广东省深圳市福田区部分学校2026-2027学年九年级上学期限时训练质量监测 数学试卷

**基本信息** 初三数学限时训练卷通过新定义“k型三角形”“再生韦达方程”、直播销售利润模型及图形规律探究，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配开学基础巩固与能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|图形性质、因式分解、坐标变换|第5题密码翻译关联因式分解应用，体现数学语言表达| |填空题|5/15|数轴化简、矩形对称、整点问题|第13题直线与线段交点整点分析，培养几何直观| |解答题|7/61|动态几何、利润模型、相似探究|17题直播销售构建利润模型，18题新定义证明发展推理能力，20题相似探究提升创新意识|

初三限时训练质量监测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 米 2.点A、B在坐标系中的坐标分别为A(-1,3)、B(-2,4),将线段AB平移得到线段CD,点 A的对应点C坐标是(2，-1)时，点B的对应点D的坐标是( A.(1,5) B.(-4,5) C.(1,0) D.(-5,6) 3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是( A:南 B. c.型 D 4.下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是( A.(x+y)x-)=x2-y2 B.x3-x=x(+1)0-1) C.2-9+3=(0+3)(0-3)+3m D.m2+P(1+) 5.小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息： ab,x-y,x+y,b,x2-y2,2-b2,分别对应深”，“爱”，“我”，“圳，“相”，“信六个字，现将 (x2-y)a2-(x2-y2)b因式分解，结果呈现的密码信息可能是( A.相信我爱 B.我爱深圳 C.相爱深圳 D. 相信深圳 6。已知士品高则下列判断正确的是（ ) A.1的计算结果为 B.当x=-3时，A=2 C.当0<<3时，A的值为正数 D.若A是整数，则A=3或A=1 7.如图，下列图形都是由边长相等的等边三角形和菱形按照一定的规律拼接而成的，其中 第①个图形由10个等边三角形和1个菱形组成，第②个图形由14个等边三角形和2个菱形 组成，第③个图形由18个等边三角形和3个菱形组成，以此类推，第100个图形里等边三 角形的个数是( 妆8 A.400 B.402 C.404 D.406 初三限时训练数学试卷第1页共6页 8.如图，点P是平行四边形ABCD内任意一点，过点P作EF∥AB交AD于E、BC于F, 作GH∥AD交AB于G、CD于H,己知平行四边形GBFP、EPHD的面积分别为5和8，则 平行四边形PHCF与AEPG的面积和为16时，△PBD的面积为() E G B A.2V6 B.5 C.3V3 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.化简：(b2)3.(b2)4= 10.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简V-√(a-b-√(a-c)P-√b-c)2 的结果是 a 06 11.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,在AB和AD上分别有点M、N, G H 连CMCN、CA.点B关于CM的对称点H,点D关于CN的对称点G,若 H、G刚好落在对角线AC上，则MN的长为 12.在平面直角坐标系中，己知A(1,0),B(-1,-2),C(2,-2),若四边形ABCD 是平行四边形，则点D的坐标是· 13.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A(2,1),C(8,3),且AB∥x轴，直线ly=3x+b (b为整数)与线段CD交于点E,当线段DE上有3个整点（包含线段端点）时，b的值 为 初三限时训练数学试卷第2页共6页 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 3(x+3)≥2x+7① 14.(6分)解不等式组{ 62x>0② 并将其解集在数轴上表示出来。 3 54321012345 15.(7分)先化简，再求值： (片)品其中. 16.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC=20cm,BC=8V5cm,其中BD是AC边上的高， 点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cs.同时点E由点B出发，沿BA方向 匀速运动，速度为Ic/s,过点E的直线EF∥AC,交BC于点F,连接EG,设运动时间为 t(s)(0<K5). (1)线段BE= cm,AG= cm(用含t的代数式表示)； G (2)求AD的长： D (3)当t为何值时，以E,F,D,G为顶点的四边形是平行四边形？ B F 初三限时训练数学试卷第3页共6页 17.(8分)网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多 果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可 以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/ 个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1 元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价. (1)设降价x元，则每天可以售出箱？（用含x的代数式表示） (2)若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 18.(10分)新定义：若直角三角形的两直角边的比值为V:1(k为正整数)，这样的直角 三角形称为“V型三角形”.（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不 写做法，保留作图痕迹) A D B 图1 图2 (1)如图1，已知Rt△ABC是“V2型三角形”，其中AC<BC,∠C=90°，点D在斜边AB上， 且BD=BC,过点D作DE⊥AC于点E,连接BE,求证：Rt△BCE是“V3型三角形” (2)如图2，已知Rt△ABC是“V型三角形”(k为正整数)，其中AC<BC,∠C=90°，请利用 直尺和圆规在Rt△ABC中作出一个Rt△BCE,使得Rt△BCE是“V+I型三角形'.（其中 ∠C=90°，CE<BC) 初三限时训练数学试卷第4页共6页 19.(10分)新定义：己知关于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的两根之和x1+x2与两根之 积，x1·x2分别是另一个一元二次方程a2x2+bx+c2=0的两个根，则一元二次方程 a2x2+bx+c20称为一元二次方程41x2+b1x+c1=0的再生韦达方程，一元二次方程 41x2+b1x+c10称为原生方程”. 比如：一元二次方程x2-2x-3=0的两根分别为x1=3,x2=-1,则x1+x2=2,x1·x2=3,所以它的“再 生韦达方程”为x2+x-6=0. (1)已知一元二次方程x2-5x+6=0,求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”x2+x-30-0,求它的“原生方程”. 初三限时训练数学试卷第5页共6页 20.(12分)数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识‘再创造'的过程，更是培养 动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高” 这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决. 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD. 初步探究 (1)如图②，若∠ACD=∠B,求证：AC=AD·AB: 尝试应用 (2)如图③，在(1)的条件下，若点D为AB的中点，CB=4,求CD的长； 创新提升 (3)如图④，点E为CD的中点，连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD,AC-8V3, 直接写出BE的长 D ① ② D ③ 初三限时训练数学试卷第6页共6页初三限时训练质量监测数学试卷 参考答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B B Y D y 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.三（或a6) 10.-aH2b-2c 11.9 12.(4,0) 13.-9或-10或-11 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 3(x+3)≥2x+7① 14.解： 6-2x>0② 3 由①得：2-2， 由②得：<3， 则不等式组的解集为-2≤x<3. 31012→ 15.解：(（片)品 =+2)2). 202)+22 (x-2)(+2) x-3 =42 Γ3 当x=1时， 原式吕=号4， 16.(1)解：，点E由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cms, '.线段BE=tcm ,点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3c/s, ..AG=3tcm; 初三限时训练数学试卷参考答案第1页共5页 (2)解：如图，过点A作AH⊥BC于点H, G D BF H C..AB=AC=20cm,BC=8v5 cm,AHLBC, .'.BH-CH-4v5 cm, ∴在Rt△ABH中，4AH=VAB2-BF202-(4V5-8√5(cm), BD⊥AC, S△ABC-AC.BD=-BCAH, BD=8CAH-8v5:85=16(cm, AC 20 ∴.在Rt△ABD中，AD=VAB2-BD-V202-16=12(cm): （3)解：，EF∥AC, ,当EF=DG时，以E,F,D,G为顶点的四边形是平行四边形， ,AB=AC,EF∥AC, ∴.∠ABC=∠C,∠EFB=∠C, ∴∠ABC=∠EFB, ∴.EF=EB=t(cm), .'AD=12cm,AG=3tcm, ∴.DG=12-3tcm, ,12-3t,解得=3或6， ,0<K5, .=3, .当=3时，以E,F,D,G为顶点的四边形是平行四边形. 17.(1)解：由题意，可知：降价x元，则每天可以售出(100+10x)箱；故答案为：(100+10x); (2)解：设降价x元 由题意，得：(26-2-x)(100+10x)-300=2550,解得：x1=5,x29, ∴，70-5=65元或70-9=61元，答：售价应该定为65元或61元. 初三限时训练数学试卷参考答案第2页共5页 18.（1)证明：因为Rt△ABC是“√2型三角形”， 所以器2. 设AC=x,则BD=BC=√2x, 所以AB=VAC+BC=V3x, 因为DE⊥AC, 所以∠AED=∠C-90°， 所以DE∥BC, 所以C2=BD AC AB 所以CE=BDAC=xx=V6 AB V3x t, 所以器5， 所以Rt△BCE是“V3型三角形”： (2)解：因为Rt△ABC是“V型三角形， 所以器灰 设AC=L,则BD=BC=√L, 因为∠C=90°， 所以AB=VAC2+BC=√+Im, 因为DE⊥AC, 所以∠AED=∠C=90°， 所以DE∥BC, 所以爱碧 所以CB=DAC=mm=E AB V件I所=V儿， 所以器， 所以Rt△BCE是“V件I型三角形”. 19.（1)解：解x2-5x+6=0 得x1=2,X2=3, 则x1+x2=5,x1·x26, 所以一元二次方程x2-5x+6-0的“再生韦达方程”为x2-(5+6)x+5×6=0, 初三限时训练数学试卷参考答案第3页共5页 即x2-11x+30=0: （2)解x2+x-30=0得x1=-6,x2=5, 令它的“原生方程”两根分别为y1y2, 则y1ty3=-6y1·y2=5,或y1+y3=5y1·y3=-6. 当y1y2=-6y1·y2=5,则所求“原生方程”为y2+6y+5=0: 当y1y2=5,y1y2=-6,则所求“原生方程”为y2-5y-6-0. 综上所述，它的“原生方程”为y2+6叶5=0或y2-5y-6=0. 20.解：(1)证明：，∠A=∠A,∠ACD=∠B, ∴.△ACD∽△ABC, 治需 ∴，AC2=AD·AB: (2)设AD=L, ,点D为AB的中点， ∴.AD=BD=,AB=2, 由（1)得，AC2=AD·AB=2u2, 解得AC=√2或AC=-V2l(不符合题意，舍去) 由(1)得△ACD∽△ABC, 器是岩即号指会-号可得c0号8C .BC-4, :.CD-BC-2V .CD的长是2W2: (3)如图，取BD的中点M,连接CM,EM, D ,点E为CD的中点， ,EM是△BCD的中位线， ∴EMI∥CB, 又，'∠CDB=∠CBD=30, 初三限时训练数学试卷参考答案第4页共5页 .∴.CD=CB,∠ED=∠CBD=30°， ∴.CM⊥BD,∠ADC=∠BME=180°-30°=150° ,∠ACD=∠EBD, ∴.△ACD∽△EBM, 器器 .CD=CB, 影器 ,∠CMB=90°，∠CBM=30°， ∴，BC-=2CM, 由勾股定理可得，BMEVBC-CF=V3CM, 影兽即紧9 AC2 ..AC=8V3, AC-12. .BE的长是12 初三限时训练数学试卷参考答案第5页共5页 初三限时训练质量监测 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．点、在坐标系中的坐标分别为、，将线段平移得到线段，点的对应点坐标是时，点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“深”，“爱”，“我”，“圳”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．相信我爱 B．我爱深圳 C．相爱深圳 D．相信深圳 6．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 7．如图，下列图形都是由边长相等的等边三角形和菱形按照一定的规律拼接而成的，其中第①个图形由10个等边三角形和1个菱形组成，第②个图形由14个等边三角形和2个菱形组成，第③个图形由18个等边三角形和3个菱形组成，以此类推，第100个图形里等边三角形的个数是（    ） A．400 B．402 C．404 D．406 8．如图，点是平行四边形内任意一点，过点作交于、于，作交于、于，已知平行四边形、的面积分别为和，则平行四边形与的面积和为时，的面积为（    ） A． B．5 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．化简：________． 10．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______． 11．如图，在矩形中，，在和上分别有点，连．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好落在对角线上，则的长为___________． 12．在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线（为整数）与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的值为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14．（6分）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 15．（7分）先化简，再求值：，其中． 16．（9分）如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为． (1)线段__________，__________（用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 17．（8分）网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价． (1)设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示） (2)若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？ 18．（10分）新定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．（尺规作图要求：在不使用刻度的情况下用直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹） (1)如图1，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，求证：是“型三角形”． (2)如图2，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，请利用直尺和圆规在中作出一个，使得是“型三角形”．（其中，） 19．（10分）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 20．（12分）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． 初步探究 （1）如图②，若，求证：； 尝试应用 （2）如图③，在（1）的条件下，若点为的中点，，求的长； 创新提升 （3）如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长． 初三限时训练 数学试卷 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $