函数， 由于二次项系数为，且， 则抛物线开口向上，与轴交于，两点， 原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标， 由于，则抛物线开口向上， 如图： 则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧， 即得到． 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的情况与判别式关系，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，且． 8．已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据a是方程的一个根，得出，从而得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 9．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式性质求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式大于等于0，解不等式即可得到k的取值范围. 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即，得. ∵原方程有实数根， ∴根的判别式， 即， 化简得， 整理得， 解得. 综上，的取值范围是且． 10．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 11．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 12．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 13．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 15．在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 16．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 17．关于x 的一元二次方程的一个根是 ，且a，b 满足，用配方法解关于y的方程. 【答案】， 【分析】根据方程的根的定义得到，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再利用配方法解方程即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，. 18．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 19．阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 20．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的根的定义． （1）利用一元二次方程根的判别式，列出关于m的不等式，求解m的取值范围； （2）将代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解该方程得到m的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：由题意知，将代入方程中得， 解得，， 经检验，，均满足． 21．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 【答案】(1) 证明： ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴为非负数； (2) 解：该一元二次方程没有整数解，理由如下： 设关于x的一元二次方程的整数解为， 则 移项得 ∵为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数． ①若为奇数，则为奇数， ∵为奇数，为奇数， ∴为奇数，为奇数， ∴奇数－奇数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意； ②若为偶数，则为偶数， ∵为奇数，为奇数， ∴为偶数，为偶数， ∴偶数－偶数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意． 综上，无论为奇数或偶数都矛盾，故该一元二次方程没有整数解． 【分析】此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． （1） 根据一元二次方程有实数根的性质，利用根的判别式即可证明结论． （2）假设方程有整数解，将其代入方程，结合奇数与偶数的运算性质，分情况讨论推导矛盾，进而判断方程是否有整数解． 【详解】（1）略 （2）略 【强化训练】 1．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 2．已知实数a、b、c满足，且，则（     ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】通过换元将已知等式整理为关于的一元二次方程，利用因式分解得到根的关系，再将所求代数式变形后代入化简计算． 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 3．已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】当时，；当时，，；当时，在中，则，即，且；在中，结合题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，，均为绝对值不超过2的整数， ∴，，可能的值为， ∵为自然数，为中所有项的指数和， ∴， 当时，即， ∴，， 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； ∴，故①错误； 当时，即， ∴，， ∵恒成立， ∴，且， ，，共3种情况； ，，共3种情况； ∴，即共有6种情况，故②错误； 当时，即， ∵， ∴， 当，且时， 则，即， ∴的值可以是或，共有2种情况； 的值可以是或，共有2种情况； 当，且，时， 三个数的值的组合方式有： 和 共有10种情况； ∴种情况，故③正确； 综上所述，正确的个数为1， 故选：B ． 4．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 5．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 6．等腰的一边长为，另外两边的长恰好是方程的两个根，则的值为______． 【答案】或 【分析】分两类讨论，当是方程的根，则，计算得，经检验符合题意；当不是方程的根，则原方程有两个相等的实根，即，解得，经检验符合题意． 【详解】解：设方程的两根为和， ∵是等腰三角形， ∴或或， ①当或时， ∵为方程的根， ∴，解得， ∴原方程为， 解得或， 此时的三边长为，，，符合题意； ②当时， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得， 此时的三边长为，，，符合题意； 综上所述，的值为或． 7．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 8．抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点的坐标，一元二次方程的解，掌握函数与x轴交点的坐标的求法，以及通过判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键． （1）通过求抛物线与x轴的交点坐标，计算两点距离． （2）利用三角形面积公式得出点P的纵坐标绝对值为2，代入解析式得到两个方程，根据点P个数要求，令其中一个一元二次方程判别式为零求解． 【详解】解：（1）抛物线 与x轴交于点A和点B，令，得或， 故， 所以． （2）的底边，面积为4，设点P到的垂直距离为h， ，解得， 在x轴上， 为点P纵坐标的绝对值，即， 解得或， 根据题意，可知点P在抛物线上，代入函数解析式得方程： 和 ，每个都是关于x的二次方程，最多有2个解， 满足条件的点P恰好有3个， 其中一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不等实根， 方程一，即 ， 判别式 ， 方程二，即， 判别式 令，得， 解得（舍去）或， 此时，符合条件， 令 ，得，解得（舍去）或， 此时，符合条件， 故． 故答案为：4，． 9．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是_________________（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 10．我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 【答案】 【分析】（1）数集A，B相等，元素完全相同，且x，y为非负数，故，．结合，分情况讨论：若且，代入解得，此时；若且，解得，与非负矛盾，舍去，进而即可得到解答； （2）数集A，B均含元素，．分两种有效情况：①（同（1），符合互异性）；②，，此时、，也满足条件，得．则可求出所有可能值的和． 【详解】解：∵， ∴与的元素完全相同， ∵有意义， ∴， （1）∵为非负数， ∴， ∴，， ①当，时，则， 将代入得， 解得， ∵， ∴，符合条件，此时； ②当，时，则， 将代入， 得 ∴，与非负矛盾，舍去； 综上所述，； （2）∵含元素， ∴必有一个元素为， 当时，则，中有两个相等元素，违反互异性，舍去； 当时，①，，由得， 同（1）可得符合条件的解，故是有效解； ②，， 将代入得，，， 此时，不成立，舍去； 当时，则， ①，，则， 将代入得，， 此时，，符合互异性， ∴是有效解； ②，， 将代入得，矛盾，舍去； 综上所述，的所有可能值为和， ∴所有可能值的和为． 11．先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 化简结果为，值为 【分析】（1）利用方程的解的定义得到，整体代入化简式即可； （2）约分后得到最简式，再代入的值计算即可； 【详解】（1）解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 12．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 13．材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． (1)将函数拆分成整式与真分式的和的形式； (2)若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； (3)若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)的值为、、 (3)的最小值为5 【分析】本题考查了分式的混合运算、一元二次方程和完全平方公式的运用，理解题意是解决本题的关键． （1）按照题意进行拆分即可； （2）联立两个函数解析式并进行分类讨论求解即可； （3）将点代入可得，，将两者进行相加进行化简并结合完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：根据题意得， ， 当时， 解得， 则仅有一个交点，符合条件； 当时， 方程为一元二次方程，在中，， ， 令，此时仅有一个交点， ∴， 解得， 综上所述，的值为、、； （3）解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 14．阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 【答案】(1)； (2) 解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； (3) 证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系． （1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可； （2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可； （3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立． 【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）略 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $