足球比赛中的概率问题分类精讲-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

足球比赛中的慨 ■安徽省宣城市第 足球比赛中的概率问题是概率统计模块 的经典应用题型，这类题目情境生动、贴近生 活，能有效考查同学们对概率模型的理解和 计算能力。下面以足球比赛为背景，梳理其 中常见的概率问题，通过分类解析，帮助同学 们掌握相关题型的解题思路与方法。 一、点球大战中的概率应用 点球大战是决定足球比赛胜负的紧张环 节，其过程具有多轮次、条件独立、随时可能 结束等特点。此类问题常涉及球员射门与守 门员扑救的方向选择及扑救成功率等复杂因 素，主要考查全概率公式和条件概率，可能有 多个阶段或轮次。解题的核心是明确事件定 义（进球、扑出、踢飞等），分析各环节的概率 关系，使用全概率公式计算复杂事件的概率， 注意互斥事件的加法原理。 例1“村超”是贵州省榕江县举办的 “和美乡村足球超级联赛”的简称。在2023 年火爆“出圈”后，“村超”热度不减。2024年 1月6日，万众瞩目的“村超”新赛季在“村 味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球 发起的“乐于”正转化为乡村振兴的“路于” 已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局， 需要进行点球比赛决定胜负。甲、乙两队每 位球员在对方没有守门员守球的情况下将足 球踢进对方球门的概率均为号，甲、乙两队守 门员扑出对方球员点球的概率分别为？ 现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员 踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两 队各有一名球员踢球结束为1轮对抗。经过 数轮对抗后，当一方球队比另一方球队多进 2个球时，比赛结束。假定甲、乙球队互不影 响，各轮结果也互不影响。记在1轮对抗中， 高解学经典突破方清中学生教理化 高二数学2026年7一8月 率问题分类精讲 二中学 刘萍萍 甲队踢进足球为事件A,乙队踢进足球为事 件B。 (1)求P(A),P(B): (2)经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数 之差为X,求X的概率分布列及数学期望： (3)求恰好在第4轮对抗后比赛结束且 甲队获胜的概率。 思路分析：(1)考虑甲队踢进乙队球门且 乙队守门员未扑出，乙队同理；(2)单轮得分 差X可能为一1,0,1，分别对应乙进甲未进， 甲、乙都进或都未进，甲进乙未进：(3)“第4 轮结束且甲胜”意味着前3轮未结束，第4轮 甲进球后甲领先2球，要按乙队在前3轮进 球数分类讨论。 解：1)由题意知P(A)=号×是- (2)X的可能取值为一1,0,1。 P(X=-1)=PAB=号×号- P(X=0)=P(AB+AB)=P(AB)+ PAB)=子×+1X2=1 2×3+2×3=29 P(X=1D=P(AB)=号×号=号 、21 所以X的分布列如表1所示。 表1 -1 0 1 1 23 所以E(X)=-日+0+日- 1 (3)若乙队踢进0个球，则甲队比乙队多 进2个球，且第4轮甲队进球，其概率为 59 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高二数学2026年78月 若乙队踢进1个球，则甲队比乙队多进2 个球，且第4轮甲队进球，乙队未进球，前3 轮中不出现甲队在前2轮进2球，乙队在第3 轮进球，其概率为(CC-1)×子×（号）厂'× (分）)×日×日奇： 若乙队踢进2个球，则甲队比乙队多进2 个球，且第4轮甲队进球，乙队未进球，其概 率为C× ()×号×号×（分）= 所以恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲 4 131 队获胜的概率为27十81+108-324· 点评：本题融合全概率公式与多轮次条 件结束模型，难度较大。关键是要注意“前3 轮不满足结束条件”这一约束，尤其在乙进1 球的情形中要排除提前结束的排列。此类问 题适合用分类讨论与组合计数结合的方法。 二、比赛决策中的概率应用 此类问题模拟足球训练或特定比赛规则 下的得分场景，通常涉及不同的得分值和成 功率，得分结果的胜负判定或决策优化等。 解题的核心是根据问题要求，定义合适的随 机变量（如总得分、获胜次数等），计算不同策 略下目标（如期望得分）的数值，并比较大小。 例2学校进行足球专项测试考核，考 核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门” 两个项目。规定：“定位球传准”考核合格得 4分，否则得0分：“20米运球绕杆射门”考核 合格得6分，否则得0分。现将某班学生分 为两组，一组先进行“定位球传准”考核，另一 组先进行“20米运球绕杆射门”考核。若先 考核的项目不合格，则无须进行下一个项目， 直接判定为考核不合格；若先考核的项目合 格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个 项目考核是否合格都结束考核。已知小明 “定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米 运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每 个项目考核合格的概率与考核次序无关。 (1)若小明先进行“定位球传准”考核，记X 60 为小明结束考核后的累计得分，求X的分布列。 (2)为使累计得分的期望最大，小明应选 择先进行哪个项目的考核？请说明理由。 思路分析：(1)根据考核规则，若第一项 不合格，则得0分；若第一项合格，则进入第 二项，第二项合格得10分，不合格得4分。 (2)分别计算两种顺序下的得分期望，并比较 大小。 解：(1)由已知可得，X的所有可能取值 为0,4,10，则P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,P(X 10)=0.8×0.7=0.56。 所以X的分布列如表2所示。 表2 X 0 4 10 P 0.20.240.56 (2)小明应选择先进行“定位球传准”考 核，理由如下： 由(1)可知，小明先进行“定位球传准”考 核，累计得分的期望E(X)=0×0.2十4× 0.24+10×0.56=6.56。 若小明先进行“20米运球绕杆射门”考 核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可 能取值为0,6,10，P(Y=0)=1一0.7=0.3， P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y= 10)=0.7×0.8=0.56,故Y的期望E(Y)= 0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44。 因为E(X)>E(Y),所以为使累计得分 的期望最大，小明应选择先进行“定位球传 准”考核。 ,点评：本题是期望值在最优决策中应用 的典型案例。直观上，为什么先进行“定位球 传准”考核更好？因为“定位球传准”考核合 格的概率为0.8，高于“20米运球绕杆射门” 考核合格的概率0.7。先考合格率高的项 目，更有可能“存活”下来进入第二轮，从而有 机会拿到高分(10分)。如果先考合格率低 的项目，容易在第一关就失败得0分。 三、知识竞赛中的概率应用 此类问题将概率论与知识问答相结合， 背景新颖，主要考查条件概率、全概率公式与 二项分布等。解题的核心方法是正确定义事 件，区分概率类型，明确哪些是已知的先验概 率（如题目类型比例），哪些是条件概率（如 “会做则一定答对”)，哪些是需要求解的后验 概率（如“答对了，那他会做吗”），运用相关公 式（如条件概率公式、全概率公式）求解。 例3某校为庆祝建校百年，组织建校 百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关 三大球类运动的知识竞赛，题库中篮球，足 球，排球三类相关知识题量占比分别为马， 行，0。甲校友回答篮球，足球，排球这三类 23 问题中每个题的正确车分别为号，号 (1)若甲校友在该题库中任选一题作答， 求他回答正确的概率。 (2)若甲校友从这三类题中各任选一题 作答，回答正确得3分，回答错误得一1分。 设该校友回答三题后的总得分为X,求X的 分布列及数学期望 (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取 2n道题目，答对题目数不少于n道，即可获 得奖励。现以获得奖励的概率大小为依据， 若甲校友在n=4和n=5之中选其一，则他 应如何选择？说明理由。 思路分析：(1)使用全概率公式，按题目 类型分类计算答对概率：(2)三类题目独立， 列举答对题数对应的得分组合：(3)计算n= 4和n=5的获奖概率，并比较大小。 解：(1)设B=“甲校友所选的题目回答 正确”，A,=“所选的题目为篮球相关知识的 题目”，A,=“所选的题目为足球相关知识的 题目”，A3=“所选的题目为排球相关知识的 题目”，则2=A,UAUA3,且A1,A,A3两 两互斥。 根据题意得P(A)=品，P(A:)=号 0,P(B1A)=2 P(A)=3 ,P(B1A)=3, 5 P(BA)=2. 1 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A。)· 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7-8月 中学生数理化 P(BA2 )+P(A3)P(BA3)= 3 2 ×3 633159 <5+10×2=100 所以甲校友在该题库中任选一题作答， 他回答正确的概率为品 (2)X的可能取值为一3,1,5,9。 P(x=-3)=(1-号)×(1-)× (1-2)=6: P(x=1)=号×(1-)×(1-2)+ (1-子)×号×(1-2)+(1-子)× P(X=5)=号×号×(1-)+子× 1-)×2+(1-)×g×3-品 P(X=9)=2×3×11 3×5×2 -5 X的分布列如表3所示。 表3 X -3 1 6 9 3 10 30 5 所以E(X)=(-3)×5+1× 3 0+5X 30+9×1=61 1 、51591 (3)当n=4时，Y为甲校友答对题目的 数量，由题意可知Y~B(8,p),其中p= 100,故当n=4时，甲校友获得奖励的概率 59 P1=P(Y=4)+P(Y≥5)。 当n=5时，甲校友获得奖励的情况有如 下三种： ①前8题答对题目的数量大于等于5： ②前8题答对题目的数量等于4，且最后 2题至少答对1题： ③前8题答对题目的数量等于3，且最后 2题全部答对。 (下转第64页) 61 中学生表理化餐薇学品异爽析月 00000000w000000m0000w00000m00w0200000000w0000000g0000m0000000000000g0000g0000 (上接第61页) 故当n=5时，甲校友获得奖励的概率 (3)问难度较高，要理解“获奖”条件在不同n P=P(Y≥5)+P(Y=4)[1-(1-p)2]+ 值下的概率结构，并通过概率差进行判断，体 P(Y=3)p2。 现了概率知识在决策分析中的应用价值。 所以P。一P1=P(Y=4)(2p一p)+ 比赛中的概率问题生动体现了数学与现 P(Y=3)p2-P(Y=4)=P(Y=3)p2-P(Y 实生活的紧密联系。通过对赛制分析、积分 =4)(1-p)2=pCp3(1-p)-(1 分布、比赛决策等问题的探讨，同学们不仅要 掌握概率计算的基本方法，也要学会如何用 p)C8p(1-p)=p(1-p)5[56p-70(1 数学眼光解读比赛规则、优化决策策略。希 p)]=p(1-p)i(126p-70)。 望同学们在今后的学习中，能继续以兴趣为 因为力50，所以126力-70>0.即 引，以问题为媒，将数学工具应用于更广阔的 P>P1,所以甲校友应选n=5。 现实场景中，不断提升自身的逻辑思维与数 点评：本题综合考查全概率公式、离散型 学建模能力。 随机变量的分布列、二项分布及决策分析。 (责任编辑赵倩) 64