同构函数问题的备考热点与破解之道-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

中学生载理化解疆蕴学经典突酸方月 威堂的的专热会气饺限之箱 ■安徽省宣城市第二中学薛磊 同构函数问题是近年高考数学的热点 解析：因为e如一e>4a2一b2十1，所以 与难点，要求同学们能够识别题目中的隐含 e2a-4a2>eb-b2+1>e-b2。 结构，通过变形构造出相同形式的表达式， 构造函数f(x)=e一x2,则f'(x) 进而利用函数性质解决问题。这类问题常 e-2xo 出现在选择、填空压轴题和解答题中，对同 令g(x)=e-2x,则g'(x)=e-2。 学们的数学素养和创新思维有较高的要求。 当x∈(-o∞，ln2)时，g'(x)<0,g(x) 下面将从比较大小、证明不等式、解决零点 在（一c∞，ln2)上单调递减； 问题、恒成立问题和双变量问题五个角度， 当x∈(1n2,+o∞)时，g'(x)>0,g(x) 结合典型例题，剖析同构函数问题的解题策 在(ln2,+∞)上单调递增。 略，旨在帮助同学们更加深入地理解并掌握 所以g(x)mm=g(ln2)=en2-2ln2= 同构函数问题。 2-2ln2>0,则f'(x)>0,f(x)在R上单调 一、同构比较大小 递增。 通过变形使不等式两侧呈现相同结构， 所以原不等式变形为f(2a)>f(b),故 构造新函数并利用其单调性比较大小。常见 步骤包括取对数、凑指数、平移项等，构造如 2a>6。但4a和b大小不确定，而(3)广< f(x)=e+x、fx)=lnx、f(x)=x-l1nx (2)广，即()<（分）广故选D。 的函数，然后利用其单调性判断所要比较的 ,点评：本题给出了同构比较大小问题的 数的大小关系。 典型流程：先通过变形使不等式两侧结构一 例1若e一e>4a2-b+1,则下列 致，再构造单调函数化归为自变量的大小关 不等式关系正确的是( )。 系。难，点在于对不等式的等价变形与函数单 A.4a'>b B.4a'<b 调性的严格证明。解答中通过对∫'(x)的符 D.(》'<(g) 号分析，确保了∫(x)的单调递增性，使推理 c()广>(3) 过程更加严谨。此类问题训练同学们观察结 48 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7一8月 中学生数埋化 构、灵活变形、构造函数的能力，是函数与不 设t(x)=lnx-x+1,则'()=1 1 等式综合应用的典范。 二、同构证明不等式 =1-x x 将待证不等式通过变形为相同结构，构 当x∈(0,1)时，t'(x)>0,t(x)在(0,1) 造辅助函数，利用导数研究其单调性或最值， 上单调递增： 从而来完成证明。常见技巧包括分离指数与 当x∈(1，+∞)时，t'(x)<0,t(x)在 对数、利用经典不等式（如e≥x十1，lnx (1,十∞)上单调递减。 x一1等)进行放缩。 所以t(x)≤t(1)=0,即lnx≤x-1。 例2已知函数f(x)=e-lnx, 当x∈(0,2)时，lnx<1,x-1<1,所以 g(x)=x2-x。 1nx)1(x-1D,即。s2二1 (1)讨论f(x)的单调性； e1。 (2)证明：当x∈(0,2)时，f(x)≤g(x)。 所以当x∈(0,2)时，f(x)≤g(x)成立。 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0， ,点评：求解本题的关键在于将原不等式 +∞)，f(x)=e1nx+ 通过取对数等手段转化为同构形式，进而构 x 造函数1(x)=二，利用导数研究其在定义城 。(nx+）。 e 内的单调性。证明过程中还借助了辅助函数 记Aa)=h+期A()=会 t(x)=lnx-x+1证明lnx≤x-1,体现了 不等式证明中“先化归，后构造”的基本思想。 =x一1 22。 此类问题训练同学们将复杂不等式转化为函 数单调性问题的能力，是高考中常见的综合 所以当x∈(0,1)时，h'(x)<0,函数 题型。 h(x)在(0,1)上单调递减： 三、同构解决零点问题 当x∈(1，十∞)时，h'(x)>0,函数 此类问题一般是通过同构转化成零点方 h(x)在(1，+o∞)上单调递增。 程，然后求参数范围或零点关系（如零点个 所以h(x)≥h(1)=1,则f'(x)=e-1· 数、零点乘积、零点和等)。解决的思路：将零 (nx+)>0,函数了0x)在0，+0)上单 点方程变形为f(m(x)=f(n(x)),利用函 调递增。 数f(x)的单调性，转化为m(x)=n(x),再 (2)所证不等式可化为e-1lnx≤x2一x 分析新方程的零点情况。题目常常涉及“双 =x(x-1),即lnx≤x-1， c,即证n≤-1 零点”问题，需要结合函数最值、零点存在性 eh e-T 定理加以解决。 在x∈(0,2)上恒成立。 例3若关于x的方程m+elnm= 设1(x)=专，则/(x)=e (e)2 十e(lnx一x)有解，则实数m的最大值为 1-x 解析：由题意得elmm十elnm=elnx-x十 当x∈(-o∞，1)时，1'(x)>0,1(x)在 e(lnx-x)。 (一∞，1)上单调递增； 令f(x)=e十ex,则方程可化为 当x∈(1，+o∞)时，1'(x<0,l(x)在 f(lnm)=f(lnx-x),易知f(x)在R上单 (1,+∞)上单调递减。 调递增，所以lnm=lnx一x。 所以1(x)≤11)=1。 令g(x)=lnx-x,x>0,则g'(x)=1 49 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7-8月 -1=1x 当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)在 (1,十∞)上单调递增。 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)在(0， 故g(x)≥g(1)=0,即e一ex≥0，也即 1)上单调递增： e'≥ex。 当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0,g(x)在 (1,+∞)上单调递减。 要证e+lnx+上≥e十1，即证e十 x 所以g(x)≤g(1)=一1，即1nm≤一1， ln(ex)≥ex十x→ex一x≥ex一ln(ex)←→ 解得0<m≤。，故实数m的最大值为 e-lne≥ex-ln(ex)。 点评：本题通过巧妙的同构变形，将含参 当x>。时，e≥e>1,由(1)可得 数方程转化为函数值相等问题，再利用单调 f(x)在(1，十o∞)上单调递增，故f(e)≥ 性得到变量关系，最终转化为求函数的值域。 f(ex),即原不等式成立。 其中构造函数∫(x)=e十ex是关键，其单 调性易证，使得后续推理清晰简捷。此类问 ar+anr+≥是+x≥r 题常见于“双变量”或“隐零点”题型，要求同 alnx→e-lne≥x"-lnx“台f(er)≥ 学们具备较强的代数变形能力和函数性质运 f(x“)。 用能力。 当a≥0，x∈(1，十∞)时，e≤x恒成 四、同构解决恒成立问题 将恒成立不等式转化为同构形式，通过 立，则a≥一nx 分离参数或利用函数最值求参数范围。求解 当a<0,x∈(1，+∞)时，e∈(0,1)， 的思路：整理不等式为f(t)≥k(或f(t)≤ x“∈(0,1)。又f(x)在(0,1)上单调递减，所 k),其中t为同构后的单一变量，求构造函数 以e≤x,则a≥一nx ∫(t)的最值，进而确定参数范围。题目通常 以“对任意x∈D,不等式恒成立”形式命题， 令h(x)三三(x≥1D,则M'(x) 参数多为一次或二次形式。 1-In x 例4已知函数f(x)=x-lnx。 Inr)。由h'(x)=0,得x=c. (1)讨论函数f(x)的单调性； 当x∈(1，e)时，h'(x)>0,h(x)在(1，e) 2》当>时，证明，+n 上单调递增； -≥e+1: 当x∈(e,+∞)时，h'(x)<0,h(x)在 3)若不等式x+a1nx十。≥x对任意 (e,十∞)上单调递减。 e x∈(1，十∞)恒成立，求实数a的最小值。 所以h(x)ms=h(e)=一 In e =-e,即 解析：(1)因为f(x)=x一lnx,所以 a≥一e。故实数a的最小值为一e。 f)-1-是-(>0 点评：本题展示了同构在含参恒成立问 题中的强大功能。通过函数f(x)=x一 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)在(0， lnx,将复杂的不等式转化为函数值的大小 1)上单调递减： 关系，再结合函数单调性分类讨论。解题过 当x∈(1，十∞)时，f'(x)>0,f(x)在 程中要结合指数函数与幂函数的性质，以及 (1,十∞)上单调递增。 (2)先证明不等式e≥ex。令g(x)= 品数)=一>1D的装值求解，体现 e-ex,则g'(x)=e一e。 了知识点的综合应用。此类问题训练同学们 当x∈（一∞，1）时，g'(x)<0,g(x)在 将复杂约束条件系统化归的能力，是压轴题 (一∞，1)上单调递减； 的重要题型。 50 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7一8月 中学生数理化 五、同构解决双变量问题 要证ln(x1x:)+4a√x1x2>6,即证 处理含两个变量的指对数混合问题，需 a(x1+x2)+4a√x1x2>6。 要通过同构建立变量间关系（如x1十x、 不妨设x1>x2,将()式代入整理得 x1x:的范围)，常见于极值点偏移、零点积与 和等问题。解题思路：由已知条件（如f(x1) In i 6(x1一x2) 6(层- =f(x))变形得同构式，确定x1与x2的关 联，构造对称函数或利用单调性转化为单变 >,+x:+4x+1+4√ x: 量问题进行求解。 令t=>1,即证1nt>6t-1)。 例5已知函数f(x)=xlnx一x· 1+1+4E。令 (1+g） n=√f>1,即证lnm 3(m2-1)>0。 n2+1+4m 3(m2-1) (1)若a=0,设A,B分别在抛物线x2= 令g(m)=lnm ,m∈(1， m2+1+4m 4y与曲线y=fCx)上，且AB∥y轴，求 (m-1) 十∞)，则g′(n)= |AB|的最小值； m(m+1+4m)>0。 所以g(n)在(1，十∞)上单调递增， (2)设x1,x:是f(x)的两个极值点，证 g(m)>g(1)=0,原不等式得证。 明：ln(x1x)+4aWx1x2>6。 ,点评：本题是典型的双变量同构问题，通 解析：1)当a=0时，y=f(x》 =In x- 过极值点条件建立变量关系，将双变量不等 式通过比值代换化为单变量函数问题，再通 1,x>0。 设A(xA,yA),B(xB,yB),因为AB∥y 过导数研究其性质。多次换元（如(=巴 轴，所以xA=xB,且yA>yB。 =F)是关键步骤，体现了转化与化归的数 1 则|AB|=yA一ys=本x片-InxB-1) 学思想。此类问题综合性强，要求同学们具 备良好的代数变形能力、函数建模能力与导 1 xA-lnxA+1。 数应用能力。 1 令h(x)=4x-lnx+1(x>0),则 本文结合典型例题，从比较大小、证明 不等式、解决零点问题、恒成立问题和双变 h'(x)=x-2 量问题五个角度，剖析同构函数问题的解 2x 题策略，旨在帮助同学们掌握这一重要的 当x∈(0，√2)时，h'(x)<0,h(x)单调 数学思想方法，提升分析问题与解决问题 递减；当x∈（√2，+∞）时，h'(x)>0,h(x) 的综合能力。 单调递增。 同构函数问题的核心在于“变形”与“构 故当x=V2时，h(x)m=h(2)= 造”。通过等价变形，将复杂表达式化为相同 2 结构，从而构造函数，利用单调性、极值、零点 1nV2,即AB的最小值为 之-lnv2。 等性质解决问题。掌握常见同构模式（如积 (2)f(x)的定义域为(0，+∞)，求导得 型、商型、和差型)和典型换元技巧，能有效提 升解题能力。在学习过程中，同学们应多积 f'(x)=lnx-ax。 因为x1,x:是f(x)的两个极值点，所以 累同构变形案例，培养结构识别能力，方能从 容应对此类难题。 In x-ax=0,In x:-ax2=0. (责任编辑赵 倩) 故lnx1+lnx2=ax1十ax2,lnx In x:=ax-az:a=In z-In z 。(*) x1一x2 51