距离模型：巧解最值问题的钥匙-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

解题篇创新题追根溯源 高二数学2026年7-8月 中学生数理化 距离模型：巧解最值问题的钥匙 ■江苏省江阴中等专业学校 崔永红（正高级教师） 最值问题在高中数学中占有重要地位， 上式可看成点M(x,x2)到点A(4,3)与 其题型多样，解法灵活，是同学们学习的难点 B(0,2)的距离之和。 之一。许多代数最值问题具有隐蔽的几何背 又点M(x,x) 景，若能根据其结构特征，构造适当的距离模 在抛物线y=x上， 型（如两点间的距离、点到直线的距离等），往 作出符合题意的图 往可以化抽象为直观、化复杂为简单。 形，如图1所示。 一、构造两点间的距离模型 由三角形不等式 根据代数式的结构特征，可将其视为两 可知，当A,M,B三 点间的距离（或距离的平方），从而利用几何 点共线且点M位于 图1 中的最短路径原理或三角形不等式求解。 线段AB上时，S= 1.构造圆上的点到定点的距离 |MA|+|MB的值最小，计算得|AB|=√I7。 例1实数x,y满足x2+y-2x+ 因此Sn=√I7。 4y一20=0，求x+y2的最小值。 思路点拨：当函数式中出现两个根式，且 解析：方程x十y2一2x十4y一20=0表 每个根式内均为平方和时，可尝试配方构造 示圆心为C(1,一2)，半径r=5的圆。 两点间的距离模型。若动点满足某曲线方程 设P(x,y)是圆上一点，则x2十y2是动 (如y=x),则问题转化为曲线上动点到两 点P(x,y)到坐标原点O(0,0)距离的平方。 定点距离之和的最值，通常利用“两点之间线 由于|OC|=√+（一2)=√5<x,故 段最短”或“折线段化直”原理求解。 点O在圆内。 3.构造双曲线上的点到定点与准线的距 所以|OP|in=r-1OC|=5-√5。 离关系 因此(x2+y2)m=(5一√5)=30- 例3已知实数x,y满足4x一y= 10W5。 4(x≥1)，求S=W(x-2)+(y-1)+ 思路点拨：若表达式形如 .√x-5)+y的最小值。 5 √(x:一x1)+(y一y1),则可优先考虑两 点间的距离模型。对于形如x十y的最值 解析：4x一y=4(x≥1)变形为2- 问题，可联想其几何意义，表示动点(x,y)到 =1(x≥1)，它表 原点距离的平方。若动点满足圆的方程，则 示双曲线的右 问题转化为圆上一点到定点距离的最值问 支，右焦点为 题，注意定点在圆内、圆上、圆外三种情形的 F(√5,0)，离心率 不同处理方式。 e=√5，右准线方 2.构造抛物线上的动点到两定点的距离 之和 程为x= 5,如 例2求函数S=√x-5x-8.x+25+ 图2所示。 /x一3x2+4的最小值。 点P(x,y) 解析：题中式于变形可得： 为双曲线右支上 图2 √(x-4)+(x-3) 的一个动点，则 √x十(x-2)。 √(x-2)+(y-1)是点P(x,y)与点 65 解题篇创新题追根溯源 中学生数理化高二数学2026年78月 A(2,1)的距离，W(x-√5)2+y2是点P(x, 方程x2十y2一4x+1=0表示圆心为 y)到双曲线右焦点F(√5,0)的距离。 C(2,0),半径r=√3的圆。 直线1：5x十2y一1一t=0与圆C有公 所以S=PA1+51PF1. 5 共点，则圆心C(2,0)到直线1的距离d= 过双曲线右支上任一点P作右准线的 9-t≤3，解得9-√87≤t≤9十√87。 √29 垂线，E为垂足。由双曲线定义知e=PF PE 所以t=x2十y2+x+2y的取值范围是 =√5，|PF|=√5|PE1,所以S=|PA|+ [9-√87,9+√87]。 IPFI-IPAI+IPEL. 思路点拨：若问题中含有Ax十By十C 型目标式或约束条件，则可尝试用点到直线 由图2可知，当P、A、E三点在一条直 的距离公式求解。变式题通过代入消元将目 线上且P位于A与准线之间时，(|PA|+ 标式化为线性表达式，再构造直线与圆的位 1PEI)=2- 置关系求解，体现了化归思想的灵活性，该变 5 式题也可以将目标式配方，构造定点到圆上 思路点拨：当表达式中含有形如 的点之间距离的最值加以解决。 √(x一c)+y的项，且动点满足圆锥曲线方 2.无理式的换元与直线与圆相交模型 程时，可考虑利用圆锥曲线的定义与性质（如 例5求函数x=√+2+√1-t的最 到焦点与对应准线的距离之比为离心率)转 大值。 化为距离模型。如本题将气 |PF|转化为 解析：设x=√：十2，y=√1一t。 则x十y=3(x≥0，y≥0)表示圆心为 PE,从而顺利解决问题。 O(0,0),半径r=√3的圆弧（第一象限内）。 二、构造点到直线的距离模型 目标式化为之=x十 对于目标式为线性表达式或可化为线性 y,即直线l:x十y一之= 形式的问题，可构造直线方程，利用点到直线 0,y=一x十之，x为直线 的距离公式建立不等式求最值。 1在y轴上的截距，如图 1圆上的点到直线距离的最值 3所示。 例4已知实数x,y满足x+y 因为直线1与圆O 2x+4y=0,求x一2y的取值范围。 有公共点，所以当直线1 图3 解析：方程x2+y一2x+4y=0表示圆 与圆相切时，直线1在y轴上的截距最大。 心为C(1,一2)，半径r=5的圆。 当O(0,0)到直线1的距离d==3时， 设t=x一2y,则直线l:x-2y一t=0。 √2 由于点(x,y)在圆x2+y2-2x+4y=0 的值最大。 上，故直线1与圆C有公共点。 解得之x=√6。 于是圆心C(1,一2)到直线l的距离d= 3.半圆模型与直线截距问题 11-2×(-2)-1≤5。 √5 例6求函数之=一 1 2 x十 解得t的取值范围是[0,10]，即x一2y √一x一4x的最大值。 的取值范围是[0,10]。 解析：设y=√一x一4x,则(x十2)2十 变式：已知实数x,y满足x2十y2一4x+ y2=4(y≥0)，表示圆心为C(一2,0)，半径 1=0,求t=x+y+x十2y的取值范围。 r=2的上半圆。 解析：由条件得x2十y2=4x一1，代入目 (下转第68页) 标式得t=x2+y2+x+2y=5x+2y一1。 66 中学生表理化餐望赞学创新穿靓损月 (上接第66页) 目标式可化为之 往得到圆或圆弧方程。将原函数视为直线方 2x十y,即直线 1 程，利用圆心到直线距离不超过半径建立不 三一 等式，是求这类复合函数值域的通用方法。 1:-2x十y-=0 1 总之，构造距离模型解决最值问题，是 “数形结合”思想的具体应用。关键在于：一 1 y=2x十之，2为直线 图4 要识别结构，观察代数式是否可配方为平方 1在y轴上的截距，如 和形式，或是否具有线性特征；二要选择模 图4所示。 型，根据结构特征选择两点间的距离、点到直 当圆心C(一2,0)到直线1的距离d= 线的距离或曲线定义下的距离转化：三要几 1 何转化，将代数最值问题转化为几何中的最 2 ×(-2)+0-之 =2时，x的值最大。 短路径、点到直线的距离等问题；四要数形结 )+1 合求解，借助几何直观，结合代数计算完成 求解。 解得之mx=1十√5。 这种方法不仅简化计算，更能深化同学 因此，之的最大值为1十√5。 们对数学内在统一性的理解，提升数学核心 思路点拨：当函数式中同时出现线性项 素养与思维品质。 与根式项时，可尝试令根式部分为新变量，往 (责任编辑徐利杰) 68