概率中的方程思想-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

概率中的 ■广东省深圳市南 概率问题是高中数学的重要内容之一， 其题型多样，思维灵活，尤其在条件概率、独 立事件、互斥事件等综合问题中，同学们常因 变量多、关系隐含而难以建立清晰的数学模 型。传统的分类讨论与直接计算在复杂情境 下易导致思路混乱、计算烦琐。若能运用方 程思想，将题目中的概率关系转化为代数方 程（组），便可实现概率问题“代数化”，通过解 方程（组）逐步揭示变量间的内在联系，从而 简捷、高效地解决问题。下面通过几道典型 例题，与同学们一起探讨如何运用方程思想 分析与求解概率问题。 例1（袋中取球问题）袋中有9个大 小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄 球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球 的概率是；，得到黄球或绿球的概率是号。 (1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是 多少？ (2)从所有黑球、黄球中任取2个球，黑 球与黄球各得一个的概率是多少？ (3)从中任取两个球，得到的2个球颜色 不相同的概率是多少？ 思路分析：本题涉及三类事件两两互斥， 已知两个并事件的概率，可直接运用概率加 法公式建立方程组。设事件A、B、C分别表 示取到黑、黄、绿球，由已知列出关于P(A)、 P(B)、,P(C)的方程组，解出概率后转化为球 数。后续两问均基于(1)的结果，使用组合数 计算概率。 解：(1)从中任取一球，分别记得到黑球、 黄球、绿球为事件A、B、C。 贵等典破方青中学生款理化 方程思想 )头中学 陈兴旺 因为A,B,C为互斥事件，所以 P(A+B)=P(A)+P(B)=9, 5 P(B+C)=P(B)+P(C)= 2 3 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=1, P(A)= 1 3 解得P(B)=9: P(c)= 所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的 概率分别是日，号台 故黑球的个数为9× 3=3,黄球的个数 为9×号=2，绿球的个数为9×号 (2)由(1)知黑球、黄球的个数分别为3、 2,故从所有黑球、黄球中任取2个球，黑球与 黄球各得一个的概率光SC- C (3)从9个球中任取2个球的样本空间 共有C=36(个)样本点，其中2个是黑球的 样本点有C=3(个)，2个是黄球的样本点有 C=1(个)，2个是绿球的样本点有C=6 （个)。故2个球同色的概率为3+1+6-5 36-18' 则2个球额色不相同的概率老1一。-是 评注：本题是典型的“概率方程求解”模 型。通过设事件、列方程组，将看似复杂的球 数问题转化为简单的代数求解，体现了方程 思想在化抽象为具体、化复杂为简单中的作 55 解题篇经典题突破方法 中学生数理化离数学经2年”8月 用。后续两问则展示了如何基于基本结果进 行组合计算，训练同学们从概率到计数的综 合能力。 例2（三人答题问题）某中学举办“赓 续中华文脉，厚植文化自信”有奖问答比赛。 某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一 道有关中华优秀传统文化知识的问题。已知 甲同学回答正确这道题的概率是是，甲，丙两 位同学都回答错误的概率是2，乙、丙两位同 学都回答正确的概率是合。假设备位同学回 答是否正确互不影响。 (1)求乙、丙两位同学各自回答正确这道 题的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中不少于2位 同学回答正确这道题的概率。 思路分析：(1)设事件A、B、C分别表示 甲、乙、丙答对。由甲、丙都答错，得P(A)· P(C)=2,即[1-P(A)]·[1-P(C)]= 12,由乙，丙都答对，得P(B)·P(C)=, 3 结合P(A)=4,可列出方程组解出P(B), P(C)。(2)考虑对立事件“至多一人答对”， 利用独立事件乘法公式计算即可。 解：(1)记事件A、B、C分别表示甲、乙、 丙同学答对，则P(A)=是，且 .1 P(A)·P(C)=12' 即 P(B)·P(C)=6 1 [1-P(A)]·[1-P(C)]= 1 121 解得P(B)= 1 P(B)·P(C)= 6 2 P(C)=子 (2)由题意得，有0位同学回答正确的概 率P。=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)= 1.3.11 4×4×3=16 56 有1位同学回答正确的概率P,= P(ABC+ABC+ABC)=是×圣×日+ 4 ××日+×是×号 故不少于2位同学回答正确这道题的概 1129 率P=1-P。-P,=1-16-3=48 评注：(1)问以独立事件为背景，通过“都 错”“都对”的条件建立方程，求解个体概率。 (2)问展示了“正难则反”的常用策略，将“至 少”问题转化为对立事件，简化计算。此题训 练同学们从复合事件中提取独立条件并建立 方程的能力。 例3（射击游戏问题）甲、乙、丙三人 结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次 击中目标的概率为，甲、乙两人备射击一次 且都击中目标的概率为子，乙、丙两人各射击 一次且都击中目标的概率为？，已知任意两 次射击互不影响。 (1)分别计算乙、丙两人各射击一次且击 中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次且恰有一人 击中目标的概率。 思路分析：(1)直接利用独立事件乘法公 式建立方程求解；(2)考虑三种互斥情形（仅 甲中、仅乙中、仅丙中)，分别计算后求和。 解：(1)设甲、乙、丙射击一次且击中目标 的概率分别为P(A)、P(B)、P(C),则 1 1 P(A)=3,P(AB)=P(A)P(B)=4 P(BC)=P(B)P(C)=,解得P(B)=, 2 P(C)= 3 故乙、丙两人各射击一次且击中目标的 概率分别为子号 (2)由(1)得甲、乙、丙各射击一次且恰有 一人击中目标的概率为[1一P(A)][1一 P(B)]P(C)+[1-P(A)]P(B)[1- P(C)]+P(A)[1-P(B)][1-P(C)]= ××号+号×是×+×× 3十 1.11 3 11 36。 评注：本题是典型的“已知联合概率求边 际概率”问题，通过独立事件的乘法公式建立 方程求解。(2)问涉及互斥事件的加法，计算 时要注意对立事件的概率。此题强调从局部 关系推断整体分布，是训练同学们解决方程 与概率结合问题的基础题型。 例4（两轮比赛问题）每年的7月1 日是建党节，为庆祝该节日，某学校举了知 识竞赛。竞赛共分两轮，每位参赛选手均须 参加两轮比赛。已知在第一轮比赛中，选手 甲、乙胜出的概率分别为子、号：在第二轮比 赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为p、q(p< q)。假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出 互不影响。 (1)在第一轮比赛中，求甲、乙至少有一 人胜出的概率。 (2)若甲、乙两轮都失败的概率为150， 甲、乙两轮都胜出的概率为5。 6 ①求p,g的值： ②求甲、乙两人至少有一人两轮都胜出 的概率。 思路分析：(1)直接求对立事件。(2)①利 用独立性列出关于p,9的方程组：②先求出 无人全胜的概率，再用对立事件求解。 解：(1)由题意知，在第一轮比赛中甲、乙两 人都失败的概率P,=(1-)×(-号)=2 所以在第一轮比赛中，甲、乙至少有一人 胜幽的概率P=1-P, (2)①记事件A:(i=1,2)为甲在第i轮 胜出，事件B:为乙在第i轮胜出。由题意 知AAB:相互独立，且P(A)=子， P(B)=子P(A:)=D,P(B,)=q。 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7一8月 中学生数理化 1 若甲、乙两轮都失败的概率为150，甲、乙 6 两轮都胜出的概率为5，则P(A,B,A:B:) =P(A,)P(B1)P(A)P(B:)=[1 P(A1)][1-P(B,)][1-P(A2)][1 P(B,)]=×号×1-p)1-g)=70 1 P(A1B1A。Bg)=P(A1)P(B)P(Ag)· P(B2)= ×号×g= 6 2 1-q-p+p9=25' 整理得 所以p十 12 pq= 25· 7 g= 名-9代人9-号得25g 将p= 4 3 35g+12=0,解得g=5或g=5。 当=时=：当g=时力= 5 不满足p<q。 综上p=号g=号 4 ②甲并非两轮都胜出的概率P:=1一 子×号-乙并非两轮都胜出的概率户， 1一号×号-名所以甲、乙两人都设有在两 轮中都胜出的概率P:=P:×P,=3O0 77 故甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的 概率为1-P.-8。 223 评注：本题涉及多轮独立事件，条件给出 的是全局结果（全负、全胜），要通过方程组反 推每轮参数。求解过程中要处理二元二次方 程组，并注意条件p<q的筛选。此题综合 性较强，训练同学们从整体概率反推局部参 数的能力，是方程思想在多层独立事件中的 典型应用。 例5（统计与概率结合）某校举行数 学素养选拔赛（满分100分），为了解本次比 赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生 57 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高数学202年78月 的成绩，并分成了五组：第一组[50,60)，第二 组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)， 第五组[90,100]，绘制成如图1所示的频率 分布直方图。已知第一、二组的频率之和为 0.3,第一组和第五组的频率相同。 A频率组距 0.045 b… 0.020… a …成绩/分 05060708090100 图1 (1)求出频率分布直方图中a、b的值，并 估计此次比赛成绩的平均值。 (2)用分层随机抽样的方法从[80,90)、 [90,100]两个区间共抽取出5名学生，再从 这5名学生中随机抽取2名进行交流分享， 求两人至少一人在[90,100]的概率。 (3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同 一道题，已知甲能解出该题的概率为子，乙能 解出而丙不能解出该题的概率为令，甲、丙都 能解出该题的概率为子，假设他们三人是否 解出该题互不影响。求甲、乙、丙三人中至少 有一人解出该题的概率。 思路分析：(1)利用频率之和为1及各组 频率关系列方程求解：(2)分层抽样确定人 数，列举样本点求概率；(3)先求出甲、乙、丙 分别解出该题对应的概率，再结合独立事件 乘法公式和对立事件概率公式计算即可。 解：(1)由题意可知： 10a+10b=0.3, 解得 10×(0.045+0.020+a)=0.7, 1a=0.005, b=0.025。 故每组的频率依次为0.05、0.25、0.45 0.2、0.05,所以此次比赛成绩的平均值为55× 0.05+65×0.25+75×0.45+85×0.2+95× 0.05=74.5(分)。 (2)用分层随机抽样的方法从L80,90)、 58 [90,100]两个区间共抽取出5名学生，其中 成绩在[80,90)内的学生人数为5× 0.2千0.05=4，成绩在[90,100]内的学生人 0.2 数为1。 记事件E为从这5名学生中随机抽取2 名进行交流分享，两人至少一人在[90,100] 内，则P(E)= (3)设“甲解出该题”为事件A,“乙解出 该题”为事件B,“丙解出该题”为事件C, “甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题”为事 件D。 2 P(A)= 3 则P(BC)=P(B)[1-P(C)]=名，解 P(AC)=P(A)P(C)=3 P(A)=3' 2 1 得P(B)=4· 1 P(C)=2 故P(D)=1-P(ABC)=1一P(A)· P(BP(C)=1-×是×号 评注：本题将统计图表与概率方程相结 合，体现了数学知识的综合运用。(3)问通过 两个条件方程解出隐藏参数，再次凸显方程 思想在挖据隐含条件中的关键作用。此类题 目训练同学们的知识整合能力。 通过以上例题可以看出，方程思想在概 率问题中具有广泛的应用价值。通过设事 件、列方程，将复杂的概率关系转化为代数方 程组，不仅简化了推理过程，而且使得求解路 径更加清晰。同学们在遇到涉及多个条件概 率的问题时，不妨尝试构建方程模型，将“概 率语言”翻译为“代数语言”，往往能收到化繁 为简、直击核心的效果。概率与代数的结合， 正是数学内在统一性的体现，也是同学们解 决综合问题时应当掌握的重要思维方法。 (责任编辑赵待)