妙用同构”求通项&一元三次、四次多项式函数的对称性初探-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

中学生数理化餐被学经突破方杰用 妙用同构 求通项 ■四川省成都市龙泉中学校 张昌金（正高级教师） 给出数列{a,}的连续两项或三项递推公 例4已知数列{an}中，a1=2,am+1 式求通项公式是常考题型，考查了数列学习的 am=3n十1，求数列{a,}的通项公式。 必备知识和关键能力，其核心是转化为等差或 解析：方法1由am=(am一am-1)十 等比型新数列，再根据新数列的通项公式求出 (am-1一am-2)十…+（a2-a1)十a1,得am= 数列{am}的通项公式。怎么转化为等差或等 3(n-1)+1+3(n-2)+1+…+3+1+2= 比型新数列是解题的关键，也是难点，最重要 的一步是化为a。与an+1的“同构”式，进而出 8.0"2+a-10+2=2m-g+1 2 现等差或等比型新数列。下面举例说明。 方法2设am+1十入[(n十1)十μ(n十 一、同构{an一入}型等比数列 1)]=am十入(n2十n),即am+1一am=-2入n 例1已知数列{an}中，a1=一2，aa+1 A一A。与已知条件比较得 一2x=3,解 =2am十3，求数列{an}的通项公式。 -入-4=1， 解析：由am+1=2am十3，可得am+1十3= 3 2(a。十3)。所以数列{am十3}是等比数列，于 得 所以数列a.-2(d}是 是am十3=(a1+3)·2”-1,即am=2-1-3。 3 例2已知数列{am}中，a1=1,am+1十 常数数列。因此a。 a,=3,求数列{a,}的通项公式。 2(-)=2-1 解析：由am+1十an=3,得am+1=一am十 、月即a,=2n2- 2n+1。 3,a+1- 是=-1·(。，-）.因此数列 ,点评：对于递推关系为a1=a,am+1= a,-2}是等比数列a.-吕-a,-2): cam十dn十e(c,d,e为非零常数)求通项公式 的问题，若c≠1，可设a+1一[入(n十1)十] （-,即a=号(-1)+号 1 =c[an-入(n+μ)]，与am+1=cam十dn十e比 较系数求出入、μ的值，从而将问题转化为证 点评：对于递推关系为a1=a,am+1=ca 明{am一入(n十u)}为等比数列。若c=1,可 十d(c,d为非零常数)求通项公式的问题，可 用累加法求解或同构为常数数列，如例4。 由方程入=c入十d解出入，进而得到a+1一入 =c(am一入)，使得aw+1一入和am一入具有“同 三、同构无0型等差数列 构”特征，从而得到新数列(am一入}是等比数 列，有利于求通项。 例5已知a1=1,nam+1-(n+1)a。= n(n十1)，求数列{an}的通项公式。 二、同构{am一f(n)}型等比数列 解析：由naw+1一(n十1)am=n(n+1), 例3已知数列{an}中，a1=2,am+1 4am一3n十1，求数列{an}的通项公式。 得-a=1,所以数列是等差数列。 n+l n n 解析：设am+1一入(n十1)=4(am一入n),即 于是2=2+(n-1),即a=n。 au+1=4am一3入n十入。与已知条件am+1= n 1 4a,一3n+1比较得入=1，即am+1一(n+1)= 例6已知a1=1,a+1-2a.=3× 4(an一n),数列{a,一n}是等比数列，于是 2”-1,求数列{am}的通项公式。 am-n=(a1一1)·4-1，所以a。=4"-1十n。 (下转第41页) 38 解题筒经典题突破方法中学生数理化 高二数学2026年7一8月 一元三次、四沒项式致数的对款性屏 ■广东省汕头市潮阳中英文学校 牛志忠 在高考数学试题中，函数的性质是每年 结论2 一元四次多项式函数f(x)= 必考内容，现行教材中重点介绍了函数的单 ax十bx3+cx2+dx+e(a≠0)，当且仅当 调性、奇偶性、周期性三大性质，而对函数的 对称性，尤其是对于三次、四次函数的对称性 8a(6-4ac)时，其图像关于直线x 一b 较少提到。近些年的高考真题及模拟卷中， 名对你。 对此类问题却有所涉猎。 下面就从函数的奇偶性及函数图像的平 证明：设一元四次函数f(x)=ax‘十 移变换等基础知识出发，对三次、四次函数的 bx3+cx2+dx十e(a≠0)的图像关于直线 对称性进行探索，以期为同学们总结解决此 x=t对称，则函数f(x)向左平移t个单位 类问题的方法。 后图像关于y轴对称，即函数y=f(x十t)是 偶函数。 一、两个重要结论 f(x+t)=a(z+t)+b(z+t):+ 结论1一元三次多项式函数f(x)= c(x十t)+d(x十t)+e,整理后得f(x+t) a.x3+bx2十cx+d(a≠0)是中心对称图形， =a.x'+(4at+b)x3+(6at2+3bt+c)x2+ 其图像关于点（仁品（品）》中心对称。 (4at:+3b12+2ct+d)x+(at'+bt+ct2+ 证明：设三次函数f(x)=a.x3+bx十 dt+e),f(x+t)是偶函数台 cx十d(a≠0)的图像关于点(m,n)中心对 4ta+b=0, 恒成立。 称，则函数f(x)的图像向左平移m个单位， (4t3a+3t2b+2tc+d=0 再把所得函数的图像向下平移n个单位，最 当且仅当d-名(6一c)时，国数 后得到的函数关于原点对称，即函数y= f(x十m)一n是奇函数。 Cx)的国像关于直线x=一名对称 又f(x十m)-n=a(x+m)3+b(x+m)+ 二、上述结论的应用 c(x十m)十d一n,整理可得f(x十m)一n=a.x3十 例1(2025年11月浙江省杭州市高 (3am+b)x+(3am+2bm+c)x+(am+bm2+ 三教学质量检测卷数学第8题)已知函数 cm+d一n),f(x十m)一n是奇函数台 f(x)=x3十3x2+6x十5，实数a,b满足 3am+b=0, 恒成立今 m=一3a f(a)=15,f(b)=-13,则a+b=()。 am:+bm2+cm+d-n=0 n=f(m)。 A.2B.1C.-1D.-2 故一元三次函数∫(x)的图像关于点 解析：解法1：由已知条件联想乘法公式 (x+1)3=x3+3.x2十3x+1,可得： (-品f(-品)中心对称。 f(x)=(x+1)3+3.x+4→f(x)=(x+ 39 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7-8月 1)3+3(x+1)+1。 故一5，一3是方程x+ax十b=0的两 易知y=x3十3x是单调递增的奇函数， 个根。 图像关于点(0,0)对称，因此f(x)=(x+1) 则a=-[(-5)+(-3)]=8, +3(x+1)+1关于点(-1,1)对称。 b=(-5)×(-3)=15。 由已知条件得f(a)十f(b)=2,则a+ 因此f(x)=(1-x2)(x2+8.x+15)。 b=一2，故选D。 则f'(x)=-4x3-24x2-28.x+8= 3 -4(x3+6x2+7x-2)=-4(x+2)(x2+ 解法2：由已知条件可求出：一3× 4x一1)。 -1,f(-1)=1。 令f'(x)=0,即(x+2)(x2+4x-1)= 应用结论1，可得函数f(x)的图像关于 0,解得x=一2或x=-2一√5或一2+√5。 点（一1,1）中心对称。 当x∈(-∞，-2-5)时，f'(x)>0, f(a)+f(b)=2→a+b=-2,故选D。 评析：此题除了考查三次函数的对称性， f(x)单调递增； 还考查了“单调函数f(x)关于点(a,b)对称， 当x∈(-2-√5，-2)时，f'(x)<0, 则x1十x2=2a台f(x1)+f(x2)=2b”这个 f(x)单调递减： 重要结论。 当x∈(-2，-2+√5)时，f'(x)>0, 例2若函数f(x)=(1一x)(x+ f(x)单调递增； ax十b)的图像关于直线x=一2对称，则 当x∈(-2+√5，+∞)时，f'(x)<0, f(x)的最大值为。 f(x)单调递减。 解析：解法1：由f(x)=0,得1一x2=0 故当x=一2一√5时，f(x)取得极大值： 或x2+ax十b=0。 当x=一2十√5时，f(x)取得极大值。 1一x2=0→x=1或一1，这两个零点关 易知f(-2-√5)=[1-(-2-√5)2门× 于直线x=一2对称的零点分别是一5，一3。 [(-2-W5)2+8×(-2-√5)+15]=16： 分析可知一5，一3是方程x2十a.x十b= f(-2+5)=[1-(-2+√5)2门×[(-2 0的两个根。 故=-[(-5)+(-3)]=8. +√5)2+8×(-2+√5)+15]=16。 b=(-5)×(-3)=15。 故当x=一2一√5或一2十√5时，f(x)取 则f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)。 得最大值16。 f(x-2)=[1-(x-2)][(x-2)2+ 评析：解法1得到了四次函数f(x)= 8(x-2)+15] ax‘十bx3十cx2+dx+e(a≠0)关于y轴对 =[4x-(x°+3)][4x+(x2+3)] 称时（即b=d=0)的一般形式是f(x)= =-x+10x2-9 a(x2十p)十g,根据双二次函数的配方形式 =16-(x2-5)2。 即可求出函数f(x)的最值。 当x2=5时，f(.x-2)取得最大值16。 解法2是求出∫(x)的解析式后，通过求 将f(x一2)的图像向左平移2个单位， 导数，确定单调性，最后求出最值。 可得f(x)的图像。 两种解法相比，还是解法1运算量小，更 显然f(x)与f(x一2)的最大值相同，都 简单些。 是16。 例3（广东省深圳市2025一2026学 解法2：由1一x2=0,得x=1或-1。 年上学期11月模拟预测卷数学第14题)若 根据函数f(x)的图像关于直线x=一2 函数f(x)=x‘十4x3十ax(a∈R)的图像存 对称，可得0=f(1)=f(一5)，且0=f(一1) 在对称轴，则f(x)的最小值为 =f(-3)。 解析：解法1：设f(x)的对称轴为x=b, 40 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年7-8月 中学生数理化 则f(2b一x)=f(x)。 (-1-√3)=-4。 故(2b-x)'+4(2b-x)3+a(2b-x)= 故f(x)的最小值为一4。 x‘+4x3+ax。 解法2：根据结论2，可得题中a= (4b2-4b.x+x2)2+4(4b2-4bx+x2)· (2b-x)+a(2b-x)=x+4x3+ax。 4×(42-4×1×0)=-8。 8×1 变形得(4b°一4bx+x2)(4b°-4bx+ 故f(x)=x+4x3一8x,f'(x)=4(x+ x2+8b-4x)+a(2b-x)=x+4x3+ax。 1)(x2+2x-2)。 整理可得一(8b+8)x3+(24b2+24b)x 令f'(x)=0→x=一1一3或x=一1 -(32b3+48b2+2a)x+16b+32b3+2ab 或x=一1十3。 0 三个极值点记作x1,一1，x。 8b+8=0, 易知f(-1)=(-1)+4×(-1)3-8× 24b+24b=0, 故需满足 (一1)=5，x=一1是对称轴。 32b3+48b2+2a=0, 令g(x)=x十2x-2,则g(x2)= 16b'+32b3+2ab=0。 g(x1)=x+2x1一2=0台x1+2x1=2。 解得二一8， f(x)=x4+4x3-8x lb=-1。 =x2(x2+2x)+2x3+4x2-4.x2-8.x 则f(x)=x4+4x3一8x,f'(x)=4(x+ =x2(x2+2x)+2x(x2+2x)-4(x2+ 1)(x2+2x-2)。 2x) 令f'(x)=0→x=-1-√3或x=-1 =(x2+2x-4)(x2+2x)。 或x=-1十√3。 f(x1)=f(x)=-4。 当x∈(-∞，-1-3)时，f'(x)<0, 综上f(x)mn=一4。 f(x)单调递减； 评析：解法1根据一元四次函数f(x)= ax‘十bx3十cx2十dx十e(a≠0)的对称性，先 当x∈(-1-√3，-1)时，f'(x)>0, 求出试题中一次系数的值，再通过求导得到 f(x)单调递增； 极值，点，最后求出函数f(x)的最值。 当x∈(-1，-1+3)时，f'(x)<0, 解法2由结论2直接求出试题中一次系 f(x)单调递减： 数的值，再从极值点处，求出函数∫(x)的 当x∈(-1+√3，+∞)时，f'(x)>0, 最值。 f(x)单调递增。 两种方法相比，解法2直接利用结论，运 计算可得f(一1一√3)=f(一1+3) 算量较小，有明显优势。 =(-1-W3)+4×(-1-√3)3一8× (责任编辑徐利杰) 翰 (上接第38页) 解析：由a+1一2a,=3×2-1,得8号 题，可在am+1=ca。十d”两边同时除以c“+1, 2+1 会所以数列 }是等差数列。于是 得到新数列侣}是学滋数列，有利于求道项。 以上是几类典型的根据递推公式求通项 4,即a。=(3n-1)·2-。 公式的题型，只要学会了“同构”方法，就可轻 松求通项。 ,点评：对于递推关系为a1=a,am+1= (责任编辑徐利杰) cam十d”(c,d为非零常数)求通项公式的问 41