3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，适配新授课巩固与思维提升，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|离心率、焦点、标准方程等单一概念|单选考离心率计算（题1）、焦点坐标应用（题2），夯实基础| |提升层|性质综合（对称性、焦距对比等）|多选对比两椭圆焦距与焦点（题6），填空求长轴范围（题8），深化理解| |综合层|几何情境与定义应用|解答题结合圆柱截面求椭圆参数（题13），焦点三角形周长计算（题14），培养推理与空间观念|

第1课时　椭圆的简单几何性质 1. (2025春·上海校级期中) 若椭圆的离心率，则的值为（　　） A. 16 B. 16或 C.  D. 3或 2.已知椭圆的离心率为，焦点是（－3，0）和（3，0），则椭圆方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.若点（3，2）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，则（　　） A.点（－3，－2）不在椭圆上 B.点（3，－2）不在椭圆上 C.点（－3，2）在椭圆上 D.无法判断点（－3，－2），（3，－2），（－3，2）是否在椭圆上 4.（2024·焦作月考）已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（　　） A.＋y2＝1 B.＋x2＝1 C.x2＋＝1 D.x2＋＝1 5.（多选）（2024·镇江月考）若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为（0，1），则下列关于椭圆C的结论中正确的有（　　） A.m＝2 B.长轴长为 C.短轴长为2 D.离心率为 6.（多选）已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1（k＜9且k≠0），下列说法正确的是（　　） A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B.两曲线的焦距相等 C.两曲线有相同的焦点 D.两曲线的离心率相等 7.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则　　　　更扁（填序号）. 8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜e≤，则长轴长的取值范围为　　　　. 9. (2025高二上·广州月考) 焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过P(3, -2)的椭圆的标准方程为　　　　. 10.焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P（，1）在椭圆上. （1）求m的值； （2）求这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 11. (2026春·金沙县期中) 焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（　　） A. 长轴为4 B. 短轴为2 C. 焦距为 D. 离心率 12.（多选）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（　　） A.椭圆C的方程为＋x2＝1 B.椭圆C的方程为＋y2＝1 C.｜PQ｜＝ D.△PF2Q的周长为4 13.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为　　　　 cm，短轴长为　　　　 cm，离心率为　　　　. 14. (2025春·上海校级期中) 已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点、，连接和. (1) 写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2) 求的周长。 15.（2024·南京质检）如图，把椭圆＋＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝　　　　. 16.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3｜F1B｜. （1）若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜； （2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 第1课时　椭圆的简单几何性质 1.B　椭圆的离心率，当焦点在轴时，有，，则，解得；当焦点在轴时，有，，则，解得，因为，满足题意，综上所述，或. 2.A　由题意知椭圆的焦点在x轴上，c＝3，＝，则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆方程为＋＝1. 3.C　点（－3，2）与（3，2）关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，选C. 4.D　因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则c2＝a2－b2＝（）2＝3，且a＝2b，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.故选D. 5.ACD　由已知可得＝1，解得m＝2或m＝－1（舍去），∴椭圆C的方程为＋＝1.∴a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，则c＝1.∴长轴长为2a＝2，短轴长为2b＝2，离心率为e＝＝＝.故选A、C、D. 6.ABC　∵k＜9，∴25－k＞9－k＞0，又25＞9＞0，∴两曲线都是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2×＝8，曲线C2的焦距为2＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝，曲线C2的离心率e2＝，故D不正确.故选A、B、C. 7.①　解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1＞e2，故①更扁. 8.（2，4]　解析：∵e＝，b＝1，0＜e≤，∴≤，则1＜a≤2，∴2＜2a≤4，即长轴长的取值范围是（2，4]. 9. 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的标准方程为，由题意，得，解得，所以椭圆的标准方程为． 10.解：（1）由题意，点P（，1）在椭圆上，代入得＋＝1，解得m＝2. （2）由（1）知，椭圆方程为＋＝1， 则a＝2，b＝，c＝， 椭圆的长轴长2a＝4；短轴长2b＝2； 焦距2c＝2；离心率e＝＝. 11.D　设椭圆的方程为，因为椭圆过点，，所以，解得，，所以椭圆的长轴长为，短轴长为，故选项和错误；由，知，所以椭圆的焦距为，故选项错误；椭圆的离心率，故选项正确.. 12.ACD　由已知得，2b＝2，b＝1，＝，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴椭圆方程为x2＋＝1，如图.∴｜PQ｜＝＝＝，△PF2Q的周长为4a＝4.故选A、C、D. 13.8　12　　解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8（cm），则c2＝（4）2－62＝12，∴c＝2，∴离心率e＝＝. 14.解：(1) 椭圆方程为，焦点在轴上，，，， ，，，长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为；. （2） ，两点在椭圆上，，， 的周长为. 15.35 　解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35. 16.解：（1）由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4，得｜AF1｜＝3，｜F1B｜＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16， ｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8， 故｜AF2｜＝8－3＝5. （2）设｜F1B｜＝k，k＞0，则｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k. 由椭圆定义可得｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB｜2＝｜AF2｜2＋｜BF2｜2－2｜AF2｜·｜BF2｜·cos∠AF2B， 即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－（2a－3k）（2a－k）. 化简可得（a＋k）（a－3k）＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k. 因此｜BF2｜2＝｜F2A｜2＋｜AB｜2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $