2024-2025学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册综合检测

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 全书综合检测 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为30,且a4=3a2+2a1,则a3=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8 2.设{an}为等比数列,则“存在i>j>k,使得ai>aj>ak”是“{an}为递增数列”的(　　) A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件 C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)=x3,若不等式f(ax+1)+f>0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 4.已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(　　) A.k=,b=0　　　　B.k=1,b=0　　　　C.k=,b=-1　　　　D.k=1,b=-1 5.已知数列{an}满足a1=,且对任意s,t∈N+,都有as+t=asat,记数列的前n项和为Sn,若Sm≥2 023,则m的最小值为(　　) A.9　　　　B.10　　　　 C.11　　　　D.12 6.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,xf'(x)<f(x),则不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(　　) A.(-∞,-3)∪(3,+∞)　　　　B.(-3,0)∪(0,3) C.(-3,0)∪(0,7)　　　　D.(-∞,-3)∪(2,7) 7.已知不等式aex(x+3)-x-2<0(a<1)恰有2个整数解,则a的取值范围为　(　　) A.≤a<　　　　B.<a≤ C.≤a<　　　　D.<a≤ 8.已知数列{an}满足a1=,an=1+ln an+1(n∈N+),记Tn为数列{an}的前n项积,则(　　) A.T9∈　　　　B.T9∈ C.T9∈　　　　D.T9∈ 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=x3-3x+2,则(　　) A.f(x)在区间(-1,1)上单调递减 B.f(x)的最小值为0 C.f(x)图象的对称中心为点(0,2) D.方程f(x)=0有3个不同的实数解 10.已知正项数列{an}满足a1=1,an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1)(n∈N+),记Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1,T10=,则(　　) A.是等差数列　　　　B.a2 025= C.Tn<1　　　　D.ai>3 11.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意实数x,都有f(-x)=e2xf(x),且2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,则下列说法正确的是　(　　) A.函数F(x)=exf(x)为偶函数 B.f(0)=0 C.不等式exf(x)+<e的解集为(1,+∞) D.若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2<2a 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.函数f(x)=(e2x+ex)cos x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是　　　　　　.  13.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n,则数列{an}的前20项和S20=　　　　.  14.已知正数a,b满足ln b+≤ln a-a4+ln(2),则a+b=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn满足=+1(n≥2,n∈N+),且a1=1. (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)记bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求使Tn≥成立的n的最小值. 16.(15分)已知f(x)=-a(x-1)+ln x-1(a∈R),其中e为自然对数的底数.设g(x)=f'(x). (1)求g(x)的单调区间; (2)若x≥1,则f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 17.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设是首项为1,公比为3的等比数列. ①求数列{bn}的前n项和Tn; ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N+恒成立,求实数λ的最大值. 18.(17分)设函数f(x)=xln x,已知点A0,过点An(0,yn)作曲线y=f(x)的切线,与曲线y=f(x)相切于点Bn+1(xn+1,yn+1),其中n∈N. (1)证明:≤ex-2; (2)证明:(i)∀n∈N+,xn<; (ii)数列{xn}单调递增; (3)记数列{xn}的前n项和为Sn,数列{}的前n项和为Tn,证明:Sn-3Tn<. 19.(17分)已知函数f(x)=-sin x(x≥a). (1)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围; (2)若a<-,证明: f(x)在上有唯一极值点x0,且f(x0)>-x0. 答案与解析 1.D　设等比数列{an}的公比为q,则 由题意知a1>0,q>0,所以所以a3=a1q2=8. 2.B　若{an}为递增数列,则一定存在i>j>k,使得ai>aj>ak,故必要性成立; 设an=(-2)n,则a4>a2>a1,但{an}不是递增数列,故充分性不成立, 所以“存在i>j>k,使得ai>aj>ak”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件. 3.A　易知函数f(x)=x3是R上的增函数,且f(x)=-f(-x). 因为f(ax+1)+f >0在(0,+∞)上恒成立,所以f(ax+1)>-f(-ln x)=f(ln x)在(0,+∞)上恒成立,所以ax+1>ln x在(0,+∞)上恒成立,即a>在(0,+∞)上恒成立,所以a>. 令g(x)=,则g'(x)=, 令g'(x)>0,得0<x<e2,令g'(x)<0,得x>e2, 所以g(x)在(0,e2)上单调递增,在(e2,+∞)上单调递减, 所以g(x)≤g(e2)=,因此a>. 4.A　设直线y=kx+b与曲线y=ln x的切点为点(x1,ln x1),x1>0, 与曲线y=-ln(-x)的切点为点(x2,-ln(-x2)),x2<0, 由y=ln x得y'=,由y=-ln(-x)得y'=-, 则曲线y=ln x在点(x1,ln x1)处的切线方程为y-ln x1=(x-x1),即y=x+ln x1-1, 曲线y=-ln(-x)在点(x2,-ln(-x2))处的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2), 则故k==,b=ln x1-1=0. 5.B　令s=n,t=1,则an+1=ana1,又a1=,∴an+1=an, ∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列, ∴an=×=,故=2n=2×2n-1, ∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴Sn==2n+1-2. 由Sm≥2 023得2m+1-2≥2 023,即2m+1≥2 025, ∵210=1 024,211=2 048,∴m+1≥11,即m≥10, ∴m的最小值为10. 6.D　令g(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则g'(x)=, ∵当x∈(0,+∞)时,xf'(x)<f(x),∴g'(x)=<0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递减. 又f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,∴f(x)=-f(-x), ∴g(-x)====g(x), ∴g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, ∴g(x)在(-∞,0)上单调递增. 由不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0得5f(2-x)<(2-x)f(5), 当2-x>0,即x<2时,不等式可化为 < ,即g(2-x)<g(5), 由g(x)在(0,+∞)上单调递减得2-x>5,解得x<-3,故x<-3; 当2-x<0,即x>2时,不等式可化为 >,即g(2-x)>g(5)=g(-5),由g(x)在(-∞,0)上单调递增得2-x>-5,解得x<7,故2<x<7. 综上所述,不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(-∞,-3)∪(2,7). 7.C　当x=-3时,aex(x+3)-x-2<0(a<1)即为0+3-2<0,即1<0,不成立. 当x<-3时,不等式等价于a>=>=e-x>e3>1, 又a<1,∴不成立. 当x>-3时,不等式等价于a<, 若a≤0,则不等式对于任意的x>-2恒成立,此时不等式的整数解有无穷多个,不符合题意. 若a>0,令g(x)=(x>-3),则g'(x)=-, 当x∈时,g'(x)>0,∴g(x)单调递增, 当x∈时,g'(x)<0,∴g(x)单调递减. 易知当x∈(-3,-2)时,g(x)<0,当x∈(-2,+∞)时,g(x)>0, 又∵在x趋近于+∞时,g(x)趋近于0, ∴函数g(x)在(-3,+∞)上的大致图象如图所示: ∵-2<<-1,∴当x>-3时,a<有2个整数解,这2个整数解必然是-1和0,则∴≤a<. 8.C　因为an=1+ln an+1,所以an+1=. 下面用数学归纳法证明:当n∈N+时,0<an<1. 当n=1时,a1=,结论成立; 假设n=k(k∈N+)时,结论成立,即0<ak<1, 当n=k+1时,ak+1=, 因为0<ak<1,所以-1<ak-1<0,所以ak+1=, 所以当n=k+1时,结论也成立. 综上所述,0<an<1对任意的n∈N+均成立. 记函数f(x)=ln x-(x-1)(0<x<1),则f'(x)=-1=. 因为0<x<1,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增, 所以f(x)<f(1)=0,即ln x<x-1在(0,1)上恒成立,所以an=1+ln an+1<1+an+1-1=an+1,即an<an+1,所以数列{an}为递增数列,所以≤an<1. 记g(x)=ln x-(0<x<1),则g'(x)=-=>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)<g(1)=0, 即ln x<在(0,1)上恒成立, 所以an-1=ln an+1<,所以<, 所以->1,则->1,->1,……,->1,故->(n-1)×1(n≥2), 将a1=代入,得>n+3,n≥2,所以an>1-=,n≥2, 所以T9=a1×a2×…×a9>×××…×=×=,即T9>. 记h(x)=ln x-+(0<x<1),则h'(x)=--==-<0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=0,即ln x>-在(0,1)上恒成立, 所以an-1=ln an+1>-=,所以1-an<, 所以an+1<,所以T9=a1×a2×…×a9<××…×==2(1-a9)2, 因为an>,n≥2,所以<a9<1,所以T9<2(1-a9)2<2×=. 综上所述,<T9<. 9.AC　对于A,由已知得f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,得x<-1或x>1,令f'(x)<0,得-1<x<1, 所以函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,且f(-1)=4>0, f(1)=0,当x→-∞时, f(x)→-∞,当x→+∞时, f(x)→+∞, 由此可画出函数f(x)的大致图象,如图所示. 由上述分析知A正确; 对于B,函数f(x)无最小值,故B错误; 对于C,根据解析式易知f(x)+f(-x)=4,即f(x)的图象关于点(0,2)中心对称,故C正确; 对于D,根据图象可知f(x)=0有2个不同的实数解,故D错误. 10.ACD　因为an+2(an+1-an)=an(an+2-an+1),所以-1=1-,即+=2,即+=,所以数列为等差数列,故A正确; 设等差数列的公差为d,因为a1=1,所以=1+(n-1)d,则an=, 若d=0,则an=1,所以T10=10=10,不符合题意,所以d≠0, 所以anan+1==, 所以Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1=1-+-+…+-=, 则T10==,所以d=1, 所以an=,Tn=1-<1,所以a2 025=,故B错误,C正确; 设f(x)=x-ln(x+1),x>0,则f'(x)=1-=>0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=x-ln(x+1)>f(0)=0,所以当x>0时,x>ln(x+1), 故>ln,x>0,所以ai=>ln=ln, 又ln=ln+ln+ln+…+ln=ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln 51-ln 50=ln 51-ln 1=ln 51>ln e3=3,所以ai>3,故D正确. 11.AB　对于A,易知F(x)的定义域为R,因为f(-x)=e2xf(x),所以e-x·f(-x)=exf(x),即F(-x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故A正确; 对于B,由2f(x)+f'(x)=2x+1-e-2x,得2e2xf(x)+e2xf'(x)=(2x+1)e2x-1,即[e2xf(x)]'=(2x+1)e2x-1,所以[f(-x)]'=(2x+1)e2x-1, 则-f'(-x)=(2x+1)e2x-1,故-f'(x)=(1-2x)e-2x-1, 所以2f(x)=2x+1-e-2x-f'(x)=2x(1-e-2x), 则f(x)=x(1-e-2x),所以f(0)=0,故B正确; 对于C,exf(x)+=xex(1-e-2x)+=xex-+=xex, 令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,则g(x)>g(1)=e,即当x>1时,exf(x)+>e,故C错误; 对于D,方程-(x-a)2=0即e-2x=1-(x-a)2,方程有两个不相等的实数根等价于函数y=e-2x与y=1-(x-a)2的图象有两个交点,易知函数y=e-2x单调递减,函数y=1-(x-a)2的图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线x=a,当x>a时,函数y=1-(x-a)2单调递减, 若方程-(x-a)2=0有两个不相等的实数根x1,x2,不妨令x1<x2,则x1<a<x2,>,所以1-(x1-a)2>1-(x2-a)2, 设x3>a且x1+x3=2a,则有1-(x1-a)2=1-(x3-a)2, 所以1-(x3-a)2>1-(x2-a)2,所以x3<x2,所以x1+x2>2a,故D错误. 12.答案　3x-y+2=0 解析　由题可得,f(0)=2,f'(x)=(2e2x+ex)cos x+(-sin x)(e2x+ex), 所以f'(0)=3,故所求切线方程为y-2=3x,即3x-y+2=0. 13.答案　110 解析　当n为奇数时,可得an+1-an=n,易知an+an-1=n-1,n≥3, 所以an+1+an-1=2n-1,n≥3; 当n为偶数时,可得an+1+an=n,易知an-an-1=n-1,n≥2, 所以an+1+an-1=1,n≥2, 所以S20=(a1+a3+a5+a7+…+a17+a19)+(a2+a4+a6+a8+…+a18+a20) =1×5+(5+13+21+29+37)=110. 14.答案　 解析　由ln b+≤ln a-a4+ln(2),得ln a-a4+ln-+ln(2)≥0. 令f(x)=ln x-x4,则f'(x)=-4x3=, 故当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增; 当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减. 又f=ln-=-ln 2-, 故f(x)≤-ln 2-,即f(x)+ln 2+≤0, 故f(a)+ln 2++f+ln 2+=f(a)+f+ln(2)≤0,当且仅当a==时,等号成立. 由题可知, f(a)+f+ln(2)≥0,故f(a)+f+ln(2)=0, 故a==,即a=,b=,故a+b=. 15.解析　(1)证明:由=+1(n≥2,n∈N+)得{}为等差数列,且公差为1,又==1, 所以=1+(n-1)=n,即Sn=n2,(2分) 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2,则an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 当n=1时,a1=1也符合上式,所以an=2n-1,(5分) 当n≥2时,an-an-1=2n-1-(2n-3)=2, 故{an}是公差为2的等差数列.(6分) (2)由(1)得bn===,(8分) 所以Tn= ==,(10分) 由Tn≥,整理得2n2-3n-1≥0,(11分) 由二次函数的性质可知y=2n2-3n-1(n∈N+)随n的增大而增大,当n=1时,y=2-3-1<0,n=2时,y=8-6-1>0, 故使Tn≥成立的n的最小值为2.(13分) 16.解析　(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞), g(x)=f'(x)=+-a,则g'(x)=-.(2分) 易得g'(x)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=0, ∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增. 故g(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(6分) (2)由(1)知g(x)在(1,+∞)上单调递增,即f'(x)在(1,+∞)上单调递增,则当x≥1时,g(x)≥g(1)=2-a,即f'(x)≥2-a.(9分) 当a≤2时, f'(x)≥0,且f'(x)不恒为零, f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∴f(x)≥f(1)=0,符合题意;(11分) 当a>2时,∵f'(1)=2-a<0, f'(1+ln a)=>0, ∴存在x0∈(1,1+ln a),使f'(x0)=0,则x∈(1,x0)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,此时f(x)≤f(1)=0,不符合题意,舍去.(14分) 综上,实数a的取值范围为(-∞,2].(15分) 17.解析　(1)由已知得(2分) 整理得又d≠0,所以d=2,a1=3,(4分) 所以数列{an}的通项公式是an=2n+1.(5分) (2)①因为是首项为1,公比为3的等比数列,所以=1×3n-1=3n-1,由(1)可得an=2n+1,所以bn=(2n+1)·3n-1,(7分) 所以Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1, 3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, 则-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n =3+2×-(2n+1)·3n=-2n·3n,(9分) 所以Tn=n·3n.(10分) ②由(1)得Sn==n2+2n,(11分) 所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N+恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切n∈N+恒成立,所以λ≤对一切n∈N+恒成立. 令f(n)=(n∈N+),则f(n)min≥λ,(12分) 易得f(n+1)-f(n)=-=, 当1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0, 所以f(1)>f(2)>f(3), f(3)<f(4)<f(5)<…,(14分) 所以f(n)min=f(3)=-,故λ≤-,即实数λ的最大值是-.(15分) 18.解析　(1)令g(x)=-ex+2=ln x-ex+2,x>0, 则g'(x)=-e,令g'(x)=0,得x=, 当0<x<时,g'(x)>0,当x>时,g'(x)<0, 故g(x)在上单调递增,在上单调递减,(3分) 所以g(x)≤g=0,即 ≤ex-2.(5分) (2)证明:(i)f(x)的定义域为{x|x>0}, f'(x)=1+ln x,则f'(xn+1)=1+ln xn+1,(6分) 所以切线AnBn+1的方程为y-yn+1=(1+ln xn+1)(x-xn+1),且yn+1=xn+1ln xn+1,将(0,yn)代入切线方程,得yn=-xn+1,即xn+1=-xnln xn.(8分) 令f'(x)=0,得x=,当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减; 当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 所以f(x)≥f =-,则xn+1≤,当且仅当xn=时等号成立.(10分) 又x1=-y0=,所以xn≠, 所以xn+1<,n∈N,即∀n∈N+,xn<.(11分) (ii)由(i)知∀n∈N+,0<xn<,且xn+1=-xnln xn,所以=-ln xn>1,所以数列{xn}单调递增.(13分) (3)由(1)得ln x≤ex-2,当且仅当x=时等号成立, 所以xn+1=-xnln xn>-xn(exn-2)=2xn-e>2xn-3, 累加求和可得Sn+1-x1>2Sn-3Tn,(15分) 所以Sn-3Tn<xn+1-x1<-=.(17分) 19.解析　(1)若f(x)≥0恒成立,则f(a)≥0,即-sin a≥0,即sin a≤0,解得2kπ-π≤a≤2kπ(k∈Z).(1分) 下面证明当2kπ-π≤a≤2kπ(k∈Z)时, f(x)≥0. 先证≥sin x(x≥0). 若x≥1,则≥1≥sin x;若0≤x<1,则≥x. 令h(x)=x-sin x(x≥0),则h'(x)=1-cos x≥0,且h'(x)不恒为零,所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以h(x)≥h(0)=0,即x≥sin x(x≥0),所以≥sin x(x≥0).(3分) 若2kπ-π≤a≤2kπ(k∈Z),则当a≤x≤2kπ(k∈Z)时,sin x≤0,故≥0≥sin x,即f(x)≥0;当x>2kπ(k∈Z)时,>, 由≥sin x(x≥0),得≥sin(x-2kπ)=sin x,所以f(x)=-sin x>0.故当2kπ-π≤a≤2kπ(k∈Z)时, f(x)≥0. 综上,实数a的取值范围是{a|2kπ-π≤a≤2kπ,k∈Z}.(5分) (2)证明:易得f'(x)=-cos x. 令g(x)=-cos x,x∈, 则g'(x)=-+sin x.(7分) 易知g'(x)在上单调递增, 因为g'(0)<0,g'=1->0, 所以存在唯一的实数t0∈,使g'(t0)=0, 所以当 x∈(0,t0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增.(9分) 因为a<-,所以-a>,>,2>1, 所以g(0)=-1<0, g=-=<0,g=>0, 所以存在唯一实数x0∈, 使g(x0)=-cos x0=0. (11分) 当x∈(0,x0)时, f'(x)=g(x)<0, f(x)单调递减;当x∈时, f'(x)=g(x)>0, f(x)单调递增, 所以f(x)在区间上有唯一极小值点x0,且极小值为f(x0)=-sin x0.(13分) 由g(x0)=-cos x0=0,得=, 所以f(x0)=-sin x0. 要证f(x0)>-x0,即证f(x0)+x0>, 又f(x0)+x0=+(x0-sin x0)>, 所以只需证明>,即证2cos x0<π-2x0.(15分) 因为x0∈, 所以2cos x0=2sin<2=π-2x0, 所以f(x0)+x0=+(x0-sin x0)>>, 所以f(x0)>-x0.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $