专题03 反比例函数中k的几何意义（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“点线垂直数量+K值符号”为维度构建题型体系，通过分层训练深化反比例函数k的几何意义应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6题型18题|一点一垂直用|k|/2，两点两垂直算面积差，同异号K值结合平行性质转化|从单一点垂直到两点综合，从K值同号到异号，构建“基础应用-变式拓展”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|15题（选择5+填空5+解答5）|结合函数图像对称性、矩形性质综合计算，通过动态问题提升迁移能力|融合函数与几何知识，体现“概念理解-技能应用-综合创新”的思维进阶|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3反比例函数中k的几何意义 内容概览 目常考题型精准突破 题型1一点一垂直求三角形的面积（重） 题型2一点两垂直求阴影部分的面积（重） 题型3两点一垂直求阴影部分的面积（重） 题型4两点两垂直求阴影部分的面积（高频） 题型5同号K值一平行求阴影部分的面积（难） 题型6异号K值一平行求阴影部分的面积（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1一点一垂直求阴影部分的面积 1.3 2.3 3.12 ◆题型2一点两垂直求阴影部分的面积 4.6 5.20 6.8 ◆题型3两点一垂直求阴影部分的面积 7.6 8.6 9.12 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4两点两垂直求阴影部分的面积 10.12 11.-2k 12.8 ◆题型5同号K值一平行求阴影部分的面积 13.4 14.3 15.6 ◆题型6异号K值一平行求阴影部分的面积 16.6 17.4 18.1.5 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 二、填空题 6.3 7.1.5 8.-2 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2n 9.n+1 10.①④ 三、解答题 11. 【答案】①y=2 (2)7 【详解】（山解：将点42代入y-上得：2- 1 解得：k=2, :双曲线的解析式为y= x (2)解：连接OB,设AB与y轴交于点D, YA V D 四边形 为平行四边形，点C在x轴上， AOCB AB∥y轴， 2 5 点A和点B分别在双曲线y=和V= x上， 5 .S△BOD= 2’S4oD=1, 17 5 ∴.S△AOB=S△BOD+SAAOD= 2 2 .SDA0cB=2S△A0B=2× 7 2 =7. 12. 【答案】①y= 2 (2)4 【详解】(1)解：~AB⊥x轴于点A(-2,0), ∴点B的横坐标为-2， 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 将x=-2代入y=2x,得y= .B(-2,-1) 将8(2-)代入)-会得=2x)=2. 故反比例函数的解析式为y= x (2)解：直线y=2x与双曲线y=均关于原点对称， 2 ∴它们的交点B,D关于原点对称， ..OB=OD,OA=OC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 树的几何意义可知Sm=1, ∴.S四边形ABCD=4S△MOB=4。 13. 【答案】(1)= 12 (2)y= x’ON=5 【详解】(1)解：设反比例函数的解析式为y=二 =x（k≠0)， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，图中两处矩形阴影的面积S=S,=k, (2)解：设反比例函数的解析式为y=x(k≠0)， :反比例函数少=x的图象过点P(6,2): =6,解得k=12: 二反比例函数的解析式为y= x 〔12 V= 解方程组 x,得x=3 y=4 y=4 .N(3,4), 418 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0N=V32+42=5. 14. 2025 【答案】(4)2026 、2025 (②1013 6075 (3)2026 2025.n (42026 【详解】(1)解：B,B,,,6的横坐标依次为1,2,3，，2026， .阴影矩形的一边长都为1， 记DLy轴于点D,PC⊥x轴于点C,B6A⊥y轴于点A,且交PC于点B,如图所示： P P Ps B… P2026 1C2345 2026元 将面积为S2,S,,S2的矩形向左平移到面积为S的矩形的下方，则S+S,+S++S,m=S矩彩0， 当=1时.把=2026代入得y=26 -2026,六SE形01c=0A:0C= 2026,即0A=1 1 2026 根据反比例函数中k的几何意义可知S矩彩ocRD=1, 12025 ∴.S1+S2+S3+…+S2024+S2025=1- 20262026' 2025 故答案为： 20269 G2解：同理当6=2时，把2026代入y名 ,得y=2026,即O1 2026 2 ∴S矩形O4BC=OA:OC= 2026, 根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形oCD=2, 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22025×240502025 ∴.S1+S2+S3+…+S2024+S2025=2- 2026202620261013, 2025 故答案为： 1013 3 (3)解：当k-3时，把x=2026代入)-，得y=206,即01=2026 3 3 ∴.SE影o1c=0A.0C=2026,根据反比例函数中k的几何意义可知Se形oc0=3, +5+S++S4+S=3-,3=2025×3_6075 202620262026’ 6075 故答案为： 2026: ④解：当k=n时，把=2026代入y=2, 2026,即0A=、 ,得y=、 2026 OC=04.OC= 2026, 根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形ocRD=n, .S1+S2+S3+…+S2024+S2025=n- n_2025.n 20262026’ 2025.n 故答案为： 2026· 15. 【答案】(1)4,6 (2)6 0 (3)m-n=20或3 【详解1（山）解，点4,8分别在反比例同数y-子和y-立的图象上，因边形0心和OB部是矩 2 形， .S矩形HB0C=2,S矩形BEP0=4, .S矩形ABFc=2+4=6； (2)解：如图4，过A,B,C,D四点分别作AE、BF、CG、DH⊥x轴于点E,F,G,H,设AB, CD分别与y轴交于N,M, 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M EH G 图4 ∴.四边形ANOE,BNOF,，CMOG,DMOH均为矩形，且S矩形OE+S矩形BoF=S矩形CMoG+S矩形DMOH=a-b .'AB.BF =CD.CG. 设CG为h,而AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5， ∴.BF=5-h, .2h=3(5-h), 解得：h=3, 、.S矩形cwoG+S矩形DMOH=a-b=2×3=6: (3)解：分别延长BA,CD交y轴于M,N,过点A,B,C,D作AE,BF,CG,DH⊥x轴于点E,F,G,H,则 四边形AMOE,BMOF,DNOH,CNOG都为矩形，且S矩形AMOE=n,S矩形BMOr=m，S矩形DNOH=n, SE形CwoG=m， 设AE=h, 如图， O EGF衣 当CD在AB的上方时，而AB∥CD∥x轴，AB和CD间的距离为12， .DH=h+12. 5 69 m-n=5h 3 h+12) m-n= 6 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-n=20 解得： h=12, 如图，当CD在AB的下方时，而AB∥CD∥x轴，AB和CD间的距离为12， y个 B M-- HG HH O E ∴CG=12-h, m-n=-h 3 20 同理可得： ,解得： m-n= 5 3 m-n=二(12-h 6 h=4 20 综上：m-n=20或3· 8/8 专题03 反比例函数中k的几何意义 常考题型·精准突破 题型1 一点一垂直求三角形的面积（重） 题型2 一点两垂直求阴影部分的面积（重） 题型3 两点一垂直求阴影部分的面积（重） 题型4 两点两垂直求阴影部分的面积（高频） 题型5 同号K值一平行求阴影部分的面积（难） 题型6 异号K值一平行求阴影部分的面积（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一点一垂直求阴影部分的面积 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是________． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 3．（2026·广西贵港·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． ◆题型2 一点两垂直求阴影部分的面积 4．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数如图，则矩形的面积是________． 5．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 6．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为_____． ◆题型3 两点一垂直求阴影部分的面积 7．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，则的面积为________． 8．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点对称，过点A作轴于点C，连接，．则的面积是________．    9．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为______． ◆题型4 两点两垂直求阴影部分的面积 10．（24-25九年级上·广东茂名·阶段检测）如图，双曲线解析式为，则阴影的面积为________． 11．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 12．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． ◆题型5 同号K值一平行求阴影部分的面积 13．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 14．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 15．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． ◆题型6 异号K值一平行求阴影部分的面积 16．（25-26九年级上·全国·期末）如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 17．（25-26九年级上·全国·期末）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若C为x轴上任意一点，连接，，则的面积为___． 18．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为_____． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 3．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 4．（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等；    ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形；    ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．④③ 5．（2026·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 二、填空题 6．（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 9．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 10．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 三、解答题 11．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 12．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，直线与双曲线交于B，D两点，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接，，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 13．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点N，点Q在反比例函数第三象限的图象上． (1)记图中两处矩形阴影的面积分别为、，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)求反比例函数的解析式，并求的长． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 15．（25-26九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数中k的几何意义 常考题型·精准突破 题型1 一点一垂直求三角形的面积（重） 题型2 一点两垂直求阴影部分的面积（重） 题型3 两点一垂直求阴影部分的面积（重） 题型4 两点两垂直求阴影部分的面积（高频） 题型5 同号K值一平行求阴影部分的面积（难） 题型6 异号K值一平行求阴影部分的面积（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一点一垂直求阴影部分的面积 1．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，依此解答即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：3． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上的点，轴交轴于点，点为轴上任意一点，连接，，则的面积为________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴． 3．（2026·广西贵港·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． 【答案】 【分析】过点、点作轴的垂线，垂足为，则，得出，设，则，根据反比例函数的解析式表示出， ，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∵是的中线， ∴， 设，则， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型2 一点两垂直求阴影部分的面积 4．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【答案】6 【分析】直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴矩形的面积是． 5．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数，求出与阴影面积的和，与阴影面积的和，再结合阴影面积求出、，最后计算的值． 【详解】解：，且， ，， ，， ． 6．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求各个阴影的面积表达式是解题的关键．由点，，，它们的横坐标依次为1，3，6，得，，，由，可求出k的值，进而求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． ◆题型3 两点一垂直求阴影部分的面积 7．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，则的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数与反比例函数的图像性质、中心对称性以及三角形面积的计算，理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据题意得点与点关于原点对称，进而得到，再利用反比例函数中的几何意义得到，最后由即可得出答案． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图像交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 反比例函数中， ， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点对称，过点A作轴于点C，连接，．则的面积是________．    【答案】6 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，设点B坐标为，且，根据A、B关于原点对称，得，再根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设点B坐标为：，且， ∵A、B关于原点对称， ∴点A坐标为：， ∵过点A作轴于点C， ∴点C坐标为：，， ∴， 故答案为：6． 9．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数比例系数的几何意义，等腰三角形的性质，过点作轴于点，可得，，即得，利用等腰三角形的性质可得，即得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， ∴，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型4 两点两垂直求阴影部分的面积 10．（24-25九年级上·广东茂名·阶段检测）如图，双曲线解析式为，则阴影的面积为________． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，设，得到，然后求出，表示出，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵点A，B在双曲线上， 设， ∴ ∵经过原点， ∴点A和点B关于y轴对称 ∴ ∵ ∴， ∴阴影的面积． 故答案为：12． 11．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． ◆题型5 同号K值一平行求阴影部分的面积 13．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 14．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意可得矩形面积为矩形的面积减去矩形的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形的面积为，矩形的面积为 ∴矩形的面积为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． ◆题型6 异号K值一平行求阴影部分的面积 16．（25-26九年级上·全国·期末）如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，熟练将k的几何意义与图形的面积有机结合是解题的关键． 如图：设与y轴相交于点E，利用反比例函数k的几何意义可得，再根据面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：设与y轴相交于点E， ∵反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上， ∴， ∴矩形的面积为：． 故答案为：6． 17．（25-26九年级上·全国·期末）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若C为x轴上任意一点，连接，，则的面积为___． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，系数的几何意义，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的基本知识是解题的关键．设，（），则易得点A和点B的坐标，于是可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设，（）， 则． 直线轴，则点A和点B的纵坐标都为， 又点A和点B分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ． 故答案为：4． 18．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为： 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 3．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，平行于x轴，连接，若，则的面积可以是（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， 点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 4．（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积不一定相等；    ②与的面积不可能相等； ③一定是锐角三角形；    ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．②④ B．①④ C．②③ D．④③ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①； 设点的坐标为，点的坐标为，表示出相关线段的长度，表示出两个三角形的面积进行比较即可判断②； 根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④； 根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即， 故①错误； ②设点的坐标为，点的坐标为， 则， ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，点重合，与题意不符， ∴与的面积不可能相等， 故②正确； ③如图所示， 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误； ④如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形， ∴当且对称轴都为直线，可能是等边三角形， 故④正确； 综上，正确的选项为②④． 5．（2026·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】对于①，取，容易证明四边形是菱形；对于②，作于点，由的几何意义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合等积变形可得为定值；对于③，设点的坐标为，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可计算出的中点坐标为，由可判断的中点不在双曲线上；对于④，取，容易证明此时，再取，此时，因此必定存在的时刻． 【详解】解：对于①，当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故①正确； 对于②，如图，作于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于③，设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为， 由中点公式可得，的中点坐标为， ∵， ∴的中点不在反比例函数的图象上， ∴点不可能是的中点，故③错误； 对于④，当，如图，取的中点，连接， 由①可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由③可知，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象的上方， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，必然存在一个时刻，使得， ∴可能是直角三角形，故④错误； 综上，正确的结论为①②． 二、填空题 6．（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 7．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【答案】 【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：等点，它们的横坐标依次为，，，…，n，， 阴影矩形的一边长都为，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点， 将面积为的矩形向左平移到下方， ∴， 当时，，即， ， 根据反比例函数值的几何意义得：， ． 10．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 三、解答题 11．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； （2）解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 12．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，直线与双曲线交于B，D两点，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接，，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平行四边形判定及的几何意义，掌握利用函数对称性判定平行四边形，结合反比例函数面积性质计算图形面积是解题的关键． （1）由轴及得的横坐标，代入直线解析式求坐标，再代入反比例函数求； （2）利用函数对称性得关于原点对称，证四边形是平行四边形，再由的几何意义求面积． 【详解】（1）解：轴于点， 点B的横坐标为， 将代入，得， ． 将代入，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：直线与双曲线均关于原点对称， 它们的交点B，D关于原点对称， ，， 四边形是平行四边形． 由的几何意义可知， ． 13．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点N，点Q在反比例函数第三象限的图象上． (1)记图中两处矩形阴影的面积分别为、，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)求反比例函数的解析式，并求的长． 【答案】(1)＝ (2)， 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义即可解答； （2）根据待定系数法求出反比例函数的解析式为，再解方程组得到点N的坐标，根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为（）， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，图中两处矩形阴影的面积． （2）解：设反比例函数的解析式为（）， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， 解方程组，得， ∴， ∴． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $