找规律·巧分解·破难点——数列奇偶项问题分类精析-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

等典破方清中学生表理化 找规律·巧分解·破难点 数列奇偶项问题分类精析 ■安徽省蒙城第一中学 王雅如 数列是高中数学的主干知识，也是各类 ①一②得cn+1一cm-1=2(n≥2)，所以数 考试考查的重点。在众多数列问题中，涉及 列{cm}是以c:为首项，2为公差的等差数 项数奇偶性的题目因其规律隐蔽、形式多变， 列；数列{c2m-1}是以c1为首项，2为公差的等 常使同学们感到棘手。实际上，只要分析其 差数列。 内在结构，学会合理分解，这类难点完全能够 转化为得分点。下面结合典型例题，将奇偶 当n为偶数时，c,=c:+2×(受-1)= 项问题归为三类，阐释其中的解题规律，帮助 n十3一c1;当n为奇数时，cm=c1十2× 同学们融会贯通。 (m+1-1）=n-1+c1a 2 一、相邻两项关联型：构造隔项数列 n-1+c1,n为奇数， 这类问题的递推式通常表现为相邻两项 所以c.= n十3一c1,n为偶数。 的和或积为关于n的函数，例如a+1十an= 当n为奇数时，c,十2n2=n一1十c1+ f(n)或am+1·am=f(n)。解题的核心思路 2n≥0恒成立，即一c1≤2n2+n一1恒成立。 是通过对递推式进行加减或乘除运算，构造 当n=1时，(2n2十n-1)mm=2,所以一c1 出奇数项或偶数项之间的直接关系，从而将 原数列拆分为两个独立的于数列，形成隔项 2,即c1≥-2。 等差数列或等比数列。 当n为偶数时，cm十2n2=n十3一c1十 例1已知数列{am}的前n项和S.= 2n2≥0恒成立，即c1≤2n2+n+3恒成立。 当n=2时，(2n2十n十3)mm=13,所以c1≤ n2+4n,n∈N'。 13。 (1)求数列{am}的通项公式： 综上所述，c1的取值范围是[一2,13]。 (2)若数列(cn}满足cu+1十cn=am,且不 ,点评：本题是“相邻两项和”型的递推式。 等式c,十2n≥0对任意的n∈N"都成立，求 通过作差得到隔项为等差关系，从而将奇偶 c1的取值范围。 项分离为两个独立的等差数列。在求解参数 解析：(1)当n=1时，a1=S1=5; 范围时，要分别对奇、偶两种情况进行讨论， 当n≥2时，an=S。一Sn-1=n2+4n-(n 利用函数最值确定临界值。 -1)2-4(n-1)=2n+3。 例2在数列{an}中，已知a1=1, 当n=1时，a1=2十3=5，满足上式。 故am=2n十3。 an·at1= (侵)厂广，记s为a,的前n项和。 (2)cm+1+cm=2n+3。① bn=a2m+a如-1n∈N"。 当n=1时，c2十c1=5； (1)判断数列{b}是否为等比数列，并写 当n≥2时，c。十cw-1=2(n-1)+3。② 出其通项公式： 45 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高数学2026年78月 (2)求数列{am}的通项公式； 数列，但首项不同。求和时，要按项数的奇偶 (3)求S.。 分类讨论，并灵活运用等比数列求和公式。 解析：(1)因为am·a+1= ,所以 二、分段递推型：奇偶分离，迭代消元 这类问题中数列的递推式通常按n的奇 11+1 a+·a+:=（2) 1 =,即a+= f(n,am),n为奇数， 偶性给出，例如am+1= g(n,an),n为偶数。 a。又a=1a1a:-2,所以a: 1 1 1 2 解题的核心是分别令n取奇数和偶数，迭代 因为b,=a十a-1,所以b 推导，得到仅含奇数项或仅含偶数项的递推 关系，进而求出各于数列的通项。 1 1 a如+2十a2w+1 2a.十2aw11 例3已知数列(a.}满足a1=1,a+1 a2w十a2m- a2n十a2m-1 2。 3a。十3n,n为奇数， 记数列{a,}的前 3 a。一n一1，n为偶数， 故{bn}是以b1=a:十a1= 为首项，2 n项和为S.,b。=a如，n∈N'。 为公比的等比数列6，号×（份）】广 -1 3 (1)判断数列{bm}是否为等比数列，并求 20 其通项公式。 (2)由(1)知am+2= 1 之a。,所以{a-1}是 (2)求Sm。 (3)是否存在正整数n,使得Sm+1>bm> 以a,=1为首项，号为公比的等比数列：a S成立？说明理由。 是以a2= 合为首项，号为公比的等比数列。 解析：(1)由已知得b+1=am+2=3aw+1 +3(2n+1)=3a2m+1+6n+3=3(-a2w-2n 当n为奇数时，a, (2)：当n为偶 一1)十6n+3=-3am,即bm+1=-3bm。 又b1=a2=6,所以数列{bn}是以6为首 数时，a= 侵) 项，一3为公比的等比数列。 所以b=6·(-3)”-1=-2(-3)”。 ) ,n为奇数， (2)由已知得a+1=一a2m一2n一1，所以 所以am= a2w+1+a2=-2n-1。 (侣)广m为锅数。 当n为奇数时，令n=2k一1，k∈N",则 S。=Ss-1=a1+(ag+a3)+…+（a2t-2十 (3)当n=2k,k∈N'时，Sk=(a1十ag a6-1)=1+(-3)+…+(一2k+1)=1 +…+a-)+(ata4十…+a)=3-3 2k; 3+2k-)10k-1D=2-=2-n+1) 2 4 当n=2k-1,k∈N"时，S%-1=Sg一a26 当n为偶数时，令n=2k,k∈N",则S 31 4 =3 20-2=3-2 =S2k=a1十(a2十a3)十…十(a然-2十a26-1) 2罗”为奇数。 3 十a4=S4+bs=2-1-2(二3) 所以Sm= 2、 (n+1)2 3 4 ，n为奇数， 3 2 ,n为偶数。 所以S= 2 -2(-3)，m为偶数. n 点评：本题递推式为乘积形式，写出相邻 两式并相除是得到隔项关系的通用方法。由 (3)存在正整数n,使得S如+1>bm>S a,得奇数项和偶数项各自成等比 1 成立，证明过程如下。 aw+2= 因为S2w+1=2-(n+1)2,S2m=2-n2一 46 高二数学等突被方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 2(-3)”,所以只要证2-(n十1)2>一2· 值及数列{（一1）"log2a 3-1}的前n项和S。。 (-3)">2-n-2(-3)",即证n2>2且 解析：(1)当入=0时，am十am+1=0,即 2(-3)”+2>(n+1)2。 am+1=一am,所以数列{am}是首项a1=1,公 当n≥2时，n>2成立。 比为一1的等比数列。 当n为奇数时，一2·3”+2<(n十1)， (2)由题意知，a1十a2=1十a2=入·2，a: 不符合题意。 =2入-1，a2+a3=2λ-1+ag=入·22，a3= 当n为偶数时，要证2·3”+2>(n+ 2λ+1。 1),即证2>”+2n-1 所以(2入一1)2=1×(2入+1)，且入≠0，解 3” 令c= n2+2n-1 得A= 3” ，则cm+2一c。= 则a1=1,a2=2,a=4,所以等比数列 (n+2)2+2n+3 n+2n-1 3”+9 (a.}的公比q=2,故a.=2”-1,aw-1=2w-。 3” -8n2-12n+16 所以(-1)”1og:am-1=(-1)"1og:2m-2= 3”+2 (-1)"(3n-2)。 因为y=-8.x2一12x十16的对称轴为x 当n为偶数时，S.=(一1)+4+（一7）+ 10+(-13)+17+…+[-(3n-5)]+(3n =一 3 ,所以y=-8n-12n+16(m∈N) 单调递减。 4 当n=2时，-8×2-12×2+16<0，故 当n为奇数时，Sn=S+1一（一1)+1· cw+2-c=—8n一12n十16<0，即cm+2cm, 03(n+1)-2]=号(n+1)-(3n+1)= 30+2 且当”=2时，c,最大，最大值为2+4-1 -3n+1=二6n+2 2 4 32 9。因此2>”十2n-1 综上所述，S.=(6n-1)×(-1)+1 4 3” ,点评：本题考查递推关系、等比数列定义 综上所述，当n为正偶数时，S+1>b> 与并项求和。第二问的关键在于利用等比数 Sm成立。 列定义建立关于q和入的方程组。求解后， ,点评：本题是典型的分段递推型，需要奇 得到的新数列{（一1）”(3n一2)}是典型的“符 偶分离，耐心迭代，找准目标子数列的递推关 号交错型等差数列”。处理其前n项和，并项 系。求和时，常利用已知的配对关系进行分 法是最直观有效的策略。 组求和。 总之，数列中的奇偶项问题虽形式多变， 三、含（一1）”符号型：巧用并项，化解符号 但破解之道有章可循。面对题目，首先要识 当数列通项或递推式中含有（一1）”时， 别其类型：若递推式涉及相邻两项的和或积， 数列的项会正负交替出现。处理这类问题的 则尝试构造隔项数列；若递推式直接按奇偶 关键是“并项求和”，即把相邻的两项（一正一 分段，则通过迭代分离于数列：若通项含有 负)合并为一个整体进行运算，从而抵消符号 (一1)”等符号，则运用并项求和化解干扰。 的干扰，充分展现出数列的本质规律，从而解 无论哪种类型，核心都是通过恰当的运算消 决问题。 除不确定因素，将原问题转化为熟悉的等差 例4已知数列{am}满足a1=1,a。十 或等比数列问题。掌握这些思路，并在练习 am+1=入·2”"，n∈N”,入是常数。 中勤于总结，同学们一定能化难为易，在数列 (1)若入=0，证明：{am}是等比数列： 学习中游刃有余。 (2)若入≠0，且{an}是等比数列，求入的 (责任编辑赵倩) 47