例析圆锥摆模型中三种约束情况下的临界问题-《中学生数理化》高考理化2026年7～8月刊

高中理化生被方清中学生数理化 物理部分经典题突破方法 析圆锥罢慎型中 三种约束情况下的临界问题 ■四川省成都市航天中学校 张海军 可视为质点的摆球（物块）系在一根轻质 单力作用。当摆球（物块）做匀速圆周运动的 且不可伸长的细绳一端，细绳另一端悬挂固 角速度增大到某一临界值时，摆球（物块）恰 定。当摆球（物块）在水平面内做匀速圆周运 好脱离水平面，此时水平面对摆球（物块）的 动时，细绳描绘出一个圆锥面的运动轨迹，这 弹力恰好为零。 种装置被称为圆锥摆。在圆锥摆模型中，常 例1如图1所示，长度为1的轻绳下 会出现受约束的临界问题，解决这类临界问 端连着质量为m的小球，上端悬于天花板， 题的关键是先对摆球（物块）进行受力分析， 当把轻绳拉直时，轻绳与竖直方向间的夹角 找到其做圆周运动所需的向心力，再根据牛 =60°，小球静止于固定的光滑水平桌面上， 顿第二定律并结合临界条件列式求解。下面 重力加速度为g,则()。 逐类分析，供同学们参考。 A.当小球以一定的角速度做圆锥摆运 一、水平面约束 动时，小球可能受到重力、支持力和向心力的 可视为质点的摆球（物块）通过悬绳与光 作用 滑水平面接触，会受到垂直于水平面向上的 B.当小球以一定的角速度做圆锥摆运动 EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE 大，而是应该对自已的知识短板和易错点有 看错题干中的重要要求或忽视题干中的某些 充分的认识，从而有偏重地分配时间，使做题 关键细节，如看清单选多选，选是选非、单位 和检查更有效率。在检查时，对待简单有自 限定条件、人物名称等，防止误解题意，答非 信的题目，不能忽视，应当整体地验证一遍， 所问。在验证答案时，也可以通过检验答案 确保没有笔下误等让人捶胸顿足、懊悔不已 是否符合实际情况、基本原理、逻辑常识等方 的低级错误。对待解决不了的困难问题也不 式来迅速判断答案是否正确。另外，在理科 要焦虑，有时战略性减少耗费在难题上的时 科目的做题阶段，应保持草稿纸上所写内容 间，反而会使较容易题目的错误“检出率”更 的条理性，使得计算过程和计算内容清晰可 高，从而拿到更高的分数。另外，在考场上即 读。在检查阶段，通过检查草稿纸上的计算 使做题不顺，也应尽量秉持良好的心态，因为 公式或解题思路，帮助自已在大脑疲急的情 积极的情绪将更能激发人的灵感，使人更容 况下，迅速地锁定错误的解题步骤，避免重复 易想出新颖的思路，更有利于解决开放性和 计算，提升检查效率。 创新性难题。 特别提醒：无论何种考试，最重要的是保 最后，要在检查时采取有针对性的方式。 证试卷上个人信息的完整性，因此很有必要 在做题阶段，对于不确定的题目或不会做的 在交卷前对答题卡进行一遍整体检查，确保 题目可以先跳过，并做上标记，待试卷整体完 自已的考号、姓名、选择题填涂，以及作答位 成后再回过头来作为重点来检查。在检查阶 置等者都是正确的。 段，每道题都要重新认真阅读一下题干，以防 (责任编辑张巧) 15 中学生数理化篇中理化 物理部分 经典题突破方法 2026年7—8月 时，轻绳的张力可能为0 ,点评：本题中，小球被约束在光滑的水平 :做圆锥摆运 桌面上做圆锥摆运动，其临界条件是桌面对 C.当小球以角速度w= 它的支持力恰好为零，此时轻绳与竖直方向 动时，桌面对小球的支持力恰好为0 间的夹角仍为60°，先找到小球在水平面内做 D.当小球以角速度w= g做圆锥摆 圆周运动所需的向心力，再根据牛顿第二定 律列式求出小球脱离桌面的临界角速度，即 运动时，轻绳的张力大小为4ng 可顺利求解相关问题。 二、斜面约束 可视为质点的摆球（物块）通过悬绳与光 滑斜面接触，摆球（物块）在水平面内做圆周 运动，随着角速度的增大摆球（物块）受到斜 图1 面的弹力会减小，当角速度增大到某一临界 解析：当小球以一定的角速度做圆锥摆 值时，摆球（物块）恰好脱离斜面，此时斜面对 运动时，小球可能受到重力、桌面的支持力和 摆球（物块）的弹力恰好为零。 轻绳的拉力作用，当然也可能不受桌面的支 例2（多选题）如图3甲所示，一轻质 持力作用，但向心力是这几个力的合力，属于 细线一端系在光滑固定圆锥体的顶部，另一 效果力，不能当作性质力进行分析，选项A 端系一质量m=0.1kg的小球（可视为质 错误。当小球以一定的角速度做圆锥摆运动 点)。设小球在水平面内做匀速圆周运动的 时，因向心力需由轻绳拉力的水平分力提供， 角速度为w,细线的拉力F随ω变化的图像 故轻绳的张力不可能为零，选项B错误。小 如图3乙所示，取重力加速度g=10m/s。 球做圆锥摆运动，当桌面对小球的支持力恰 下列说法正确的是( )。 好为0时，对小球进行受力分析，如图2所 F/N 示，此时向心力F.由小球所受的重力g和 轻绳拉力T的合力提供。根据牛顿第二定律 和向心力公式得F.=mng tan0=molsin0,解 ，即。=√厚是小球俗好脱离来 得w=1 777777777777777777777 25 o/(rad's) 面的临界角速度，此时N一0，选项C错误。 当小球以角速度w= g做圆锥摆运动时， 图3 A.圆锥母线与轴线间的夹角0=45 其角速度大于临界角速度，小球早已离开桌 B.圆锥母线与轴线间的夹角0=53° 面，假设此时轻绳与竖直方向间的夹角为α， C.细线的长度为3m 4 根据牛顿第二定律得Tsin a=ma'lsin a,解 得T=4mg,选项D正确。 D,细线的长度为？m 解析：对小球进行受力分析，如图4所 示，设细线的长度为1，沿水平方向应用牛顿 第二定律得Fsin0-Ncos0=nw'Isin9,沿 竖直方向列平衡方程得Fcos0十Nsin0= ng。根据F-w2图像中的数据可知，当w'= 图2 0时，细线的拉力F一号N,根指平街条件得 答案：D Fsin 0-Ncos 0=0,Fcos 0+N sin 0=mg, 16 纯修突玻方清中学生凝理化 解得c0s0=号，即)=53，选项A错误，B正 A.当细绳BC刚被拉直时，小球的线速 度大小为5.24m/s 确；当w2=25rad·s2时，细线的拉力F= B.细绳BC先被拉断 三N,此时小球怡好脱离斜面，支持力N为 C.当细绳AC被拉断时，小球的线速度 大小为5m/s 零，小球仅受重力和细线拉力，细线与竖直方 D.当细绳BC被拉断时，小球的线速度 向间的夹角仍为日。根据牛顿第二定律得 大小为5m/s Fsin9=mw'lsin0,解得L=2 3 m,选项C错 误，D正确。 mg mg 图4 图5 图6 答案：BD 解析：细绳BC刚被拉直时，细绳BC中 刚好无张力，对小球进行受力分析，如图6所 点评：求解本题需要弄清楚F-ω2图像中 的起，点和拐点所表示的物理含义。Fw图 示。沿竖直方向列平衡方程得Fasin53°= g,沿水平方向应用牛顿第二定律得 像中的起，点表示小球处于静止状态，据此列 平衡方程，即可求出日角；F-w图像中的拐 Facos53°=m ,,其中，=1=1m,解得 点表示小球受到斜面的弹力恰好为零，此时 细线与竖直方向间的夹角仍为日，根据牛顿 第二定律沿水平方向列出方程，即可求出细 A错误。随着小球的线速度逐渐增大，细绳 线的长度。 BC的拉力FB会不断增大，而细绳AC的拉 三、双轻绳约束 力FA保持不变，因此细绳BC先被拉断，选 可视为质点的摆球（物块）在两根轻质细 项B正确。当细绳BC刚要被拉断时，在水 绳的约束下做圆锥摆运动，会出现摆球（物 块)恰能维持匀速圆周运动而有一根细绳刚 平方向上有P0s53+P=m,且F。 好伸直但张力为零的临界状态，判断临界状 m/s,选项D错误。细 态并做好摆球（物块）的受力分析是正确求解 2mg,解得u,=0 2 此类问题的前提。 绳BC被拉断后，小球的线速度继续增大，细 例3（多选题）如图5所示，AB为竖 绳AC与竖直方向间的夹角也会变大。设当 直转轴，轻质细绳AC和BC的结点C处系 细绳AC刚要被拉断时，细绳AC与竖直方 向间的夹角为a,则细绳AC的拉力FA'= 一质量为m的小球（可视为质点），两根细绳 能承受的最大拉力均为2mg。当细绳AC和 2ng,FA'cosa=ng,解得cosa=7,即a= BC均拉直时，细绳BC的长度l=1m, 60°。设细绳AC的长度为L,沿水平方向应 ∠ABC=90°，∠ACB=53°。细绳AC和BC 能绕竖直轴AB匀速转动，使得小球在水平 用牛顿第二定律得F'sina=mLna,根 面内做匀速圆周运动。当小球的线速度逐渐 增大时，两根细绳均会被拉断，取重力加速度 据几何关系得L 5 sin37o=3m,解得u,= g=10m/s2,sin53°=0.8，cos53°=0.6， 5m/s,选项C正确。 则( )。 答案：BC 17 经典题突破方法 中学生数理化高中理化2026年-8月 物理部分 ,点评：本题中，当小球的线速度增大到细 内做匀速圆周运动的角速度为w时，细线的 绳BC刚被拉直时，对小球进行受力分析易 拉力大小为T,T与的变化关系图像如图 知，向心力由细绳AC拉力的水平分力提供， 8乙所示。已知圆锥母线与轴线间的夹角为 根据向心力公式可求其线速度；小球的线速 6,重力加速度为g,则当细线的拉力T=T 度继续增大，细绳AC的拉力不变，细绳BC 时，小球角速度的大小为( 的拉力变大，所以细绳BC先被拉断：细绳 BC被拉断后，小球的线速度继续增大，细绳 AC与竖直方向间的夹角α也增大，当细绳 AC也要被拉断时，根据牛顿第二定律结合 向心力公式列式即可求出对应的线速度。 777777777元 77777 总结：求解圆锥摆模型中三种约束情况 甲 下的临界问题关键在于正确分析摆球（物块） 的受力情况、运动情况、临界条件，结合平衡 图8 条件、向心力公式、牛顿第二定律和圆周运动 A.@ To B.w cos 0 知识列出关系式。 cos日WTg √T。 个银踪训练 T:cos0 C.wi√Tosin0 D.w1sin0√Tg 1.如图7所示，质量为m的小球用轻质 3.(多选题)如图9所示，一质量为m的 细线悬挂在天花板上的O1点，使之绕O,点 小球用两根长度均为（的轻质细绳1、2系 正下方、光滑水平桌面上的O:点做匀速圆周 着，两根细绳另一端分别固定在竖直转轴上 运动，已知O1、O:两点间的距离为H,细线 的a、b两点，a、b两点间的距离也为L。当竖 与竖直方向间的夹角为0，重力加速度为g, 直转轴以角速度ω转动时，两根细绳均处于 细线始终伸直且小球始终未离开桌面。下列 伸直状态，已知重力加速度为g,则下列说法 说法正确的是( )。 正确的是( )。 图7 图9 A,细线的拉力大小可能为0 A.要保证两根细绳均处于伸直状态，竖 B.当桌面对小球的支持力等于小球重力 g 的一半时，小球的向心加速度大小为2gtan0 直转轴的最小角速度为√ 时 C.当小球的运动周期等于2√号 B.当竖直转轴的角速度增大到一定程度 时，细绳1可以处于松弛状态 桌面对小球的支持力刚好为0 C.当两根细绳均处于伸直状态时，细绳 D.当小球的线速度大小为o时，桌面对 1的张力与细绳2的张力差值恒定 小球的支持力大小为mg十 n09 Htan0 D当竖宜转轴的角速度为2√气时，细 2.如图8甲所示，一轻质细线一端系一 绳2的张力大小等于mg 小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆 参考答案：1.C2.B3.ACD 锥顶端，细线与斜面平行。当小球在水平面 (责任编辑张巧) 18