同构法在解析几何中的应用-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

知等商点喜轻师村筲中学生款理化 同构法在解析几何中的应用 ■甘肃省白银市第一中学 胡贵平 数学中的同构式是指除了变量不同，结 因为x-y=1,所以x-1=yi,y1+1 构相同的表达式。同构思想是解题时的一种 =x1。 重要思想，其核心在于敏锐捕捉不同代数式 代入(*)式，得： 的结构相似性，通过针对性的代数变形进行 yik2-2x1y1k+x=0,即(y1k一x1)2= 统一构造，将复杂问题转化为具有相同结构 0,k=x 的标准形式，进而简化分析与求解过程。同 构法在解析几何中应用非常广泛，比如斜率 PA:y-y1=(-)=-1. 之和、斜率之积为定值，恒过定点，切点弦，双 y 切线等问题，使用同构法可以大大简化运算， 同理，切线PB的方程为y2y=x2x一1。 因为P(m,y在切线PA,PB上，所以 大幅提升解题效率与准确率。 (yoy1=mx1-1, 一、圆锥曲线中的直线同构 A,B两点坐标满足直线方 yoy2=mx2-1。 若点A(x1,y1)和点B(x,y:)满足的方 程yy=mx一1，而两点确定唯一一条直线， 程结构相同，则A,B为方程所表示的曲线上 即AB:yoy=mx-1。 的两点。特别地，若A(x1,y1),B(x2,y)满 足a.x1+by1+c=0,ax2十by2+c=0,则直 工一n时，无论y。为何值，等式均成 当 线AB的方程为a.x十by十c=0。这也是切 y=0 点弦方程推导的核心思路。 立。故点(0)恒在直线AB上。 例1设点P(xo,y。)在直线x=m (y≠士m,0<n<1,且m为常数)上，过点P 故直线AB恒过定点（分0）小 作双曲线x?一y2=1的两条切线PA,PB, 二、根与系数关系中的方程同构 切点为A,B,求证：直线AB过某一个定点。 若方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特 解析：设A(x1,y1),B(x2,y),直线PA 征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根。 的斜率为k,则PA:y一y1=k(x一x1)。 若两个不同的未知实数（如m,n)满足一元二 联立方程一少=(2一x), 消去y可 次方程，且方程为同构式，则该方程的解为给 x2-y2=1, 定的未知实数（如m,n),进而可以利用根与系 得x2-[kx十(-kx1+y1)]=1。 数的关系。这是解决双切线、斜率和（积）为定 整理得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x 值时，直线恒过定点问题的核心思路。 (y1-kx1)2-1=0。 例2已知P.Q为椭圈c:号+号-1 因为直线PA与双曲线相切，所以△= 4k2·(y1-kx1)2+4(1-k2)(y1-kx1)十 上异于长轴端点的两点，A为椭圆C的左顶 点。设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k,若 4(1一k2)=0。 故4(y1一kx1)2+4(1一k)=0。 :·k:=一子，判断直线PQ是否过定点。 故k2x一2kx1y1十y十1一k2=0→ 若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点， (x-1)k一2kx1y1+(y+1)=0。(￥) 请说明理由。 13 中学生款理化智薇学新高器斧护月 解析：如图1，设直线AP,AQ的方程分 十誉-1，解答过程略。 为忠 别为y=k:(x十2)(i=1,2)。设直线PQ的 方程为y=k。x十m。 (2)由(1)可得F(1,0)。 当直线AC的斜率不存在时，AC:x=1, BD:y=0。则P(1,0),Q(0,0),PQ:y=0。 当直线AC的斜率为零时，PQ:y=0。 当直线AC的斜率存在且不为零时，设AC: y=k(x-1).k≠0，则BDy=一1 6x-1)。 设A(x1,y1),C(x,y:),联立方程 图1 /y=k(x-1), →(4k2+3)x2一8k2x十4k2- y=k1(x+2), 3x2+4y2=12 联立直线AP,PQ的方程 得 ly=k。x十m, 12=0。 -装y-% 8k2 k1一k。 则x+x:-4k+3y+y:=(x,-1D 代入椭圆方程得4(m一2k。)k:+ 6k 十k(x:-1)=k(x1十x2)-2k= 4k”+3 12(2k。-m)k1+3m2-12k8=0。 同理可得4(m一2k。)2k:十12(2k。 故P(专) m)·k2+3m2-12k8=0。 所以k1,k:是一元二次方程4(m一2k。)k 同理，联立 y三一（x一1’可得点O 十12(2k。一m)k十3m2一12k8=0的两根。由韦 3.x2+4y2=12, 达定理得k,k,= 器=7 (-) 的坐标为 解得m=一k。或n一2k。=0(舍去)。 4(-)广+8(-安）广+3 所以直线PQ的方程为y=k。(x一1)， （a+166) 4 直线PQ恒过定点(1,0)。 -3k 3k 三、对偶计算中的同构 4k2十34十3k2 7k 在涉及直线与圆锥曲线联立，求解同类目 故kpQ= 4k2 4 4(k-1) 标的问题中，若直线方程为同构式，则只需计算 4k2+33k2+4 出其中一种结果，另一种结果同构变量替换即 直线PQ的方程为y一4十3k 3k 可，在解答题中常以“同理可求”体现。可以简 称为：同构方程，算法一致，对应替换。 4ae-4+) 7k 例3已知椭圆 +6=1(a>6>0) 整理可得4yk十(7x一4)k一4y=0→ y(4k2-4)+k(7x-4)=0。 经注点，一》共离心率=名 4 当 (1)求椭圆的方程： r=7'时，直线方程对Vk∈R均成 y=0 (2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直 的直线，分别交椭圆于A,C和B,D,设线段 立，直线PQ恒过定点（号0）。 AC,BD的中点分别为P,Q,求证：直线PQ 恒过一个定点。 综上，宜线PQ恒过定点（生，0）。 解析：(1)利用题中条件，可得椭圆方程 (责任编辑徐利杰) 14