13.1.3 反证法（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“反证法”核心知识点，以“王戎识苦李”故事导入，衔接勾股定理逆定理复习，通过“假设否定结论、推理导出矛盾、确认原命题成立”的步骤构建学习支架，帮助学生建立从具体情境到抽象方法的认知脉络。 其亮点在于融合生活情境与数学实例，如通过等腰三角形内角证明、偶数性质推导等典例，培养学生推理意识与抽象能力。采用“问题链+变式训练”设计，课堂小结结构化梳理步骤，学生能掌握逻辑推理方法，教师可高效开展教学。

13.1.3 反证法 第13章 勾股定理 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解核心概念 掌握反证法的逻辑本质：通过否定结论推导矛盾，证明原命题为真 区分反证法与直接证明的适用场景 掌握实施步骤 能准确完成以下流程：①假设：明确否定命题结论；②推理：基于假设进行逻辑推导 ③矛盾：找到与公理、定理或已知条件的冲突，④结论：推翻假设，确认原命题成立 熟练应用场景 能判断何时使用反证法，例如：证明唯一性（如“方程解唯一”）；否定性命题；存在性命题 旧知复习 如果三角形的边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角 如图所示，AB=c，AC=b，BC=a 若满足a2+b2=c2 则△ABC是直角三角形 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理是判断是否为直角三角形的重要方法 课堂导入 从前有个聪明的孩子叫王戎，他7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李子树上结满了果子，小伙伴纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么，王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。 思考：王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 新知探究 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形，如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角呢？ 解题思路：（1）假设它是直角三角形； （2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是直角三角形 从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发进行证明有一定的难度，那么我们可以用以上方法进行证明，这种方法叫做”反证法“ 新知探究 ①反设：先假设结论的反面是正确的 ②归谬：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等想矛盾； ③结论：从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。 反证法步骤 回想一下，以前用过类似的方法吗？ 新知探究 思考 “在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题，对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？ 提示：先思考做什么假设，再用反证法推理过程 典例分析 例1 .用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°． 证明：假设∠B≥90° ∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠B≥90°，∴∠C≥90°，∴∠B+∠C≥180° 又因为：在一个三角形中，三角形内角和为180° ∴不可能有两个内角和大于或等于180° ∴假设矛盾，∴假设不成立 ∴∠B＞90° 变式训练 用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a、b都不大于零 即a≤0，b≤0 因为两个非正数相加还是非正数 ∴a+b≤0. 这个与已知条件a+b＞0矛盾 所以假设不成立 所以a、b中至少有一个大于零 典例分析 例2 .已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 证明：假设m不是偶数，则m为奇数 设m=2n+1(n为整数) 则m2=（2n+1）2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1 因为4（n2+n)为偶数 所以4(n2+n)+1为奇数，与m2为偶数矛盾， 所以假设不成立，故为偶数 变式训练 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角． 证明：假设∠DAB是钝角或直角 ∵AB=AC，AD是底边BC上的高 ∴∠BAC=2∠DAB ∵∠DAB是钝角或直角 ∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理 ∴假设不成立 ∴∠DAB是一个锐角 新知探究 课堂练习 1. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 2. 用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（ ） A．假设最大的内角小于60° B．假设最大的内角大于60° C．假设最大的内角大于或等于60° D．假设最大的内角小于或等于60° 课堂练习 3．下列说法正确的是（ ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．不等式x≤2的正整数解只有1 C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题 D．用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A≠∠B，则AC≠BC” 时，应先假设AC＞BC 课堂练习 4．用反证法证明命题：“如果a∥b，a∥c，那么c∥b”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（ ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 课堂练习 5. 用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为a⊥b，b⊥c，过点P的两条直线a、c都与直线b垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以a∥c． a与c不平行 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 课堂练习 6. 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 证明：假设三角形的三个内角∠A、∠B、∠C中有两个直角， 不妨设∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾 ∴∠A=∠B=90° ∴一个三角形中不能有两个直角 课堂小结 基本概念 通过假设命题结论不成立，推导出矛盾 从而证明原命题必然成立 实施步骤 (1) 假设结论不成立 (2) 进行合理推理 (3) 得出与已知条件/公理/定理矛盾的结论 (4) 推翻假设，确认原命题成立 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $