2026年九年级数学秋季开学学情自测卷02（广州专用，范围：新教材人教版九上第1～3章）

**基本信息** 2026年九年级开学数学自测卷聚焦一元二次方程与函数模块，通过基础纠错（如17题解方程步骤辨析）、实际建模（如20题拱桥抛物线应用）及综合探究（如24题根与系数关系拓展），分层考查运算能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|方程定义、函数性质、图像分析|第6题结合函数图像判断方程根情况，体现几何直观| |填空题|6/24|韦达定理、反比例k值、图形剪拼|13题用矩形面积求反比例解析式，考查抽象能力| |解答题|9/86|方程应用、函数建模、综合探究|20题拱桥问题建立抛物线模型，24题阅读材料培养推理意识，25题平移考查空间观念|

2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 2．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 4．已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】反比例函数中，， 函数图像在二、四象限， 在每个象限内，随的增大而增大． 点，都在第二象限，且， ． 5．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 7．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 8．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得：， 原抛物线顶点横坐标为，纵坐标为， 即原顶点坐标为， 根据平移规律，得平移后顶点坐标为， ∵， ∴，则， 又，则， ∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 【答案】D 【详解】解：点，， ∴， ∵将向右平移到位置，设平移距离为， ∴， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴点F的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点C，F在反比例函数的图象上， ∴，即， 解得， ． 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知方程的两个根是和，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得到． 12．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 13．如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为 ， 点在第二象限， ，， ∴，即 ， 过点 分别作 轴、 轴的垂线段， 矩形的长为 ，宽为 ， 矩形面积 ， ，即， ， ． 14．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 15．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 16．如图，已知点在双曲线上，将线段沿轴正方向平移，若平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点，则平移距离长为______． 【答案】3 【详解】解：设双曲线的函数解析式为：， ∵点在双曲线上， ∴， ∵平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点， ∴D点纵坐标为：1， 过点A作轴，过点D作轴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即， ∴． 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 2分 正确解答： ， ， 4分 或 解得，． 6分 18．（6分）已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 【详解】（1）解：∵点在函数图象上， ∴， 2分 解得， 故答案为：； 3分 （2）证明：∵， 5分 ∴该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 6分 19．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 2分 ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴， 4分 ∵一次函数的图象经过A，B， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 6分 （2）∵点是第三象限内一点，，，的面积为， ， ∴， ∴． 8分 20．（8分）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 2分 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； 4分 （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 6分 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 8分 21．（8分）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； 2分 （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， 3分 ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 5分 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 8分 22．（10分）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【详解】(1) 解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， 2分 ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 3分 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． 5分 （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 7分 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 9分 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 10分 23．（12分）已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为轴，且是轴上的一点； (1)求的函数关系式； (2)的面积是___________； (3)将线段所在的直线向下平移，它与双曲线交于点，与双曲线交于点，当时，求两点的坐标． 【详解】（1）解：∵是双曲线上的一点， ∴， ∴， 1分 ∵轴， ∴， ∴， 将点B的坐标代入得，解得， ∴的解析式为； 3分 （2）解：由（1）得，， ∵轴， ∴， ∴； 5分 （3）解：设， 由平移的性质可得， 又∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 8分 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 10分 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 12分 24．（14分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为， ． 3分 （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为， ， 5分 ． 7分 （3）解：∵实数满足， ∴可以看作方程的两个根， ， 9分 ， 或， 11分 当时，， 当时，， 综上可知，的值为或． 14分 25．（14分）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【详解】（1）解：①， ， 顶点坐标为． 2分 （2）解：①∵， ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线的解析式为． 4分 是和的交点， ， ， ， 将代入得． 7分 ②；，点、分别在抛物线，上，， ∴， 8分 ． 11分 是关于的一次函数，且， 的值是随着的增加而减小， 当时，； 当时，， ． 14分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 10 0 A D A A D 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11.4 12.a>b 13.y=-4 x 14.a=1+5 2 15.1≤x≤3 16.3 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑x-4=0的情况，等式两边不能同时除以0,2分 正确解答：x(x-4)+4=x x(x-4)-（x-4)=0 (x-4）j(-）=0,4分 x-4=0或x-1=0 解得为=1，万=4.6分 18.【详解】(1)解：点(2，-)在函数图象上， -l=2+2m+m-1,.2分 2 解得m=- 3 2 放答秶为：3；3分 (2)证明：A=m2-4x×(m-1）=m2-2m+2=(m-+1>0,…5分 .该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点。6分 19。【详解】()解：：反比例西数y=(m0的图象经过点4(2,4， .m=-2×4=-8, 1 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·反比例函数解析式为y=-8 ................... 2分 “反比例函数y= x的图象经过点B(a,-2), ∴.-2a=-8,解得：a=4, .B(4,-2) 4分 :一次函数y=a+b(k≠0)的图象经过A,B, 「-2k+b=4 4k+b=-2? k=-1 解得：1b=2 .一次函数的解析式为y=-X+2;… .6分 (2):点C(6,-2)是第三象限内一点，A(-2,4),B(4,-2),△ABC的面积为24， 4-小6=24， .t=-4, .C(-4,-2) ，8分 20.【详解】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系， 3m 4m 设抛物线的解析式为y=a2,2分 将x=2,y=-3代入，y=ax2, 得2a=-3, 3 解得a=-4: 因此，该抛物线的解析式为y= 32；4h 4 2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)解：由(1)知：y=-3x2 4 当水面下降lm,即y=-4时， 子4 56 解得x=。 6分 4V385 此时水面宽度为2× 3 3m, 83 答：此时水面宽度为 m. 8分 21.【详解】(1)解：，点A,卫分别在反比例函数y= 子和y-的象上，日边形1B0c利ERO6部 是矩形， .S矩形HBOc=2,S矩形BEr0=4 S矩形HrC=2+4=6, 2分 (2)解：如图，过A,B,C,D四点分别作AE、BF、CG、DH⊥x轴于点E,F,G,H,设AB,CD 分别与y轴交于N,M, 3分 ∴.四边形ANOE,BNOF,CMOG,DMOH均为矩形，且S矩形ANOE+S矩形BNoF=S矩形CMOG+S矩形DMOH=a-b .AB.BF=CD.CG,5分 设CG为h,:AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，AB∥CD∥x轴， .BF=5-h, .2h=3(5-h) 解得：h=3, 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.S矩形cwoG+S矩形DMOH=a-b=2×3=6 .8分 22.【详解】(1) 解：等边三角形.理由如下： 11 :关于x的方程+bx+2C-4 =0有两个相等的实数根， A-0m:-41-j-0 .a+b=2c① ……………………………….2分 .方程ax2+bx=0有一个根为x=-1, 把x=-1代入得：a-b=0②， 3分 联立①②，解得：a=b=c, ∴.以a、b、c为边的三角形是等边三角形. 形，.分 (2)解：方程x2+mx-2m=0的两根为a、b, 由(1)可知，a=b, ,方程x2+x-2m=0有两个相等的实数根， 4=0,即：m2-4×1×(-2m)=0, 化简得：m2+8m=0, 解得：m=0,m2=-8 7分 当m=0时，方程x2+mx-2m=0变为x2=0,则x=2=0,即a=b=0,此时与方程ax2+bx=0有一个 根为X=-1矛盾，舍去9分 当m=8时，方程x2+mx-2m=0变为x2-8x+16=0,则==4，符合题意 所以m=-8.10分 23.【详解】(1)解：：42，m)是双曲线C:y=(x>0)上的一点， 63 .m= A(2,3), 1分 AB‖x轴， yg=y4=3, 4 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(-3,3), 将点8的坐标代入Cx<0)得3-专，解得k:-) G的解折式为=26x<0: 3分 (2)解：由(1)得4(2,3)，B(-3,3), AB‖x轴， ·.AB=2-(-3)=5, 2: 5分 ()解：设M>o). 由平移的性质可得MN∥AB, 又：AB‖x轴， .MNIx轴， ∴.yN=yM=t, 1-9 xy. .8分 =9 t .MN =2AB, 1 :.t =2×5, 3 .t= 10分 3 经检验，1=2是原方程的解， 6=4-9-6, : 12分 5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.【详解】(1)解：一元二次方程x2-3x-1=0的两个根为，2， 3=-1=-1 a 1 3分 (2)解：一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别为m,n, :m+n=-b-3,mm==1, 5分 :”+m=m2+n_m+)3-2m=32-2×-) -1=-11 7分 m n mn mn (3)解：实数5，t满足s-3s-1=0,2-31-1=0, ∴.S,t可以看作方程x2-3x-1=0的两个根， s+1=-b=3,t==-1, .9分 .t-s)2=(t+s)2-4s1=32-4×(-1)=13, t-3=13或t-3=-V3,… 11分 -而。 -1 当g时受瓜 11 综上可知，写的值为仍或-仍，14分 5【详解】()解：@y=-女 2m+8(m>0). y=--m+8(m>0). 顶点坐标为(m,8. .2分 (2解：①y=-m+8m>0), ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的范物线乙，的解折式为y=(x-m-6+8m>0）。…4分 :A是乙和的交点， -m-o0+8=x-m+8, 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-m-6}=(x-m2, .x=m+3 7 将m十3代入y三-m+8得2 @4=+rr+8m>0:4=-m-6+8,点p0分别锁物搜L上， x32-x=8, .=x+8 8分 ⅓-=6-m-60+k-mj =m-6矿-6-m门 =-6-m-6+与-m-m-6-+m) =0+g-2m-6s-6) =+8+5-2m-66+8--6) =-(2x-2m+2) =-2x+2m-2 .11分 ∴2-是关于的一次函数，且k=-2<0, ·y2一的值是随着的增加而减小， m-3≤x≤m 当=m时，h-乃=-2； 当￥=m-3时，乃-=4， .-2≤h2-y≤4.14分 7 ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、 填空题 （每小题 4 分，共 24 分） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三、 解答题 （共 86 分 ， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 7. （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 6 分） 1 9. （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） 21 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 10 分） 23 ．（ 1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 1 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ．（1 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 45 4 破。 6 5. 正确填涂 12345678 789 6789 456789 23456789 23456789 123456789 123456789 123456789 123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题4分， 共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C]D] 艾炯 2[A][BI[C][D] 6[A][BI[C][D] 10[A][B][C]D] 3[A][BI[C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][DI 8[A][B][C]D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11 12. 13 14 15 16 警 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 妇 17.(6分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 3m 4m 21.(8分) B 图1 图 17 A 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（买其6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材人教版九年级上册第一、二、三章 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 2．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 4．已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 5．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 7．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第7题 第9题 第10题 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知方程的两个根是和，则________． 12．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 13．如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 第13题 第14题 14．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 15．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 第15题 第16题 16．如图，已知点在双曲线上，将线段沿轴正方向平移，若平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点，则平移距离长为______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 18．（6分）已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 19．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 20．（8分）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 21．（8分）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 22．（10分）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 23．（12分）已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为轴，且是轴上的一点； (1)求的函数关系式； (2)的面积是___________； (3)将线段所在的直线向下平移，它与双曲线交于点，与双曲线交于点，当时，求两点的坐标． 24．（14分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 25．（14分）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新教材人教版九年级上册第一、二、三章 : : 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 : 1.已知关于x的方程(m-1)xm-x+3=0是一元二次方程，则m的值为() : A.2 B.1或-3 C.1 D.-3 : : 2.下列函数中，当x>0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是() A.y=3 B.y=x+1 C.y=2x D.y=-2 3.由二次函数y=2(x-3)+1,可知() A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=-3 C.其图象与y轴交点的纵坐标为1 D.当x<3时，y随x的增大而减小 : 4.已知反比例函数y=-4的图象上有两点4(2，y),B(-4,）,则X,与的大小关系为() .: A.4> B.片= C.片<3 D.无法确定 : O 5.将一元二次方程x2+4x=9配方，得到方程x2+4x+▲=9+▲，其中“▲”表示的数为（) : A.16 B.4 C.2 D.1 : 6.己知函数y=ax+b.x+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是() : A.无实数根 B.有两个相等实数根 : 试题第1页（共6页） : : 6学科网·上好课 C.有两个同号不等实数根 D.有两个异号实数根 7如图，函数y= k x+5与为=，(C>0)的图象相交于A(4,m),B(,2)两点，当片>乃时，x的取值范 2 围是() A.4<x<6 B.4<x<8 C.4<x<7 D.x>4 8.己知抛物线y=x2-2x+1与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位 长度后，得到的抛物线的顶点一定在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第7题 第9题 第10题 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,6),B(5,6),将△ABO向右平移到△CDE位置，点A、O的 对应点分别是C、B,函数y=(x>0)的图象经过点C和DB的中点R,则k的值为() 1 15 15 A. 8 B. 4 C.2 D.15 10.二次函数y=ax2+b.x+c的部分图象如图所示，对称轴为x= 且图象经过点(20.下列说法：①ac0: ②c-2边-0，@（号小，（目）是抛物线上的雨点，则y为：0+c≥m(@m++e(其中m=片， ⑤a-b+c<0.其中正确的结论是() A.①②③ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①②④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11.己知方程x2-4x+1=0的两个根是5和5，则：+名= 12.如图，①②分别对应y=2与y=bx2的函数图象，则a,b的大小关系 1 ② 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 13.如图，点P是反比例函数y=《图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形 面积是4，则反比例函数的解析式是 ① ③ ② ① ② ① ① ② 图1 图2 第13题 第14题 14.在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为acm的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这 四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽 a= cm. 15.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=x+n(n≠0)有两个交点，交点横坐标分别为 1、3,则关于x的不等式a2+(b-m)x+c-n≥0的解集为 第15题 第16题 16.如图，已知点A(2,2)在双曲线上，将线段OA沿x轴正方向平移，若平移后的线段OA与双曲线的交 点D恰为OA的中点，则平移距离OO长为. 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分)甲同学在解方程x(x-4)+4=x时的解答过程如下： 解：移项，得x(x-4)=x-4,.① 两边同除以(x-4),得x=1..② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答. 试题第3页（共6页） 18.(6分)已知二次函数y-方产+孤+m-1(m为常数)。 (1)若点(2，-)在该函数图象上，则m= ； (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点。 19.(8分)如图，一次函数y=c+b(k≠0)与反比例函数y="(m≠0)的图象相交于点A(-2,4)、B(a-2). 兵 张 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)若点C(t,-2)是第三象限内一点，且△ABC的面积为24，求点C的坐标. 河 游 20.(8分)如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m.若以通过拱顶点O的水平直 线为x轴，过点O的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系， 时 3m 世 4m (1)求出该抛物线的解析式。 (2)若水面下降1m,则此时水面宽度为多少m.(结果允许保留根号的形式) 试题第4页（共6页) : 21.(8分)知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数y= 上任 O O 意一点，则矩形ABOC的面积为. (1)初步尝试 如图2，点A,B分别在反比例函数y=2和y=-生的图象上，四边形ABOC和BFOB都是矩形，易知四 4 : 边形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积. (2)类比探究 : 如图3，点A,C在反比例函数y=(>0)的图象上，点B,D在反比例函数y=(b<0)的图象上， O AB∥CD∥x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，求a-b的值. . : ·: : : B 图1 图2 图3 : O : 2.10分)已知关于x的方程？+6r+c-子a-0有两个相等的实数很，且方程m+b-0有一个根为 斟 x=-1. (1)判断以a、b、c为边的三角形的形状，并说明理由： .: (2)若方程x2+x-2m=0的两根为a、b,求的值. .: .: O : 23.(12分)已知4(2，m是双曲线C:y=x>0)上的一点，B点是双曲线C,:y=K<0)上的一点，B 点的横坐标为-3，AB∥x轴，且P是x轴上的一点： 北 : 区 (1)求C,的函数关系式： (2)△PAB的面积是 : (3)将线段AB所在的直线向下平移，它与双曲线C1交于点M,与双曲线C,交于点N,当MN=2AB时，求 O MN两点的坐标. : 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 24.（14分)阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x,:,则 为+=合：后，材料2：己知一元二次方程--1=0的两个实数根分别为m,求m+m的 值. 解：一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为，， .m+n=1,m=-1,则2n+m2=n(+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程x2-3x-1=0的两个根为x1,七，则：+龙= ,XX2= ②类比应用：已知一元二次方程x-3x-1=0的两根分别为m、,求”+"的值. m n 、11 (3)思维拓展：已知实数、t满足s2-35-1=0,t2-3t-1=0,且5≠t,求二-二的值. s t 25.(14分)己知抛物线：y=-)x+mx-}㎡2+8m>0). 2 2 (1)求抛物线L的顶点坐标（用含m的代数式表示)： (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A. ①求点A的纵坐标 ②若点P(:,),2(5,)分别在抛物线L,L上，若6-=8，m-3≤：≤m,求-4的取值范围. 试题第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：新教材人教版九年级上册第一、二、三章 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 2．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 4．已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 5．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 7．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 第7题 第9题 第10题 9．如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知方程的两个根是和，则________． 12．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 13．如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 第13题 第14题 14．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 15．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 第15题 第16题 16．如图，已知点在双曲线上，将线段沿轴正方向平移，若平移后的线段与双曲线的交点恰为的中点，则平移距离长为______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 18．（6分）已知二次函数（为常数）． (1)若点在该函数图象上，则_________； (2)证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． 19．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若点是第三象限内一点，且的面积为，求点C的坐标． 20．（8分）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 21．（8分）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 22．（10分）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 23．（12分）已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为轴，且是轴上的一点； (1)求的函数关系式； (2)的面积是___________； (3)将线段所在的直线向下平移，它与双曲线交于点，与双曲线交于点，当时，求两点的坐标． 24．（14分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程 的两个实数根分别为m，n， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且 ，求的值． 25．（14分）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $