浅探人造卫星在拉格朗日点的运行规律-《中学生数理化》高考理化2026年7～8月刊

中学生数理化高中理化 物理部分 创新题追根溯源 2026年7一8月 浅探人造卫星在拉格朗日点的运行规律 ■湖北省恩施市第三高级中学 王正品 一、拉格朗日点的理论研究 L):法国数学家、力学家、天文学家拉格朗日 拉格朗日点是指第三个质量很小的物体 在1772年发表的论文《三体问题论》中在欧 (人造卫星)因受两大天体（太阳与地球）的引 拉的研究基础上补全了这5个特解，并系统 力作用而保持相对静止的点，共有5个，这5 推导证明了这5个点的稳定性。 个点的位置如图1所示(M1>M2)。瑞士数 5个拉格朗日点的位置与稳定性如表1 学家、自然科学家欧拉在1767年发表的论文 所示。 《三物体相互吸引的直线运动论》中率先找到 二、拉格朗日点的实际应用 了平面圆型限制性三体问题框架下的3个共 拉格朗日点因其特殊性而成为观测空间 线特解，即拉格朗日点中的前3个(L1、L2、 天气、太空环境、宇宙起源等的最佳位置。近 些年来，随着科学家们对外太空探索热情的 高涨，拉格朗日点的应用已成为国际空间探 测的热点。2018年5月，我国成功发射的 “嫦娥四号”中继通信卫星“鹊桥”进入环绕 日一地拉格朗日点L:的轨道，受到太阳和地 球万有引力的共同作用，在几乎不消耗燃料 图1 的情况下，能够与地球同步绕太阳做圆周运 表1 拉格朗日点 位置 稳定性 是不稳定点，在日一地天体系统中，人造卫星处于该点时 L 位于两大天体之间 虽需自行维持轨道，但是观测太阳的绝佳位置 是不稳定点，在日一地天体系统中，是应用最广泛的点，非 位于较小天体（地球） L: 常适合放置需要冷却和宁静环境的太空望远镜或中继通 外侧 信卫星 Ls 位于较大天体（太阳） 是不稳定点，在日一地天体系统中，因其隐藏在太阳背面 外侧 而通信困难 位于与两大天体连线 构成等边三角形的第是稳定点，在日一地天体系统中，与地球共享轨道，能够吸 Li 三个顶点上，超前于较 引和收集宇宙尘埃甚至小行星 小天体（地球）60 位于与两大天体连线 构成等边三角形的第是稳定点，在日一地天体系统中，与地球共享轨道，能够吸 三个顶点上，落后于较引和收集宇宙尘埃甚至小行星 小天体（地球）60° 28 舞中理使题4根膏中学生教理化 物理部分创新题追根溯源 动，为月球探测器与地球搭建起一座用于通 解析：设地球的质量为M,月球的质量 信联系的“桥梁”。中国科学院于2022年启 为，以月球为研究对象，根据万有引力提供 动了“地月空间DRO探索研究”项目，截至 向心力得GMm=4x =m- 2026年3月已完成地月空间全部拉格朗日 ,又有地球的密度 点巡防，验证了稳定驻留、低能耗机动、天基 M p=V,地球的体积V= 3πR,解得p= 定轨导航等关键技术。 3πr3 求解以拉格朗日点为背景的天体运动问 GTR,选项A错误。从地球上将人造卫星 题时，需要在分析题意、构建模型的基础上， 发射到拉格朗日点，人造卫星没有脱离地球 合理选用o=wr、a=wr等圆周运动公式进 引力的束缚，其发射速度应小于第二宇宙速 行分析与判断。 度，即小于11.2km/s,选项B正确。人造卫 例题（多选题）拉格朗日点是指在 星在拉格朗日点随月球一起绕地球转动，与 “日一地”“地一月”等双星天体系统中，质量 月球具有相同的角速度，设为w,根据℃=ωr 较小的第三个物体因受到的两大天体引力之 可知，人造卫星的轨道半径较大，则线速度较 和提供其做圆周运动所需的向心力，使得这 大，选项C错误。以人造卫星为研究对象，人 个物体与两大天体系统处于相对静止状态的 造卫星在月球引力F月和地球引力F地的共 特殊位置。如图2所示，在“地一月”天体系 同作用下，在半径为r十s的圆形轨道上稳定 统中，在地月连线上的月球外侧存在一个拉 4π2 格朗日点，在地球上发射一颗质量为。的 运行，则F月十F=m,（,十)，其中 人造卫星到该点后，人造卫星将随月球一起 F地=G 转动，该点到月球的距离为s。已知地球的半 (+s),又有GMm' Mmo R=m'g,解得 径为R,地球表面附近的重力加速度为g,地 F月= 4πma(r十s)- mogR2 球与月球之间的距离为？，月球的公转周期 T: (十)，选项D正确。 为T。根据以上数据判断，下列说法正确的 答案：BD 是( 评析：人造卫星在地一月拉格朗日点 (L:)上随月球一起绕地球做圆周运动，人造 卫星与月球具有相同的角速度，人造卫星的 轨道半径大于月球的轨道半径，人造卫星受 到的月球引力与地球引力的合力提供向心 月 拉格朗日点 力，充分利用这些运动特点和受力特，点，借助 万有引力定律和圆周运动规律列式，即可完 成分析与判断。 图2 个银踪训练 A.地球的密度为3πR 日一地拉格朗日点L:位于日地连线上 GTr 的地球外侧约1.5×10km处。已知太阳与 B.从地球上将人造卫星发射到拉格朗期日 地球之间的距离约为1.5×10km,太阳的质 点，发射速度小于11.2km/s 量约为2.0×10°kg,地球的质量约为6.0× C.在拉格朗日点，人造卫星的线速度比 10kg。试估算位于L点的中继卫星受到 月球的线速度小 的太阳引力与地球引力的比值约为()。 D.月球对人造卫星的引力为(y中 A.0.03 B.1C.3 D.33 mogR 答案：D (r+s) (责任编辑张巧) 29