2.2 有理数加减法 讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学有理数加减法核心知识点，系统梳理同号/异号两数加法法则、加法运算律、减法法则及混合运算步骤，构建从基础法则（定号、算值）到运算技巧（交换律、结合律）再到实际应用的递进学习支架。 资料通过分层设计（精讲-同步练-例题-检测-巩固），结合气温、海拔等生活实例，培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力和应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺，提升知识掌握度。

第四讲 有理数加减法 2.2有理数加法 一有理数加法-同号两数相加一 精讲 有理数加法法则： 同号两数相加，和取 符号，且和的绝对值等于加数的 【同步练】 先定号 后算值 结果 +6++9= + 6+9 15 -12+-7= +5++16= 总结：同号两数相加，符号」 ，绝对值 经典例题 【例1】计算： (1)+18++24= (2)+4.8++2.9= (3) +3+425 【练1.1】计算： (1)-23+-15= (2)-3.6+-7.4= 引 ④1.25+-2 4 有理数加法-异号两数相加一 精讲 有理数加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，和取 的加数的符号， 中较大者与较小者的 互为相反数的两数相加得 5 ； 且和的绝对值等于加数的 一个数与0相加，仍得 【同步练】 先定号 后算值 结果 +6+-9= 9-6 -3 +12+-7= +5+-16= 总结：异号两数相加，符号」 绝对值」 经典例题 【例2】计算： (1)+32+-18= (2)-4.7++9= + ④+34+- 【练2.1】计算： (1)+23+-38= (2)+7.3+-15.4= (3)_3,1 48 4(-6.4++3 【例3】计算： (1)17+-17= 4升-4 (3)-15+0= (4)0+-23= 【练3.1】计算： (1)(1)37+-37= 2-47+40- (3)0+-3.2= 2+02 【例4】一天凌晨气温是-5℃，上午气温比凌晨上升了9℃，上午的气温是（)℃ A.3 B.4C.5D.6 【练4.1】潜艇所在海拔为一80米，它的下方20米处有一处礁石，礁石的海拔高度是（)· A.-100米 B.-60米 C.60米 D.100米 加法运算律一 精讲 ①有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和 加法交换律：a+b= ②在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 加法结合律：a+b+c= 【同步练】计算： (1)4.8+1.9+-4.8 (2) 3*3. 号2a (3)23+-18+17+-22 总结：有理数加法运算技巧：①互为相反数先加；②有限凑整，同分母先加；③同号先加 经典例题 【例5】计算： (1)27+35+-35+14 (2)-1+2+ 【练5.1】计算： (1)67+-28.3+-11.7 (2)-3.4+ 1+3+-15 十 44 2.2有理数减法 一有理数减法一 精讲 有理数减法法则：减去一个数，等于 这个数的 表示成：a-b= 【同步练】 把减法变成加法： ①7--4=7+ ;②-8-+5=-8+；③-12-7=-12+—； ④23--15= _；⑤-25-+11= ⑥-31-14= 经典例题 【例6】计算： (1)22--7列 4 (3)-4.8-1.2 432-4号 【练6.1】计算： 1 (1)12--25 (2)43 (3)-3.8--15.4 -0.9 (4)4 【例7】元旦某山区山脚平均气温为零下5摄氏度，山顶平均气温为零下13摄氏度，则山脚平均气温与山 顶平均气温的温差是（）摄氏度 A.-8 B.8 C.-18 D.18 【练7.1】某地一年四季的气温如下表，温差最大的季度是( 季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 气温 -15C~2C 15℃~33C 9℃~25C 12Cw-3℃ A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 一加减法混合运算一 5 精讲 加减混合运算的步骤： 第一步：减法变加法； 第二步：同号、互为相反数或同分母优先合并； 第三步：得出结果 经典例题 【例8】计算： (1)(-15++18-+9++26) (3)-3.6-+1.9--2.8--1.9++3.2 【练8.1】计算： (1)-7-+9+-4--8+-2 6 ®r川 2》-6-10--5号-71+-12+9号 【例9】计算： (1)(+6+-15--4--5 222-6-1 【练9.1】计算： D-4+-125-075+日+2 ②0-暗 【例10】一辆环卫车在南北走向的街道作业，约定向北为正方向，早晨从P地出发，晚上到达Q地，当天 7 行驶记录如下（单位：千米）：12，-8，-6，+9，-15，+4，-7，+5，请问Q地在P地哪个方向， 相距多少千米？ 【练10.1】小明连续6天记录新能源汽车每日行驶路程，以40km为标准，多于40km记“+”，不足记为 “-”,刚好40km记为“0”，数据如下： 天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 路程 -5 -12 +8 0 +15 +22 (1)这6天里路程最多的一天比最少的一天多走 km; (2)求这六天汽车一共行驶了多少千米？ 8 课时检测 1.下列式子结果为-6的是( A.+9+-3 B.-10++4 C.-2+-3 D.5+-11 2.计算： (1)32+-15 (2)2.7+-2.7 (3)- +0 (4)1+0.3+-1.5++1.7+-2.5 3.某地白天气温为12℃，夜间寒潮来袭后气温降至-5℃，则白天的气温比夜间气温高()· 9 A.7C B.17C C.-7C D.-17C 4.某巡检小组从B地出发，在南北走向的道路巡检路线，规定向北行驶为正，向南行驶为负，一天中五次 行驶记录如下（单位：km):+8,-12,+6,-3,-4.则收工时巡检小组在B地的(）， A.南边5km B.北边5km C.南边33km D.北边33m 5.计算： (1)3.8--2.2+-5 (2)-2+3+25 7557 课后巩固 1.下列运算正确的个数为(). ①-3+-3=0 ②-8++5=-13 ③0+-7=7 ④+2+-3=日 88F2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.某地清晨气温为-8℃，气温上升5℃后的温度为(). A.3C B.-3℃C.13℃D.-13C 3.计算： (2）-8.4+-2.6 10 a---+ (4）(+0.37+-0.7++0.63+-9.3 4.下列计算错误的是（)· A.-8-5=-13 B.-8--5=3 C.8--5=13 D.8-+5=3 5.某地秋季某天的最高气温12℃，最低气温是-3℃，则这一天的温差是（). A.9℃ B.15C C.-9℃D.-15℃ 6.将算式8-+5--9+-2变成有理数加法的形式，变形正确的是（）· A.8+-5+9+-2 B.8+5+-9+-2 C.8+5+9+-2 D.8+-5+-9+2 7.计算： (1)15-+21-+14 (2)-5--3--8--16 8.计算： (1)-3- 8 -2号卧-14 11 93引-152-1-号 10.某奶茶店以每日卖出30杯为基准，超出部分记为“+”，不足的部分记为“-”，下面是该店一周的 销量情况： 星期 二 三 四 五 六 销量 -2 +5 -4 +9 -6 +3 (1)这周销量最多的一天比最少的一天多卖出多少杯？ (2)该奶茶店这一周总销量是多少杯？ 第四讲 有理数加减法 2.2有理数加法 一有理数加法-同号两数相加一 精讲 有理数加法法则： 同号两数相加，和取 符号，且和的绝对值等于加数的 【答案】相同；绝对值之和 【同步练】 12 先定号 后算值 结果 +6++9= + 6+9 15 -12+-7= +5++16= 【答案】-；(12+7：-19；+；5+16：+21 总结：同号两数相加，符号」 绝对值 【答案】不变；相加 经典例题 【例1】计算： (1)+18++24= (2)+4.8++2.9= (3) +3+4251= (4) 2 【答案】(1)+42：(2)+7.7；(3)27 (4)73 【练1.1】计算： (1)-23+-15= (2)-3.6+-7.4= (3) 125+-2引 -4 5(4)-4 【答案】(1)-38；(2)-11：(3)-13 一有理数加法一异号两数相加一 精讲 有理数加法法则：绝对值不相等的异号两数相加，和取 的加数的符号， 中较大者与较小者的 互为相反数的两数相加得 一个数与0相加，仍得 【答案】绝对值较大；绝对值；差；0；这个数 【同步练】 先定号 后算值 结果 13 且和的绝对值等于加数的 +6+-9= 9-6 -3 +12+-7= +5+-16= 【答案】+；(12-7；+5；-；16-5：-9 总结：异号两数相加，符号 绝对值 【答案】取绝对值较大的数；用较大的减去较小的 经典例题 【例2】计算： (1)+32+-18= (2)-4.7++9= + (3) w1+34+-} 【答案】)+14，②)+43：g)+高0+3 【练2.1】计算： (1)+23+-38= (2)+7.3+-15.4= (3)3,1 48 ④-64+3号 【答案】1)-15：2)-81：3)-层：(4)-28 【例3】计算： (1)17+-17= (3)-15+0= (4)0+-23= 【答案】(1)0；(2)0；(3)-15；(4)-23 【练3.1】计算： (1)(1)37+-37= (2)-4.7+43 0 2 (3)0+-3.2=： (4)-+0= 5 14 【答案】(1)0；2)-0.4；3)-3.2：4)二号 【例4】一天凌晨气温是-5℃，上午气温比凌晨上升了9℃，上午的气温是（)℃ A.3 B.4C.5D.6 【答案】B 解析：由题意可列式为-5+9=4C,所以本题答案选B 【练4.1】潜艇所在海拔为一80米，它的下方20米处有一处礁石，礁石的海拔高度是（). A.-100米 B.-60米 C.60米 D.100米 【答案】A 解析：由题意可列式为-80-20=-100米，所以本题答案选A. 一加法运算律一 精讲 ①有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和 加法交换律：a+b= ②在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 加法结合律：a+b+c= 【答案】不变；b+a;不变；a+b+c 【同步练】计算： (1)4.8+1.9+-4.8 (2) +32 2+28 (3)23+-18+17+-22 【答案】(1)1.9；(2)7；(3)0 解析：(1)4.8+1.9+-4.8 =4.8+-4.8+1.9 =1.9 2)号+3.2+2+2.8 3 3 15 =1+6 =7 (3)23+-18+17+-22 =23+17+-18+-22 =23+17+-18+-22 =40+-40 =0 总结：有理数加法运算技巧：①互为相反数先加；②有限凑整，同分母先加；③同号先加 经典例题 【例5】计算： (1)27+35+-35+14 + 答类1：子 解析：(1)27+35+-35+14 =27+14+35+-35 =27+14+35+-35 =41+0 =41 2是+2+ 3+3+7 454 4 5 + =-1+1++ 7 4 16 【练5.1】计算： 1 (1)67+-28.3+-11.7 (2)-3.4+ 3+-15 44 【答案】(1)27；(2)-17.4 解析：(1)67+-28.3+-11.7 =67+-28.3+-11.7j =67+-40 =27 (2)-3.4+1+3+-15 44 =-3.4+-15++3 44 -344154合+圣 =-18.4+1 =-17.4 2.2有理数减法 一有理数减法一 精讲 有理数减法法则：减去一个数，等于这个数的 表示成：a-b三 【答案】加上；相反数；a+-b 【同步练】 把减法变成加法： ①7--4=7+；②-8-+5=-8+；③-12-7=-12+ ④23--15=一；⑤-25-+11=；⑥-31-14= 【答案】①4；②-5：③-7：④23+15；⑤-25+-11：⑥-31+ 17 寸 经典例题 【例6】计算： (1)22--7] (3)-4.8-1.2 【答案】D29:2)-53)6 解析：(1)22--7 =22+7 =29 -哈 (3)-4.8-1.2 =-4.8+-1.2 =-6 (4)3.2-41 =34唱 =-1 【练6.1】计算： (1)12--25 18 S E S AI- cIN E0- IN (3)-3.8--15.4 (4) 3-0.9 4 【答案】(1)37；(2)-5 (3)11.6;(4)-0.15 解析：(1)12--25 =12+25 =37 (2)12 43 =3-8 1212 12 (3)-3.8--15.4 =-3.8+15.4 =11.6 w号g =0.75-0.9 =-0.15 【例7】元旦某山区山脚平均气温为零下5摄氏度，山顶平均气温为零下13摄氏度，则山脚平均气温与山 顶平均气温的温差是()摄氏度 A.-8 B.8 C.-18 D.18 【答案】B 解析：温差的计算方法是较高气温-较低气温。山脚平均气温：5℃，山顶平均气温：-13℃，山脚气温 更高，所以列式为-5--13=8，温差是正数，所以温差为8摄氏度，所以本题答案选B. 【练7.1】某地一年四季的气温如下表，温差最大的季度是（ 季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 气温 15C~2C 15℃~33C 9C~25℃ -12C~-3C A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 【答案】B 0 解析：温差的计算方法是较高气温-较低气温。第一季度：2℃--15℃=17℃；第二季度： 33℃-15℃=18℃；第三季度：25℃-9℃=16℃；第四季度：-3℃--12℃=9℃，故本题答 案选B. 一加减法混合运算一 精讲 加减混合运算的步骤： 第一步：减法变加法； 第二步：同号、互为相反数或同分母优先合并； 第三步：得出结果 经典例题 【例8】计算： (1)(-15++18-+9++26 a子+昌 (3)-3.6-+1.9--2.8--1.9++3.2 【答案】1)20：2)-号；(3)24 解析：(1)-15++18)-+9++26 =-15+18+-9+26 =-15+-9+18+26 =-24+44 =20 2子++-号 20 号+片 =居副 (3)-3.6-+1.9--2.8--1.9++3.2 =-3.6+-1.9+2.8+1.9+3.2 =-3.6+-1.9+1.9+2.8+3.2 =-3.6+0+6 =2.4 【练8.1】计算： (1)-7-+9+-4--8+-2 2-610-5号-71*-12+9号 【答案】(1)-14；(2)132 解析：(1)-7-+9+-4--8+-2 =-7+-9+-4+8+-2 =-7+-9+-4+(-2+8 =-22+8 =-14 2-6-10-5号74-121+9号 21 =-6+10+5号+7+-12+9 3 =|-6+-12+10+7+52+9 73 3 -18+17+143 =13号 【例9】计算： (1)1+6+-15--4--5 【答案】1)-10：2)4号 解析：(1)+6+-15--4--5 =+6+-15+4+-5 =l+6+4+|-15+-5 =10+-20 =-10 22-2-居-到 =2+2*号+号 =52小引 L+0 4 22 【练9.1】计算： 1)(-4+-1.25--0.75+ ②r0-3引2引-号 【答案】(1)-1；(2)-3 解折：)-4+125-075+名+号 =-4+1.25+0.75++3 44 =4+1.25+0.75+3+3 44 =-4+2+1 =-1 2引03时 引43号+2 号 =-9+6 =-3 【例10】一辆环卫车在南北走向的街道作业，约定向北为正方向，早晨从P地出发，晚上到达Q地，当天 行驶记录如下（单位：千米)：12，-8，-6，+9，-15，+4，-7，+5，请问Q地在P地哪个方向， 相距多少千米？ 【答案】12+-8+-6+9+-15+4+-7+5=-6（千米） 23 ∴.Q地在P地的南边，相距6千米. 解析：要确定Q地相对P地的方向和距离，需要把当天所有行驶记录相加，得到最终的位移：向北为正， 向南为负，列式计算：12+-8+-6+9+-15+4+-7+5=-6（千米）；结果为负数，说明Q地 在P地的南方，绝对值6就是两地相距的千米数.所以本题答案为Q地在P地的南方，相距6千米 【练10.1】小明连续6天记录新能源汽车每日行驶路程，以40kam为标准，多于40km记“+”，不足记为 “一”， 刚好40km记为“0”，数据如下： 天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 路程 -5 -12 +8 0 +15 +22 （1)这6天里路程最多的一天比最少的一天多走 km; (2)求这六天汽车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)34； (2)-5+-12+8+0+15+22=28(km) 40×6=240(m) 240+28=168(km) .这六天汽车一共行驶268千米 解析：(1)由题得：最大值：+22，最小值：-12，差值计算： +22--12=34(km) (2)先算6天相对于标准40km的总偏差和：-5+(-12+8+0+15+22=28(km);计算6天标准 总里程：40×6=240(km);实际总里程=标准总里程+偏差和：240+28=168(km);所以这六 天汽车一共行驶268千米. 课时检测 1.下列式子结果为-6的是（) A.+9+-3 B.-10++4 C.-2+-3 D.5+-11 【答案】B 2.计算： 24 (1)32+-15 (2)2.7+-2.7 (3) 25 +0 (4)(+0.3+-1.5++1.7+-2.5 【管案】)17：a)0:e)号④-2 3.某地白天气温为12℃，夜间寒潮来袭后气温降至-5℃，则白天的气温比夜间气温高()· A.7C B.17C C.-7C D.-17C 【答案】B 解析：温差的计算方法是较高气温-较低气温，列示为：12--5=17℃，故本题答案选B. 4.某巡检小组从B地出发，在南北走向的道路巡检路线，规定向北行驶为正，向南行驶为负，一天中五次 行驶记录如下（单位：km):+8,-12,+6,-3,-4.则收工时巡检小组在B地的（）. A.南边5km B.北边5km C.南边33mD.北边33am 【答案】A 解析：先计算五天总位移：+8+-12+6+-3+-4=-5(km),规定向北行驶为正，向南行驶为 负，所以收工时巡检小组在B地的南边5km,所以本题答案选A 5.计算： (1)3.8--2.2+-5 【答案】(1)0；(2)0 解析：(1)3.8--2.2+-5 =3.8+2.2+-5 =0 四号号号 -22+2+- 7'55 到引到 25 =-1+1 =0 课后巩固 1.下列运算正确的个数为（) ①-3+-3=0 ②-8++5=-13 ③0+-7=7 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 解析：①-3+-3=-6，故①错误；②-8++5=-3，故②错误；③0+-7=-7，故③错误；④ 故④正确，所以本题答案选B 2 2.某地清晨气温为-8℃，气温上升5℃后的温度为()， A.3C B.-3℃C.13CD.-13℃ 【答案】B 解析：气温上升，则列式为：-8+5℃=-3C,所以本题答案选B. 3.计算： w+ (2）-8.4+-2.6) +到 (4）+0.37+-0.7++0.63+-9.3 26 【答案1()+片；(2)-1：(3)-1：4)-9 解折：0+孕到- =+1卫 4 (2)-8.4+-2.6 =-11 o}+ =到 =-1+0 =-1 (4)+0.37+-0.7++0.63+-9.3 =+0.37++0.63+-0.7+-9.3 =1+-10 =-9 4.下列计算错误的是（). A.-8-5=-13 B.-8--5=3 C.8--5=13 D.8-+5=3 【答案】B 解析：A.-8-5=-8+-5=-13,故A正确；B.-8--5=-8+5=-3,故B错误； 8--5=8+5=13,故C正确；D.8-+5=8+-5=3,故D正确，所以本题答案选D. 5.某地秋季某天的最高气温12℃，最低气温是-3℃，则这一天的温差是（) A.9℃ B.15℃C.-9℃D.-15℃ 【答案】B 解析：温差的计算方法是较高气温-较低气温，列示为：12--3=15℃，所以本题选B 27 6.将算式8-+5--9+-2变成有理数加法的形式，变形正确的是( A.8+-5+9+-2 B.8+5+-9+-2 C.8+5+9+-2 D.8+-5+-9+2 【答案】A 解析：8-+5--9+-2=8+-5+9+-2，所以本题答案选A 7.计算： (1)15-+21-+14 (2)-5--3--8- 【答案】(1)-20；(2)22 解析：(1)15-+21-+14 =15+-21+-14 =15+-21+-14 =15+-35 =-20 (2)-5--3--8--16 =-5+3+8+16 =22 8.计算： (1)-3--」 (2) - 25 【答案】(1)- 8；(2)1 解析：(1)3 5 8 8 -2 = 3, 8 28 T.+- mli 9 -+14 +号 引+ =-2+3 =1 9-15*2--号 【答案】4.5 解析： 对152-1-到 =3号+1.5+2+-2 -3-2+15*2 =1+1.5+2 =4.5 10.某奶茶店以每日卖出30杯为基准，超出部分记为“+”，不足的部分记为“一”，下面是该店一周的 销量情况： 星期 三 四 五 六 销量 -2 +5 -4 +9 -6 +3 (1)这周销量最多的一天比最少的一天多卖出多少杯？ (2)该奶茶店这一周总销量是多少杯？ 29 【答案】(1)9--6=15（杯） .这周销量最多的一天比最少的一天多卖出15杯； (2)-2+5+-4+9+-6+3=5(杯) 30×6=180(杯) 180+5=185(杯) ∴.该奶茶店这一周总销量是185杯 解析：(1)求销量最多与最少的差值，最多的一天：+9，最少的一天：-6， 则两者差值列式为：9--6=15（杯），所以这周销量最多的一天比最少的一天多卖出15杯 (2)先算一周销量相对基准的总波动和，列式为：-2+5+-4+9+-6+3=5（杯）；再计算6天按 基准的总销量：30×6=180（杯）；最后再加上波动量得到实际总销量：180+5=185（杯），所以该奶 茶店这一周总销量是185杯 30