13.1.3 反证法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦反证法，通过“路边苦李”故事导入，引导学生从生活情境中抽象反证法思路，再结合勾股定理相关命题（如非直角三角形边长关系），构建从生活到数学的学习支架，衔接定义、步骤与几何证明应用。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光（抽象能力），通过例题精析（如证明“三角形至少一个内角≤60°”）强化推理意识，反设关键词表格规范数学语言。学生能提升逻辑思维，教师可借助系统练习题和详细解析高效教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第13章 勾股定理 13.1.3 反证法 2026年8月4日 华东师大版八年级上册13.1.3 反证法同步练习题（含解析） 考查知识点：反证法的定义、反证法解题步骤、反设的正确书写、矛盾点的寻找、利用反证法证明几何命题、常见命题反设辨析、反证法适用题型、基础逻辑推理易错点 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 反证法的核心解题思路是（） A. 从已知条件正向推导结论 B. 先假设结论不成立，推出矛盾 C. 举特例验证命题真假 D. 根据图形直接得出结论 2. 用反证法证明命题时，第一步需要做的操作是（） A. 推出矛盾 B. 否定已知条件 C. 反设结论不成立 D. 总结命题成立 3. 用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角”，应先假设（） A. 一个三角形中最少有一个直角 B. 一个三角形中有两个或三个直角 C. 一个三角形中没有直角 D. 一个三角形中最多有两个直角 4. 下列关于反证法的说法正确的是（） A. 反证法不需要推出矛盾 B. 反证法属于间接证明方法 C. 反证法只能证明几何命题 D. 反证法证明无需反设 5. 用反证法证明“两直线平行，同位角相等”，反设正确的是（） A. 两直线不平行 B. 同位角不相等 C. 同位角相等 D. 两直线平行 6. 证明“三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°”，反设为（） A. 三个内角都不大于60° B. 三个内角都大于60° C. 三个内角最多一个大于60° D. 三个内角有一个等于60° 7. 反证法最后一步的作用是（） A. 假设条件成立 B. 根据矛盾判定原命题成立 C. 随便推导结论 D. 否定已知条件 8. 下列命题适合用反证法证明的是（） A. 已知边长求三角形周长 B. 证明线段相等 C. 证明“至多、至少、唯一”类命题 D. 计算角度大小 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 反证法是一种________证明方法（填“直接”或“间接”）。 10. 反证法的三步流程：反设→________→________。 11. 证明“两条直线相交只有一个交点”，应假设两条直线相交有________交点。 12. “至多一个”的反面是________；“至少一个”的反面是________。 13. 反证法的关键是根据________推出与公理、定理、已知条件矛盾的结论。 14. 证明“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，反设该结论________。 三、解答题（共44分） 15. 写出下列命题的反设（否定结论）（16分） （1）三角形中最多有一个钝角 （2）两条直线平行 （3）直角三角形只有一个直角 （4）一个三角形中至少有一个锐角 16. 用反证法完整证明：在一个三角形中，不可能有两个钝角（12分） 17. 用反证法证明：同一平面内，若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线互相平行（8分） 18. 简答总结：反证法的适用场景与核心逻辑（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. B 解析：反证法不直接证明结论，先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明原命题正确。 2. C 解析：反证法第一步为反设，正确否定原命题的结论，是解题的基础。 3. B 解析：“最多一个”的反面为“两个或三个”，需完全否定原结论，不能遗漏情况。 4. B 解析：反证法是典型间接证明法，适用于正向证明困难的命题，不限于几何证明。 5. B 解析：反设只否定结论，原命题结论是“同位角相等”，反设为“同位角不相等”。 6. B 解析：“至少有一个不大于60°”的反面是“全部大于60°”，是高频易错反设题型。 7. B 解析：推出矛盾后，说明假设错误，进而判定原命题结论成立。 8. C 解析：“至多、至少、唯一、不存在”类命题正向证明难度大，是反证法专属高频题型。 填空题答案 9. 间接 10. 归谬（推出矛盾）；存真（原命题成立） 11. 两个或多个 12. 至少两个；一个也没有 13. 假设 14. 不唯一（有两条及以上垂线） 解答题解析 15. 解：（1）三角形中有两个或三个钝角；（2）两条直线不平行；（3）直角三角形有两个或三个直角；（4）一个三角形中没有锐角。 16. 证明：假设三角形中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°。则∠A+∠B＞180°，与“三角形内角和为180°”矛盾。因此假设不成立，故一个三角形中不可能有两个钝角。 17. 证明：假设这两条直线不平行，则两条直线相交。根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，与两条直线都平行于第三条直线矛盾。故假设不成立，两直线互相平行。 18. 解：核心逻辑：否定结论→推理出矛盾→原命题成立；适用场景：正向推理复杂、含“至多、至少、唯一、不存在”的命题，是几何间接证明的重要方法。 核心知识点总结：1. 反证法三步：反设、归谬、存真；2. 核心关键：准确写出结论的反面，不重不漏；3. 高频考点：至多、至少类语句的否定形式；4. 解题要点：矛盾可来自内角和、公理、定理、已知条件，是特殊且重要的几何证明方法。 情境导入 路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 王戎的推理方法是： 假设李子不苦， 则因树在“道”边，李子早就被别人采摘， 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李. 思考 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c， BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. 探究： (1) 假设它是直角三角形； (2) 根据勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾； (3) 因此假设不成立，即它不是直角三角形. c a b A C B 反证法 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 像这样的证明方法叫“反证法”. 知识要点 知识点 反证法 1. 在中，若，则 .下面是运用反证法 证明这个命题的四个步骤： ①所以 ，这与三角形的内角和为 矛盾； ②因此假设不成立，所以 ； ③假设在中， ； ④由，得 ，即 . 这四个步骤正确的顺序应是( ) D A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 返回 举一反三 6 2.［2025长春月考］用反证法证明“若，则 ”时，应假设 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 7 例1 写出下列各结论的反面： (1) a∥b； (2) a≥0； (3) b 是正数； (4) a⊥b. a＜0 b 是 0 或负数 a 不垂直于 b a 不平行于 b 典例精析 例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　(　　　　　 ). 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B＝∠C AB＝AC 等角对等边 已知 AB≠AC ∠B≠∠C 小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢? 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C≠90°，那么a2 + b2≠c2 ”是真命题吗? 想一想 1. 反设： 证明： 3. 得出结论： 2. 推出矛盾： 假设在△ABC 中，∠C≠90° 时， a2 + b2 = c2 成立. 根据勾股定理的逆定理，当 a² + b² = c² 时，△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾. 所以假设不成立，即原命题“在△ABC 中，如果 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么 a² + b²≠c² ”是真命题. 3.牛顿曾说:“反证法是数学家最精良的武器之一”.用反证法证明“在 中,若,则 ”时,应先假设( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 12 4.用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平 行”. 已知：如图，直线、被直线所截， ___ .求证：直线与 ________. 不平行 证明：假设___，则___ // 两直线平行，同旁内角互补 不成立 直线与不平行 （___________________________）（填依据）. 这与________________矛盾，所以假设________. 所以_________________. 返回 举一反三 13 例3 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：如图，两条相交直线 a，b. 求证：a 与 b 只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线 a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. a b A ● 典例精析 证明：假设 a 与 b 不止一个交点， 不妨假设有两个交点 A 和 A'， 因为两点确定一条直线，即经过 点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾. a b A ● A' ● 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　 　　　　　　　　　　　， 于是　 　　　　　　　　　　　　　　， 这与　 　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． 所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° 三角形的内角和为180° △ABC 中至少有一个内角小于或等于 60° 点拨：至少的反面是没有！ ∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180° 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.   原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x成立 对任何 x 不成立 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有（n - 1)个 至少有（n + 1)个 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立 不等于 某个 5.［2025开封月考］用反证法证明“ 是无理数”时，应先假设( ) C A.是分数 B.是整数 C.是有理数 D. 是实数 返回 举一反三 18 6.用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”,第一步应假设( ) B A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角 返回 举一反三 19 7.［2025西安月考］已知:如图,是 内一 点. 求证:，， 不可能都是锐 角三角形（用反证法证明）. 证明:假设，，都是锐角三角形,则 ， ，都是锐角， ，这与 矛盾， 假设不成立， ， ， 不可能都是锐角三角形. 返回 举一反三 20 反证法 概念 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论. 证明步骤 课堂小结 谢谢观看 THANKS $