构建图像，巧用面积，破解难题-《中学生数理化》高考理化2026年7～8月刊

物理部分 经费题突被方清中学生教理化 高中理化2026年7一8月 构建图像，巧用面积，破解难题 ■四川省双流中学 黎国胜（特级教师、正高级教师） ■四川省成都邛峡一中 许倩 教育部考试中心研制的《中国高考评价 功率保持不变。求： 体系》指出：要着力培养学生在真实情境中解 (1)回路中的电流。 决复杂问题的能力，要引导学生实现从解题 (2)金属棒到达x=2m处时的速度。 到解决问题的转变。同学们能否在真实情境 (3)金属棒从x=0处运动到x=2m处 中解决复杂问题依赖于是否掌握了正确的问 的过程中，安培力做的功。 题表征方法，物理问题的表征方法有文字、符 (4)金属棒从x=0处运动到x=2m处 号、图形图像、表格等多种方式，其中图形图 的过程中，外力的平均功率。 像表征是常用方法之一。 解析：“定值电阻R消耗的电功率保持 近些年来，高考对识别图像、利用图像解 不变”是关键条件，是破题的钥匙。金属棒在 决问题的考查在分值和题量上都呈现出增加 运动过程中，回路的总电阻保持不变，定值电 的态势。比识图、用图更为高阶的思维是考 阻R消耗的电功率保持不变，根据电功率公 生通过对物理过程的分析，物理规律的选择， 式P=U1可以推导出回路中的感应电流与 先自主构建物理量之间的函数图像，再利用 感应电动势一定保持不变，只需求出初始状 图像的交点、斜率、面积等巧妙地解决实际问 态下回路中的感应电动势和感应电流即可。 题。在众多物理图像中，一次函数的图像是 (1)在x=0处，金属棒切割磁感线产生 最简单的，也是最常见的。在复杂问题中，两 的感应电动势E=B。lu。=0.4V,回路中的 个物理量之间的函数关系往往比较复杂，其 E 图像通常是复杂的曲线。若通过一定的数学 感应电流I=R十，一2A 变换能够将复杂的函数转化为一次函数，使 (2)在x=2m处，磁感应强度B=B。十 物理图像化曲为直，则可利用一次函数图像 kx=1.5T,感应电动势E=Blu1=0.4V, 的交点、斜率、面积等轻松地解决一些看似无 解得o1=3m/s。 解的难题， (3)金属棒受到的安培力F安=BIl= 一、典型问题剖析 0.8(0.5+0.5.x)(N),因此F安x图像是一 例题如图1所示 条倾斜的直线，如图2所 tF/N 两根相距1=0.4m,电阻 示。F安x图像与坐标轴 1.2 不计的平行光滑金属导 XXXX 所围图形的面积表示安培0.4 轨水平放置，一端与定值 力做的功，当x=0时， 2 x/m 电阻R=0.152相连。 图1 F安=0.4N；当x=2m 图2 导轨平面内x>0一侧存 时，F安=1.2N。因此所求 在沿x轴正方向均匀增大的稳恒磁场，其方 向与导轨平面垂直，变化率k=0.5T/m, 安培力做的功w。=0.4十1.2 2 ×2J=1.6J。 x=0处的磁感应强度B。=0.5T。一根质 (4)金属棒从x=0处运动到x=2m处 量m=0.1kg,电阻r=0.052的金属棒置 的过程中，根据动能定理得W外一W安= 于导轨上，并与导轨垂直。金属棒在外力作 1 用下从x=0处以初速度o。=2m/s沿导轨 2n一n0,解得w外三1.42J。金属棒 向右运动，运动过程中定值电阻R消耗的电 克服安培力做功，将金属棒的机械能转化为 25 物理部分经典题突破方法 中学生数理化高中理化202年8月 电能，通过电流做功再转化为热量，因此 W安=Pt=I(R+r)t,解得t=2s,所以 可视为矩形，其面积为△r·号=△，即该图 _W外=0.71W。 像的面积表示物体产生位移△x所用的时 P外= t 间，无数个小矩形的面积之和（图中梯形的面 点睛：本题中，金属棒在磁场中做切割磁 积)，就能非常精确地表示物体的运动时间。 感线运动，产生感应电动势，在回路中形成感 这种推导方法的实质是微元法，即高等数学 应电流，物理过程与物理情境非常典型。本 中的微积分思想。 题的命题意图是综合考查力与运动、功与能 当x=0时，=0.5s/m:当x=2m 量转化的物理观念，构建物理模型、分析物理 过程、应用物理规律进行科学推理等核心素 时，1 =1.5s/m。因此金属棒的运动时间 养。求解第一问，需要根据题意明确回路中 的感应电流恒定，金属棒在运动过程中产生 4=0.51.5×2s=2s 2 的感应电动势不变；求解第三问，需要知道虽 方法二：利用电磁感应现象中电荷量的 然安培力是变力，但是安培力与位移成一次 推论公式求时间。 函数关系，作出安培力与位移的图像，利用图 因为导轨平面内x<0一侧没有磁场，回 像的面积即可求出安培力做的功。 路中的感应电流保持不变，所以q=It= 二、解后反思 E △Φ 因为金属棒的运动是非匀变速运动，运 R十，·tR+,。 动过程中的速度、加速度都在改变，所以金属 磁通量的变化量等于末位置的磁通量减 棒的运动时间无法应用匀变速直线运动的公 去初位置的磁通量。回路位于非匀强磁场 式求解，那么有没有其他方法能够计算金属 中，各处磁感应强度不同，那么末位置处穿过 棒的运动时间呢？ 回路的磁通量怎么计算呢？ 方法一：构建速度的倒数与位移的函数 因为磁感应强度B=B。十kx,即磁感应 关系，利用图像的面积求时间。 强度B与位置x成一次函 1B/T 根据感应电动势保持不变易得B,Iv。= 数关系，所以以x为横轴、 B10,其中B=B。十kx,整理得0=B,十x, B。00 以B为纵轴绘制图像，如0. 图4所示，该图像与坐标轴 2 x/ 因此金属棒的速度与位移有关，且位移越大， 所围图形的面积乘以棒长 图4 速度越小，显然二者之间不是一次函数的关 (导轨间距)即为末位置的 系，也不是反比例函数的关系，将上式两边同 磁通量。 时取倒数得1= △Φ B。00 因此金属棒的运动时间t=1(R十) 与位移x成一次函数关系。 2s。 以子为纵轴、以2为横轴绘制图像，如因 注意：在磁感应强度随位置变化的回路 3所示，图像的面积有没有物理意义呢？如 中，借助于图像求解磁通量，本质上还是微元 果有，那么其物理意义是什么呢？ 法（微积分思想）的应用。 将0一x1均匀分成n 三、举一反三，变式训练 练习题(2022年高考江苏卷)如图5 等份，每一份位移△x= 所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A 当n取无穷大时，△x趋于 连接，处于压缩状态，将物块A由静止释放 零，每一段位移△x对应的 后，当物体A沿斜面向上运动到最大位移处 图像与坐标轴所围图形均 图3 时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B两物 26 高中理化牛被方清中学生教理化 物理部分经典题突破方法 块由静止开始一起沿斜面 mng sin日-nBgcos日一FAB=mBa,整理得 向下运动，下滑过程中A、 00 B两物块始终不分离，当 _F她，可见，A、B两物块之间的作 nA十nBmB 物块A回到初始位置时速 用力FAB正比于弹簧的弹力F。因为A、B 度为零，A、B两物块与斜 图5 两物块一起沿斜面向下滑动的过程中，弹簧 面之间的动摩擦因数相同，单簧始终未超过 的压缩量不断增大，弹力F不断增大，所以 其弹性限度，则()。 A、B两物块之间的作用力FAB也不断增大， A.当物块A上滑到最大位移的一半时， 选项C错误。 物块A的加速度方向沿斜面向下 以由物块A、B、弹簧组成的系统为研究 B.当物块A沿斜面上滑时，弹簧的弹力 对象，整个过程中系统的能量守恒，弹簧初、 方向不发生变化 末位置的弹性势能相同，物块A的初、末位 C.当A、B两物块沿斜面下滑时，物块B 置相同、机械能相同，只有物块B的重力势 对A的压力先减小后增大 能减少了，系统增加的是因摩擦而产生的热 D.整个过程中，A、B两物块克服摩擦力 量，因此整个过程中物块A、B克服摩擦力所 所做的总功大于物块B的重力势能减小量 做的总功等于因摩擦而产生的热量，因摩擦 解析：物块A沿斜面向上运动的过程 而产生的热量等于物块B减少的重力势能， 中，弹簧的弹力方向是否改变，无法通过物块 选项D错误。 A单独沿斜面向上运动来判断，可以研究A、 因为在物块A沿斜面上滑的过程中，弹 簧的弹力一直沿斜面向上，物块A的初、末 B两物块一起沿斜面下滑的过程。A、B两 动能都为0，所以物块A所受合外力做的功 物块一起沿斜面下滑，二者始终不分离。假 为0。设单簧的劲度系数为k,初始状态下单 设A、B两物块刚开始下滑时，弹簧处于伸长 簧的压缩量为x。,物块A的位移为x,则物 状态，则弹力沿斜面向下，取沿斜面向下为正 块A所受合外力F:=k(x。一x)一mng sin日 方向，设在最高点单簧的单力为F,斜面倾角 一ng cos0,可见，合外力 为0，动摩擦因数为“，根据牛顿第二定律，对 与位移成一次函数关系， 由A、B两物块组成的整体有F十(nA十 作出合外力随位移变化的O nB)gsin0一4(nA+mB)gcos日=(mA十 图像，如图6所示，因为合 F ms)a,解得a=mA十m。十gsin9-gcos9。 外力做功为0，所以图中两 图6 隔离物块B,若A、B两物块之间有单力，则 个三角形的面积必相等， 物块A对B的弹力必沿斜面向上，大小设为 两个三角形必全等，即物块A上滑到最大位 FAB,对物块B有magsin日一m Bg cos日 移的一半时，合外力必为0，此时物块A的加 速度必为0，选项A错误。 FAB=mgaB.,解得aB=gsin0一ug cos0 答案：B F业。可见，若弹簧处于伸长状态，则由A、B 总结：当题目中涉及的物理量之间不是 m 两物块组成的整体沿斜面下滑时的加速度大 一次函数关系时，可以通过数学变换（倒数 于物块B单独下滑时的加速度，二者必分离， 换元)等转化成一次函数关系，从而利用一次 假设不成立，因此单簧在物块A沿斜面上滑 函数图像中的信息，如交点坐标、截距、斜率、 的过程中一直处于压缩状态，弹簧的弹力方 面积等解决相关问题。希望同学们在平时的 向不发生变化，选项B正确。 学习过程中，不仅要重视物理概念、规律的学 因为弹簧一直处于压缩状态，且A、B两 习，更要重视物理方法的总结、梳理，不断提 物块始终不分离，所以有(mA+mB)gsin日 升自已解决实际问题的能力。 μ(mA+mB)gcos日-F=(mA+mB)a, (责任编辑张巧) 27