高二期末创新模拟卷(二)-《中学生数理化》高二数学2026年7～8月刊

演练篇 高二数学 备核细新育中学生款理化 高二期末创新模拟卷（二） ■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分， 表1 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 0.050 0.010 0.001 一项是符合题目要求的) 3.841 6.635 10.828 1.若M(1,2,3),N(3,4,5),P(5,m,n) A.12人 B.11人 三点共线，则m-n=()。 C.10人 D.18人 A.-1B.-2C.1 D.0 6.第十五届中国国际航空航天博览会于 2.用数宇1、2、3、4、5组成一个没有重复 2024年11月12日至17日在广东珠海举办， 数宇的五位开机密码，则数宇1不能排在首 此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用 位也不能排在末位的排法有()。 途战斗机的歼-35A首次公开亮相，并在进行 A.96种 B.72种 飞行表演时飞出了“马赫环”。假设歼-35A C.60种 D.48种 在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫） 3.已知数列{am}的前n项和为Sm,且满 服从正态分布N(1.1,0.1),且飞出“马赫 足S。=2am一2+1十4，若数列{bn}满足bn= 环”的概率与飞行速度v满足以下关系：当 log(am十2")，则数列{bn}是()。 0≥1.2时，概率为0.9；当1.0≤v<1.2时， A.常数数列 概率为0.5；当0<1.0时，概率为0.1。若 B.等比数列 歼-35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”， ℃.单调递增数列 则它飞行速度不低于1.2马赫的概率为()。 D.单调递减数列 (若X一N(H,g),则P(h一。≤X≤十o)≈ 4.已知圆C1:(x-1)2十(y一2)=r2(r 0.6827) >0),圆C2:(x-4)2+y2=16,P为圆C1上 A.0.1428 B.0.1587 任意一点。若P关于直线y=x的对称点Q C.0.2856 D.0.5 都在圆C:内，则r的取值范围是()。 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦 A.(4一√13,4+√13) 点F(1,0),过F的直线与抛物线交于M,N B.(4-5,4+√5) 两点，准线与x轴的交点为P。当PM⊥PN 时，直线MN的方程为()。 C.(0,4-√13) A.x-1=0 B.x-2=0 D.(0,4-√5) C.y=士(x-1)D.y=±2(x-1) 5.针对“中学生追星问题”，某校团委对 8.已知函数f(x)=(x+n)e一n(lnx “学生性别和追星是否有关”作了一次调查， 十x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程为 调查样本中女生人数是男生人数的？，男生 y=(2e-2)x十1-e,若不等式f(x)≥a恒 成立，则a的最大值为()。 追星的人数占男生人数的石，女生追星的人 A.-1 B. C.1 D.e e 数占女生人数的号，若在犯错误的概率不超 二、多选题（本题共3小题，每小题6分， 过5%的前提下认为是否追星和性别有关， 共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 则调查样本中男生至少有( )。 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分 参考数据及公式：如表1，X= 选对的得部分分，有选错的得0分) n(ad-bc)? 9.某单位在定点帮扶贫困村A村的过 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人 23 中学生款理化湾整薇学名秘务架钢新转用 均年纯收入逐年提高。A村村民2021， [0,十c∞) 2022,2024,2025年这四年的人均年纯收入y 三、填空题（本题共3小题，每小题5分， (单位：万元)与年份代号x之间的一组数据 共15分) 如表2所示。若y与x线性相关，且求得其 2.(版+ 的展开式中所有有理项 经验回归方程为y=x一2，则下列说法正确 的是( ) 的系数之和为 表2 13.已知数列{am}满足am=log+1(n十 年份 2021 2022 2024 2025 2),定义使a1·a:·ag·…·as为整数的k 年份代号x 7 叫作“完美数”，则区间[1,1000]内所有“完 美数”的和M= 人均年纯收入y 2.1 n 5.9 A.m+n=8 14.已知双曲线c:三一b=1(a一0， B.2030年A村人均年纯收入约为7万元 b>0)的左、右焦点分别为F1、F,双曲线C C.预估从2025年起，每经过1年，村民 的右支上存在一点B,满足BF1⊥BF,BF 人均年纯收入约增加1万元 与双曲线C的左支的交点A平分线段BF1, D.2025年的人均年纯收入的残差为0.1 则双曲线C的离心率的值为；若 10.如图1，在平行六面体ABCD △AF,F的面积为6，则双曲线C的方程为 A,BCD1中，以顶点A为端点的三条棱长 都为2，且∠DAB=∠DAA1=∠BAA1= 四、解答题（本题共5小题，共77分。解 60°，则下列说法中正确的有( 答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤) D 15.(本小题13分)已知等差数列{am} B 中，a3=4,Sg=27。 (1)求{a.}的通项公式； 2十2十…十 (2)求证：a1a:aa 2 -<1。 nan+l B 图1 A.BD=BA+BB+BC B.BD=8 C.异面直线BA与CC1所成的角为 120° 16.(本小题15分)A1幻觉是指A1模型 D.BD⊥CC 生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据 11.已知圆C:x2一2λx+y2一4λy+4λ2= 的信息的现象，A1幻觉率是指AI模型产生A1 0,直线l:kx一y=0,动点P在l上，且动点 幻觉的概率。现抽取了某公司研发的14个使 A,B在圆C上，则下列说法正确的是( )。 用率较高的A1模型，其幻觉率如表3所示。 A.圆心C在一条定直线上 表3 B,若CP的最小值恰为入，则=3 AI模型 1 2 6 4 C.当k=入十2时，1被圆C截得的弦长 幻觉率1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7% AI模型 9 10 11 12 13 14 可以为√R2十2 D.若∠APB=0,则k∈(-，-]U 幻觉率0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8% (1)从表中提供的AI模型中任取一个， 24 产数学备核务新青中学生款理化 求该模型幻觉率小于2%的概率； P是椭圆C上的一个动点，当△PF,F,的面 (2)从表中提供的幻觉率小于2%的A1 积取得最大值4√3时，∠PF1F,=60°。 模型中任取3个，用随机变量X表示其中幻 (1)求椭圆C的方程。 觉率小于1,3%的模型个数，求随机变量X (2)过点E(3,0)的直线1与椭圆C交于 的分布列和数学期望。 A,B两点，点A关于x轴的对称点为A1(A 与B不重合)。 (i)求证：直线A1B过定点； (i)求△EA,B面积的最大值。 17.(本小题15分)如图2，在四棱锥P ABCD中，PA⊥AB,BC⊥AB,AD∥BC, PA=AD=2,AB=√3，BC=1,E为PD的 中点，平面BCE与棱PA交于点F。 19,(本小题17分)已知函数f(x)= ecos x,g(x)=sinx+l。 1)求f(x)在(0.受)内的单调性： (2)若存在x∈ 吾，0小使得r) D ag(x)≥0，求实数a的取值范围： (3)设方程f(x)=g(x）在区间 图2 (1)求证：F为PA的中点： (2mx+子，2m+）m=1,2,,2025, (2)若G为CD的中点，平面PAB⊥平 2026)内的根从小到大依次为x1,x2,·, 面ABCD,求二面角A-FG-E的余弦值。 x2o2,x202s,试比较x226与x22十2π的大 小，并说明理由。 18(本小题17分)已知椭圆C:若+号 =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F,,点 (责任编辑赵倩) 25中学生数理化 演练篇名校名师创新卷答案与提示 高二数学2026年7一8月 期赤创新模拟置（二) 昏专答案 一、单选题 若在犯错误的概率不超过5%的前提下 1.A2.B 认为是否追星和性别有关，则×2>3.841，即 3.C提示：Sm=2am-2"+1十4，当n=1 3x/x2 5x 时，a1=0:当n≥2时，Sm-1=2aw-1一2"十4， 23618 8x>3.841,解得x> 3 a,=S。-Sn-1=2a。-2aw-1-2"+1+2",即 2·x·x·2 a,一2a。1=2",两边同时除以2”得2-0 2”2"-可 10.24。因为号，后为整数，所以x至少为 =1,所以数列 a 是首项为0，公差为1的 12,即男生至少有12人。 6.C提示：由飞行速度v服从正态分 等差数列。 布N(1.1,0.1),得4=1.1，。=0.1。则 所以2。 =0十(n-1)×1=n一1，则a,= P(0≥1.2)=P(v≥4十。)= (n一1)·2”，所以bn=log(am+2”)= 1-P(4-a≤0≤4+g2≈1-0.6827 2 2 log2(n·2")=n十logn是单调递增数列。 0.15865,P(1.0≤o<1.2)=P(r-。≤0< 4.D提示：已知圆C1:(x一1)2+(y μ+o)≈0.6827，P(o<1.0)=P(o<4-o) 2)=x2(r>0),则圆心C1(1,2),圆心C1(1, =1-P(u-g≤o≤u+a)1-0.6827 2)关于直线y=x对称的点为C,'(2,1),所 2 2 以圆C,关于直线y=x对称的圆C,'的方程 0.15865。 为(x-2)2+(y-1)2=r2。 设歼-35A飞出“马赫环”为事件A,飞行 因为圆C2:(x一4)+y2=16,所以圆心 速度不低于1.2马赫为事件B,则P(A)= C(4,0),半径R=4。又因为P关于直线y 0.15865×0.9+0.6827×0.5+0.15865× =x的对称点Q都在圆C:内，所以圆C'上 0.1=0.5,P(AB)=P(B)P(AB)= 的所有点都在圆C:内，即圆心距d<R一r。 0.15865×0.9=0.142785,所以P(B|A) 根据两点距离公式得d= =P(AB)_0.142785≈0.2856. P(A) 0.5 √(4-2)+(0一1)=√5，则5<4一x,解得 7.A提示：抛物线C:y2=2px(p>0) r<4一√5。又因为r>0,所以r的取值范围 是(0,4-5)。 的焦点为(20），则台=1，解得力=2，所以 5.A提示：设男生人数为x,则女生人 抛物线的方程为y2=4x。则抛物线的准线 为x=一1，P(-1,0)。 数为受，由题意可得列联表（表1）。 依题意直线MN的斜率不为0，设直线MN 表1 的方程为x=ty+1,M(x1y1),N(x2y2)。 性别 追星 不追星 合计 (x=ty+1, 联立 整理可得y2一4ty一4 y2=4x, 男生 5x 6 =0,△=16t2+16>0,所以y1+y2=4t,y1y =一4。 女生 因为PMLPN,所以PM.PN=0。又 合计 3x PM=(x1+1,y1),PN=(x+1,y),故 2 (x1十1)(x2+1)+y1y2=0。 92 演练篇 高二数学普军，与提厅中学生教理化 名校名师创新卷答案与提示 因为(1+x1)(1+x:)=(2+ty1)(2+ 1 2 -2×2×2×- ty2)=4+2t(y1+y2)+ty1y2,所以(1+x1)· +2+2×2×2x2+2=8, (1+x)+y1y2=(1+t)y1y2+2t(y1+y) 所以BD=2V2,即BD,=2√2，故B错误。 +4=(1+t2)×(-4)+2t×4t+4=4t=0,解 因为CC1∥BB,,AA1∥BB1,所以CC1∥ 得t=0,所以直线MN的方程为x一1=0。 AA1,所以∠A1AB为异面直线BA与CC 8.C提示：f'(x)=(x+m+1)e 所成的角，即异面直线BA与CC1所成的角 n(层+1)小x>0. 为60°，故C错误。 因为BD=AD-AB,CC=AA,所以 因为函数f(x)=(x十m)e一n(lnx+x) BD.CC=(AD-AB)CC=AD.CC 在x=1处的切线方程为y=(2e一2)x十1一e, 1f'(1)=(m+2)e-2n=2e-2, -店.C=2×2×日-2×2× =0,所 所以 解得 f(1)=(n+1)e-n=e-1, 以BD⊥CC,即BD⊥CC1,故D正确。 m=0, 11.ABD提示：圆C的标准方程为(x n=1。 -入)+(y-2入)=入，入≠0，所以圆心C(入， 故f(x)=xe一lnx一x,则f'(x)= 2λ)，圆心在定直线y=2x上，故A正确。 (x+1De-是-1=(x+1(e-2） 若CP的最小值恰为入，则C到（的距离 令g《e=e-子>0，则g) 为X,即以一%-入，解得友-是故B正确。 √k+1 e*+1 当k=入+2时，C(入，2入)到直线l:kx >0,gx)在(0，十∞)上单调递增。 y=0的距离以一2A=A 三，此时，若 又g(2)=E-2<0,g(1)=c-1>0, √k+1√k+ 则存在，∈（分，使得g(x)=0.即存在 被圆C截得的弦长为√+2，则（√+2） 2 ∈（分），使得f)=0,则e=之故 +()-.+ 4 k2+1 xo=In1=-In xo. 因为+2+=1++1 1 4 k+14 4+ 当0<x<x。时，f'(x)<0:当x>x0 2+1'一 1 时，f'(x)>0。所以函数f(x)在(0，xo)上 +2·+=+>.所以 单调递减，在(x。,+∞)上单调递增，f(x) 「十2+入不可能成立，故C错误。 4 =f(xo)=xoeo-In xo-xo=1. 又因为不等式f(x)≥a恒成立，所以 当1和圆C有公共点时， 1k入一2入≤ √k+1 a≤1，即a的最大值为1。 二、多选题 A,解得≥是，此时显然存在动点P,A,B 9.AC 使得∠APB=60°。 10.AD提示：BD=BA+AA+ A1D=BA+BB+BC,故A正确。 当1和圆C没有公共点时，从一2A √k+1 因为BD,=BA+BB,+BC=-AB+ A1,解得及<是，欲使∠APB录大，则需PA AA+AD,所以BD2=(一AB+AA十 与圆C相切于A,且PB与圆C相切于B,如图 AD):-AB:-2AB.AA-2AB.AD+ 入 AA2+2AD·AA1+AD2=22-2×2×2× 1所示。显然sin∠CPA=CP,∠APB= 93 演练篇名校名师创新卷答案与提示 中学生数理化高数学2026年78月 2∠CPA。当CP⊥L时， AF,.即(Ey +(|BF1|-2a)= CPI最小，ICPI 1k入-2A ,此时sin∠CPA c+By ,整理得BF1(|BF1|-6a) √k+1 最大，即∠CPA最大，亦即 =0,所以|BF11=6a。则|BF2|=4a。 ∠APB最大。若∠APB= 由题意可知，|BF,I十|BF:? 图1 60.则≥n30= |F1F2|2,所以36a2+16a2=4c2,即c2= 3a,故=13，三√3，即双曲线C的离 即以22以，因此6≤-号或0e<是 √k+1 心率的值为√13。 综上所述∈（，-]U0,+) 若△AF,F:的面积为6，则△BF1F:的 故D正确。 面积为12，即号BP,1BF,1=合×a×4a 三、填空题 =12,所以a2=1。则c2=13,b2=c2-a= 12.29 13.1004提示：因为am=log+1(n+2), 12。所以双曲线C的方程为x一 12-1。 所以a1=log3,a:=log4,a3=log5,则a1· 四、解答题 a2·ag·…·ag=log3·log4·log5·…· 15.(1)设等差数列{a,}的公差为d,因 1og+1(k+2)=log(k+2)。 a1+2d=4, 为a3=4,S6=27,所以 解得 因为a1·a:·a·…·a。为整数，所以 6a1+15d=27, log2(k+2)为整数。设这个整数为m,即 a1=2, 1og2(k十2)=n,则k十2=2m,解得k=2m d=1. 2。因为k=2m-2≥1，k∈N,所以n≥2， 故{am}的通项公式为am=2十n一1= m∈N n+1。 因为2=1024，所以区间[1,1000]内 2十 2 2 (2) 十…十 的“完美数”有2一2,2一2,2一2，…，2° apau+l 2,故区间[1,1000]内所有“完美数”的和 2 2 2 M=22-2+23一2+2-2+…+2-2= 2×33×4+…+ (n+1)(n+2) 「1 、1 1 22×(1-2“) 1-2 -2×8=210一4-16=1004。 =2[2X3十3×4+…+(m+1D(n+2 11 14.W13 十n+1n+2/ y 12=1 提示： -2+）1异21. 如图2，连接AF2, 16.(1)14个A1模型中，幻觉率不小于 设双曲线C的焦 2%的有29%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%， 距为2c。由双曲 共有5个，所以幻觉率小于2%的概率为1一 线的定义可知， 59 |BF一BF2=2a, 1414 因 |AF:|-|AF1|=2a。 图2 (2)幻觉率小于2%的A1模型有9个， 为|BF11=2|AF,|,所以|AFg|=2a+ 其中小于1.3%的模型有3个，故X的可能 BF 取值为0,1,2,3。 2 -,lBF2=|BF11-2a。 由BF1⊥BF2,得|AB2十|BF22= P(X=0)= -2-引r(X=1 94 演练篇名校名师创新卷答案与提示 高二数学2026年7一8月 中学生数埋化 C-84-28P(X=2)=CC-183 CgC_45_15 得n=(2,0,W3)。 C8414 n·n C号1 所以cos〈m,n〉= =-2V3 P(X=3)= mn2×√7 C84 √21 所以X的分布列如表2所示。 7。 由图可知，二面角A-FGE为钝角， 表2 0 123 所以二面角APGE的余弦值为一② 7。 15 21 28 14 84 18.1)因为SaPR,=2F,F:·lyp, 故E(X)=0x员+1×袋+2×品+3× 1 一b≤yp≤b,所以(SaPE,:)=之·2c·b 84=1。 =bc=4√3。 17.(1)因为AD∥BC,AD￠平面 当△PFF:的面积取得最大值时， BCEF,BCC平面BCEF,所以AD∥平面 ∠PF,P:=60,所以c0s60°-后，即a=2c BCEF。 又ADC平面PAD,平面PAD∩平面 又b2=a2-c=3c2,则b=√3c,所以 BCEF=EF,所以AD∥EF。 √3c2=4√3，解得c=2。所以a=4,b=2√3。 因为E是PD的中点，所以F为PA的 中点。 故椭园C的方程为后+益1。 (2)因为平面PAB⊥平面ABCD,平面 (2)(i)当过点E(3,0)的直线1不与x轴 PAB∩平面ABCD=AB,AP⊥AB,APC 重合时，设直线l的方程为x=my十3(m≠ 平面PAB,所以AP⊥平面ABCD。又因为 0),A(x1,y1),B(x2y2)。 ADC平面ABCD,所以AP⊥AD。 (x=my+3, 故AB,AD,AP两两垂直，以A为坐标 + 由x 得(3n2+4)y2+18my =1, 原点建立如图3所示 的空间直角坐标系。 21=0。由韦达定理得y1+y:= 18m 21 则A(0,0,0),F(0,0, 3m2+4'y1y:=- 3m2+49 1),E(0,1,1), 因为A1为点A关于x轴的对称点，所 (停，是o)所以 D 以A,(x一y,则。=义，故直线 xg一x A=(0,0,1),FG= 图3 (停是-应 A,B的方程为y十y,=十(x-,). x2-xI (0,1,0) 令y=0,得x=yx一) 十x1= y2十y1 设平面AFG的一个法向量m=(x,y, yiz:-y+y:+y:y:1 m·AF=x=0, yg十y1 y2十y1 之)，则 令y= y1(my2+3)+y:(my1+3) 2y-2=0。 y2+y1 1,得m=(一√3,1,0)。 2my1y2+3(y1+y2) 2myy: 十3= 设平面EFG的一个法向量n=(a,b, y:+y1 y2+y1 21 2m 3n2+4/ 16 c),则 n·G=a 2a十2bc=0·令a=2 +3= 18m n·FE=b=0。 3m2十4 95 中学生款理化离皱学名故务操每新雅膏家与提示 所以直线A,B过定点(o) (-。月 当过点E(3,0)的直线1与x轴重合时， (3)由f(x)=g(x),得e'cos x=1+ 直线A,B显然过点（侣0）。 sinx。 令p(x)=e'cos x-sinx-1,则p'(x) 综上所述，直线A,B过定点（侣o)。 =e(cosx-sinx)-cosx。 )记直线A,B过定点F(o,则 因为x∈(2x十子，2mx十），所以 sinx>cosx>0。 故p'(x)<0,函数P(x)在 1-君1*-名·≤ 7 (2m十三，2mx+)上单调递减。 7 -华当且 62√3m2×4 因为(2mx+）-2e号--1≥ 仅当3m=4,即m=士25时，等号成立。 e号3 3 2 -1>09(2mx+）=-2<0,所 2 所以△EA,B面积的最大值为7， 4。 以存在唯一的x,∈(2mx十于，2u元+受），使 19.(1)f(x)=ef (cos x-sin x). 得p(xn)=0,即e"cosx,-sin a.-1=0。 当0<x<至时.eosx>sinx,f'(x)> 因此存在唯一的x∈(2mx十2x十受， 0,f(x)单调递增：当<x<受时，cosx< 2nπ+2十受），使得c1cosx1-sinx sinx,f'(x)<0,f(x)单调递减。 一1=0。 所以∫(x)在(0，开)上单调递增，在 因为x+1一2x<x1,所以e+1“< (T,)上单调递减。 e1。因为21∈(2mx+晋+2x,2mx+ (2)由题意知，存在x∈[晋0]，使得 空+2m),所以cosx1>0 e'cos x≥a(sinx+1)。 故p(x+1-2x)=e+1”cos(x+1 当xe[吾时sinx+1e[小 2r)-sin(x+1-2π)-1=e+1"。 cos r+1一 sin1cos-e cos 故存在∈[吾可使得a<二。 =(e'+1“-e+1)cos+1<0=g(xn)。 令h(x)= e cos x π 1+sin x' 一6 x0,则 因为函数p(x)在(2元+号，21x+)上 h'(x)= e(cosx-1)1+sinx）≤0，且 (1+sin 单酒递减，且x.∈(2mx+子，2mx十)x '(x)不恒为零，故国数)在[-若0]上 -2x∈(2m元+子，2m元+2）小所以21 单调递减，则h(x)=(-）=e。 2x>xm,即xm+1>xm十2π。 取n=2025,则x202>x205十2元。 故a≤e号，即a的取值范围是 (责任编辑赵待) 96