13.1.3 反证法（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“反证法”核心知识点，涵盖定义、“反设、归谬、存真”三步流程及适用场景。通过“路边苦李”故事情境导入，从生活推理过渡到数学证明，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接勾股定理等几何知识。 其亮点在于以生活化情境培养数学眼光，用规范例题步骤强化推理意识，通过关键词否定表格提升数学语言表达。如“三角形中至少有一个内角≤60°”证明，严格遵循反证步骤，结合梯度化题型与易错点解析，助力学生夯实逻辑推理能力，也为教师提供系统教学资源。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.1.3 反证法 第13章 勾股定理 13.1.3 反证法 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册13.1.3知识点，紧扣反证法的定义、推理步骤、适用场景及基础应用。重点掌握反证法“反设、归谬、存真”三步核心流程，学会正确否定命题结论、推出矛盾，区分直接证明与间接证明的差异。针对性解决结论否定错误、矛盾点找不准、步骤书写混乱等高频易错点，题型梯度完整，夯实几何间接推理逻辑。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 反证法是一种________证明方法。（填“直接”或“间接”） 2. 反证法的三大步骤：________、________、存真。 3. 用反证法证明命题时，首先需要假设命题的________成立。 4. 反证法的核心是通过推理推出与已知条件、________、基本事实、定理相矛盾的结果。 5. 证明“一个三角形中最多有一个直角”，应假设________。 6. 矛盾出现后，即可判定________错误，原命题成立。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 反证法的第一步是（） A. 推出矛盾 B. 假设结论不成立 C. 证明原命题 D. 总结结论 2. 用反证法证明“三角形内角中至少有一个角不大于60°”，反设正确的是（） A. 三个角都小于60° B. 三个角都大于60° C. 至多一个角大于60° D. 至少一个角大于60° 3. 下列适合用反证法证明的是（） A. 基础边角计算 B. 唯一性、至多、至少类命题 C. 角度求值 D. 边长证明 4. 用反证法证明“两直线平行，同位角相等”，归谬的目的是（） A. 推出合理结论 B. 推出矛盾，否定假设 C. 直接证明命题 D. 化简条件 5. 下列关于反证法说法正确的是（） A. 无需假设直接推理 B. 假设可以随意设定 C. 推出矛盾即可证明原命题成立 D. 属于直接证明法 三、解答题（共50分） 1. 基础反设训练（每题6分，共24分）：写出下列命题的反设。 （1）三角形中最多有一个钝角 （2）两条直线只有一个交点 （3）直角三角形只有一个直角 （4）同一平面内垂直于同一直线的两直线平行 2. 简单证明训练（12分）：用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。 3. 能力提升证明（14分）：用反证法证明：同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 间接 2. 反设、归谬 3. 结论不成立 4. 定义 5. 一个三角形中有两个或三个直角 6. 假设 选择题答案：1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 解答题解析：1.（1）反设：三角形中有两个或三个钝角；（2）反设：两条直线有两个或两个以上交点；（3）反设：直角三角形中有两个或三个直角；（4）反设：同一平面内垂直于同一直线的两直线不平行。 2. 证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°。则∠A+∠B=180°，三角形内角和为180°，则∠C=0°，不符合三角形定义，矛盾。故假设不成立，原命题成立。 3. 证明：假设同一平面内，两条直线a、b都垂直于直线c，且a、b不平行，则a、b相交。设交点为P，那么过点P有两条直线垂直于同一直线c，与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实矛盾。故假设不成立，原命题成立。 核心考点总结：反证法三步口诀：否定结论、推出矛盾、肯定原命题；高频考点：“至多、至少、唯一、存在”类命题优先用反证法；易错点：反设书写不完整、遗漏多种情况、强行造矛盾；矛盾来源：已知条件、定义、基本事实、定理，是间接几何证明的核心方法。 学习目标 1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想 2.理解并体会反证法的思想内涵. (难点) 3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念. 学习目标 情境导入 路边苦李 王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？ 王戎的推理方法是： 假设李子不苦， 则因树在“道”边，李子早就被别人采摘， 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李. 思考 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c， BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由. 探究： (1) 假设它是直角三角形； (2) 根据勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾； (3) 因此假设不成立，即它不是直角三角形. c a b A C B 反证法 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 像这样的证明方法叫“反证法”. 知识要点 例1 写出下列各结论的反面： (1) a∥b； (2) a≥0； (3) b 是正数； (4) a⊥b. a＜0 b 是 0 或负数 a 不垂直于 b a 不平行于 b 典例精析 例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. A B C 证明：假设　　　　　， 则　　　　　(　　　　　 ). 这与　　　　　　　　　矛盾． 假设不成立． ∴　　　　　　　　． ∠B＝∠C AB＝AC 等角对等边 已知 AB≠AC ∠B≠∠C 小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2”是一个真命题. 对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢? 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C≠90°，那么a2 + b2≠c2 ”是真命题吗? 想一想 1. 反设： 证明： 3. 得出结论： 2. 推出矛盾： 假设在△ABC 中，∠C≠90° 时， a2 + b2 = c2 成立. 根据勾股定理的逆定理，当 a² + b² = c² 时，△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾. 所以假设不成立，即原命题“在△ABC 中，如果 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么 a² + b²≠c² ”是真命题. 例3 求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：如图，两条相交直线 a，b. 求证：a 与 b 只有一个交点. 分析：想从已知条件“两条相交直线 a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法. a b A ● 典例精析 证明：假设 a 与 b 不止一个交点， 不妨假设有两个交点 A 和 A'， 因为两点确定一条直线，即经过 点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾. a b A ● A' ● 例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　 　　　　　　　　　　　， 于是　 　　　　　　　　　　　　　　， 这与　 　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立． 所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° 三角形的内角和为180° △ABC 中至少有一个内角小于或等于 60° 点拨：至少的反面是没有！ ∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180° 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.   原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x成立 对任何 x 不成立 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有（n - 1)个 至少有（n + 1)个 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立 不等于 某个 返回 1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设(　　) A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角 C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角 A 考试考法 15 返回 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连结PA，PB，PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设(　　) A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠PBC≠∠PCB B 考试考法 16 返回 3．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与(　　)矛盾． A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．垂直的定义 B 考试考法 17 返回 4．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 【解】已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截． 求证：∠1＋∠2＝180°. 证明：假设∠1＋∠2≠180°. ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠3. ∵∠1＋∠2≠180°， ∴∠3＋∠2≠180°，这和平角为180°矛盾， ∴假设∠1＋∠2≠180°不成立，即∠1＋∠2＝180°. 考试考法 18 返回 5．已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立．∴∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是(　　) A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② D 考试考法 19 返回 6．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设______________________． a，b都不能被5整除 考试考法 20 返回 7. 阅读下列内容，回答问题． 题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B. 所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC. 上面的证明过程有没有错误？若没有错误，指出证明的方法；若有错误，请改正． 【解】有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B. 又因为∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°， 这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC. 考试考法 21 8. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法证明点M与点D不重合． 【证明】假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连结BN. ∵AM是BC边上的中线， ∴CM＝BM.又∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN， ∴△AMC≌△NMB.∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC. ∵AM(AD)是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC， ∴∠MNB＝∠BAM，∴BN＝AB，∴AC＝AB，这与AB＞AC相矛盾． ∴点M与点D重合是错误的．∴点M与点D不重合． 返回 考试考法 22 反证法 概念 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论. 证明步骤 课堂小结 $