从分类到化归：数列奇偶项处理的思维进阶路径-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

尊经典玻方清中学生款理化 M分类到化归： 数列奇偶顶处理的思维进阶路径 ■陕西师范大学出版总社有限公司 燕娜 数列是历年高考数学的主要考点之一，特 显然(am+1十am+)一(am十am+1)=[4(n 别是以混合数列形式创新设置的综合应用问 +1)+2]-(4n+2)=4(常数)，n∈N。 题，成为近年新高考数学卷中数列试题的一个 所以数列{am十am+1}是首项为a1十a:= 创新点。下面借助一个数列中的奇偶项为两个 6,公差为4的等差数列。 不同的特殊数列（等差数列或等比数列）问题， (2)方法1：（分类讨论法）由(1)知am-1十 进行解法探究，并从不同角度做拓展延伸，充分 aw=4(n一1)+2=4n一2，n∈N",n≥2。 体现高考“在知识交汇处命题”的宗旨。 当n为偶数时，S,=(a1十a2)十(a3十 1.问题呈现 a)+…+(am-1+am)=(4×2-2)+(4× (2023届广东省深圳市高三年级第一次 调研考试数学试卷第17题)记S,为数列{an} x2+) 4-2)+…十(4n-2)=4×- 2 的前n项和，已知S,-2+n十1，n∈N。 2X 2=n2+n。 (1)求a1十a2,并证明{a,十am+1}是等差 当n为奇数时，Sm=a1十(a,十a)+ 数列： (a,+a:)+…+(am-1+an)=4+(4×3-2) (2)求S,的值。 +(4×5一2)+…+(4n一2)=4+4× 深入分析题目特征，发现数列{am}的奇 n-1 X(3+n) 数项与偶数项分别构成两个不同的等差数 2 列，巧妙地将复合数列糅合为一个单一数列， 2 -2×”1 =n2+n+2。 2 实现“二合一”的“老瓶装新酒”形式，极具基 fn2十n,n为偶数， 综上，Sm= 础性、综合性与创新性。 n十n+2,n为奇数。 2.问题解答 解后反思：方法1侧重分类讨论思想的 解析：(1)当n=1时，可得S1=a1= 渗透，根据已知条件，通过并项求和法来处 理，引发对参数n的奇偶性的分类讨论，同时 +12+1,解得a1=4。 2 在分类讨论时要注意对数列中的连续项的合 理配对。对项数n的奇偶性情况分类讨论是 当n=2时，可得S:=a1十a2= 三+2+ 2 解决此类问题较为常用的一种基本技巧与方 1,解得a2=2。 法，关键在于能否正确根据项数n的奇偶性 所以a1十a2=6。 来构建求和关系式。从逻辑上分析，分类讨 易知S.-2十n+1。① 论的本质是“排中律”在数学解题中的具体应 用，它可以化整体困难为局部可解，有效降低 则S1=艺+(n+1)'+1。@ 解题难度。 由②-①可得a+1=0,-2十（n十 方法2：（等比数列法1）由S。=2+ 2 2 2 1)一n2,整理得am十aw+1=4n十2，n∈N"。 m+1.可得s.=S二，S十m+1,即S. 2 31 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7-8月 -S。-1+2n2+2。 +(-1)3+.+(-1)"+1门=n(n十1)十2× 所以S.一n2-n-1=-[S.-1-(n-1) 1-(-1)” 1+1 =n2+n+1+(-1)+1。 -(n-1)-1],n∈N",n≥2。 因为S1一1一1一1=1≠0，所以数列 解后反思：根据题设条件，通过数列奇偶 项之间的关系，从奇偶项不同场景来构建不 {S。n2一n一1}是首项为1，公比为一1的等 比数列。 同的数列类型，进而分奇偶项来确定相关的 因此S。一n2一n-1=1×(一1)”-1= 通项公式，并整合与应用，这是解决数列通项 公式或求和问题时比较常用的技巧与方法。 (-1)"-1,即Sm=n2+n+1十(-1)w-1。 这一过程深刻揭示了数列的“离散函数”本 方法3：（等比数列法2）由(1)知am+ 质：定义在正整数集上的函数am,当自变量n am+1=4n十2，变形可得am+1一2(n十1)= 的奇偶性不同时，对应不同的对应法则。将 -(am2n)。 两个“于函数”a-1(线性函数)和an（线性函 因为a1一2=2≠0，所以数列{aw一2n} 是首项为2，公比为一1的等比数列。 数)整合为一个封闭表达式2n十2· (一1)+1，体现了用统一解析式刻画分段函数 因此am一2n=2×(一1)-1，即am= 的内涵。化归思维在解决数列的奇偶项不同 2n+2×(-1)”-1。 规律问题中比较常用。 所以Sn=2(1+2+…+n)+2[(-1) 3.学习启示 +(-1)1+…+(-1)"-1]=n(n+1)+2× 3.1抓住递推式特征，合理分类讨论 1一(-1)” 1+1 =n2+n十1+(-1)+。 解决涉及数列的奇偶项各为一个特殊数 解后反思：方法2和方法3的根本思路 列的混合数列的综合应用问题时，要抓住数 是待定系数法的应用。根据题设条件或前面 列递推式的结构特征，常规思维就是合理分 的结论，合理配凑，通过以{Sn}或{am}及对应 类讨论，进而确定数列的奇偶项各自对应的 的线性关系式为数列，运用待定系数法构建 特殊数列类型（等差数列或等比数列），为进 相应的数列。从数学方法论的角度看，方法 一步的分析与应用奠定基础。 2和方法3的核心为“化归思想”一一通过巧 3.2抓住数列基本知识，合理综合应用 妙的代数变形（构造辅助数列），将原本非线 数列作为离散函数的典型代表之一，在 性的递推关系化归为等比数列这一标准模 解决具体问题时往往要从数列的函数性质入 型。这正是波利亚所说的“当你遇到一个陌 手，挖掘相关数列（等差数列与等比数列）的 生问题时，试着把它转化成一个你熟悉的问 概念、通项公式、求和公式等，分析这些知识 题”的经典例证。观察结构、猜测形式、验证 与函数之间的内在联系，从而借助函数知识 系数，最终完成数列的构造过程，体现了“合 解决数列问题，有效构建数列与函数的关联， 情推理”特征。 使得零碎的知识系统化，培养同学们的整体 方法4：（通项公式转化法）由(1)知am+ 意识。 am+1=4n十2，n∈N,则am+1十am+2=4(n十 4.结语 1)十2=4n十6。两式对应相减可得am+:一a。 数列奇偶项的解题策略，表面上看是解 =4,所以数列{an}的奇数项构成一个以a1= 题技巧，实质上是数学思想方法的渗透，更 4为首项，4为公差的等差数列；偶数项构成 上层则是数学思维品质与核心素养的格地。 一个以a2=2为首项，4为公差的等差数列。 因此，在日常学习中，同学们要透过技巧看 则a2m-1=4+4(n一1)=4n,am=2+ 思想，透过解法看思维，透过题目看本质，让 数列成为思维品质锤炼、数学素养落地的有 4(n一1)=4n-2。 所以a,=2n+2·(-1)"+1。 效途径。 (责任编辑徐利杰) 因此Sm=2(1+2+…+n)+2[(-1) 32