专题2.2 有理数的加减运算【导图+知识卡片+知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题】-2026-2027学年北师大版数学七年级上册同步讲义

本讲义聚焦有理数加减运算核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法）及加减混合运算（统一加法、省略括号），构建从基础法则到综合运算的递进学习支架。 资料以11个题型讲练（含生活应用、数轴距离等）为核心，结合中考真题与分层训练，通过典例与变式提升运算能力，生活实例（如温度变化、快递路程）培养模型意识，数轴问题发展几何直观，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

nullnull 专题2.2 有理数的加减运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数加法法则 2 知识点二 有理数加法运算律 3 知识点三 有理数减法法则 3 知识点四 有理数加减混合运算 3 题型讲练 3 题型一 有理数加法运算 3 题型二 有理数加法中的符号问题 4 题型三 有理数加法在生活中的应用 5 题型四 有理数加法运算律 6 题型五 有理数的减法运算 7 题型六 有理数减法的实际应用 7 题型七 有理数的加减混合运算 8 题型八 有理数加减中的简便运算 9 题型九 有理数加减混合运算的应用 10 题型十 省略加法和括号的形式 11 题型十一 数轴上两点之间的距离 12 中考真题演练 12 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 24 知识点一 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点二 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点三 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点四 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 题型一 有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）在数轴上，与的距离为3的数是______． 题型二 有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建·期中）已知数轴上从左往右依次有A、B、C、D、E、F、G七个点，分别表示有理数a、b、c、d、e、f、g，其中点D到点B的距离等于点D到点F的距离．若，则上述七个有理数中一定是负有理数的有：_______． 题型三 有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 题型四 有理数加法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）计算：． 题型五 有理数的减法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）数轴上的点M对应的数是0，那么将点M向左移动4个单位长度，此时点M表示的数是（    ） A．－4 B．0 C．－4或0 D．都不正确 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知数轴上的点表示的数是，将点向左移动3个单位长度，此时点表示的数是_____． 题型六 有理数减法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河南开封·期末）一次测试共有两道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有25人，那么两道题都答错的人数为（    ） A．5人 B．10人 C．15人 D．25人 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期末）某校开展“健步迎冬奥，一起向未来”健步走活动，每天健康走路6000步即为达标．某天，小王走了8100步，记为步：小李走了5700步，记为______步． 题型七 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期末）计算：． 题型八 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·西藏昌都·期末）计算题：． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 题型九 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 题型十 省略加法和括号的形式 【典例精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 题型十一 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·广西梧州·期末）若数轴上点表示的数是，则与点相距3个单位长度的点表示的数是（   ） A．或1 B．5或1 C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）数轴上点A表示的数是，数轴上的另一点B与点A距离3个单位长度，则点B表示的数是___________． 【真题演练1】（2025·浙江温州·中考真题）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 【真题演练4】（2025·重庆·中考真题）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是______．    【真题演练5】（2025·吉林长春·中考真题）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为 ，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，数轴上的刻度对应不同城市的时区（单位：时），规定数轴正方向为东，时区数值越大表示当地时间越早，各城市对应的时区如图所示．则北京时间2026年1月5日20时对应的4个城市的时间中，正确的是（   ） A．巴黎时间2026年1月5日14时 B．伦敦时间2026年1月5日12时 C．纽约时间2026年1月5日6时 D．首尔时间2026年1月5日19时 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）甲、乙两支同样的温度计按如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数正对着乙温度计的度数，那么此时甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是______． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 8．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）列式并计算： (1)减去与和，求所得的差； (2)求的绝对值的相反数与相反数的和． 9．（25-26七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 2．（25-26七年级上·全国·期中）同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26七年级上·河南新乡·期中）现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知点A，B，C，D，E在同一直线上．C是线段上一点，D是线段的中点．若，则的值________． 5．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如； ．则当时，的值为__________． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有____________个． 7．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 8．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b、c的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 9．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 10．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 有理数的加减运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+11个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数加法法则 2 知识点二 有理数加法运算律 3 知识点三 有理数减法法则 3 知识点四 有理数加减混合运算 3 题型讲练 3 题型一 有理数加法运算 3 题型二 有理数加法中的符号问题 4 题型三 有理数加法在生活中的应用 5 题型四 有理数加法运算律 6 题型五 有理数的减法运算 7 题型六 有理数减法的实际应用 7 题型七 有理数的加减混合运算 8 题型八 有理数加减中的简便运算 9 题型九 有理数加减混合运算的应用 10 题型十 省略加法和括号的形式 11 题型十一 数轴上两点之间的距离 12 中考真题演练 12 难度分层训练 18 【基础夯实】 18 【培优拔高】 24 知识点一 有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 知识点二 有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 知识点三 有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 知识点四 有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 题型一 有理数加法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故A错误． B、，故B错误． C、，故C错误． D、，故D正确． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）在数轴上，与的距离为3的数是______． 【答案】1或 【分析】分为该数在的左侧和该数在的右侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：当该数在的左侧时，则该数为， 当该数在的右侧时，则该数为， 综上所述，该数为1或． 题型二 有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建·期中）已知数轴上从左往右依次有A、B、C、D、E、F、G七个点，分别表示有理数a、b、c、d、e、f、g，其中点D到点B的距离等于点D到点F的距离．若，则上述七个有理数中一定是负有理数的有：_______． 【答案】a、b、c、d 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，中点的定义， 根据点D到点B和点F的距离相等，得出点D是点B和点F的中点，结合数轴上的顺序和，推导出点B表示的数b一定为负数，从而点A表示的数a也为负数，进一步推导出点D表示的数d一定为负数，点C表示的数c也一定为负数． 【详解】解：点B、D、F表示的数分别为b、d、f， 点D到点B和点F的距离相等，得出点D是点B和点F的中点， 得， 解得． 由数轴上点的顺序可知，由，且， 知b一定为负数， 所以，a为负数， 由和， 分情况讨论：若b和f均为负数，则； 若b为负数、f为正数，由得，则， 因此d一定为负数． 由，且c在b与d之间，故c一定为负数， 综上，点A、B、C、D表示的数一定为负有理数． 故答案为：a、b、c、d． 题型三 有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 【答案】10（答案不唯一） 【分析】先统一质量单位，根据标识含义求出符合标准的质量取值范围，在范围内任选一个值作答即可． 【详解】解：， 最小合格质量为，最大合格质量为， ∴该袋大米符合标准的质量范围为， ∴该袋大米符合标准质量的可以是． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动．如果以球门为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，（假设开始计时时守门员正好在球门线上） (1)请通过计算说明守门员最后停在什么位置； (2)请通过计算说明守门员共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员在球门前处 (2)守门员共跑了 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）将所有数字相加进行计算即可； （2）将所有数字的绝对值相加进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴守门员在球门前处； （2）解：， ∴守门员共跑了． 题型四 有理数加法运算律 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的加法运算律等知识点，掌握相关运算法则 解题的关键． 先根据有理数的加减运算法则化简，再用有理数的加法运算律进行简便运算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简多重符号，再利用加法结合律求解即可． 【详解】解： ． 题型五 有理数的减法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）数轴上的点M对应的数是0，那么将点M向左移动4个单位长度，此时点M表示的数是（    ） A．－4 B．0 C．－4或0 D．都不正确 【答案】A 【分析】利用“左减右加”的规则计算即可. 【详解】解：点M初始对应的数是0，向左移动4个单位长度， 则有. 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知数轴上的点表示的数是，将点向左移动3个单位长度，此时点表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的平移规律，解题的关键是掌握“左减右加”的平移法则． 已知点表示的数是，将其向左移动个单位长度，根据数轴平移规律，用原数减去移动的单位长度即可得到新数． 【详解】解：， 故答案为：． 题型六 有理数减法的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河南开封·期末）一次测试共有两道题，全班有50名同学参加测试，答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有25人，那么两道题都答错的人数为（    ） A．5人 B．10人 C．15人 D．25人 【答案】B 【分析】将全班同学分为只答对第一题、只答对第二题、两题都答对、两题都答错四类，根据已知条件计算各类人数，即可得到两道题都答错的人数. 【详解】解：将全班同学分为四类，A为只答对第一题，B为只答对第二题，C为两题都答对，D为两题都答错； ∵答对第一题的有35人，两题都答对的有25人， ∴. ∵答对第二题的有30人，两题都答对的有25人， ∴. 已知，全班总人数为50， ∴. ∴两道题都答错的有10人. 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期末）某校开展“健步迎冬奥，一起向未来”健步走活动，每天健康走路6000步即为达标．某天，小王走了8100步，记为步：小李走了5700步，记为______步． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义、有理数的加减运算等知识点，理解超过基准的步数记为正，不足基准的步数记为负是解题的关键． 先发现每天健康走路的标准6000步为标准，超过基准的步数记为正，不足基准的步数记为负，据此列式求出小李实际步数与达标步数的差值即可． 【详解】解：由题意可知，达标步数为6000步．记录的步数为实际步数与达标步数的差，则，记为步． 故答案为：． 题型七 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期末）计算：． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 题型八 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·西藏昌都·期末）计算题：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，解决本题的关键是正确计算． 把同符号的数放在一起计算求解即可． 【详解】解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 【答案】(1)四 (2)解题过程见解析 【分析】（1）根据计算过程逐步判断即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键． 【详解】（1）解：根据计算，判断第四步出现了错误， 故答案为：四． （2）解：原式 ． 题型九 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据气温上升为正、下降为负列出算式，再依据有理数加减法法则计算即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西西安·期末）当前，人们对健康愈加重视，跑步成了人们进行体育锻炼的首要选择．爸爸计划每天跑3千米，他记录了一周跑步路程变化的情况如下表：（正数表示比计划增加的路程，负数表示比计划减少的路程） 星期 一 二 三 四 五 六 日 路程/千米 (1)星期二爸爸的跑步路程是 千米； (2)爸爸跑步路程最多的一天是星期 ； (3)爸爸这七天一共跑步多少千米？ 【答案】(1)4 (2)五 (3)爸爸这七天一共跑步千米 【分析】本题考查有理数加法在实际生活中的应用，核心是正确理解表格中增减量的含义，即实际路程为计划路程与对应增减量的和． （1）直接通过计划路程加星期二的增减量计算实际路程； （2）根据表格找出比计划跑步路程多跑最远的一天即可； （3）用七天计划总路程加上所有增减量的总和来计算总路程． 【详解】（1）解：星期二爸爸的跑步路程为（千米）， 故答案为：4； （2）解：由表格可知，比计划增加的路程最多的一天多跑了2千米，即星期五， 所以爸爸跑步路程最多的一天是星期五， 故答案为：五； （3）解：七天计划跑步总路程为（千米）， 一周路程增减量的总和为（千米） 所以七天实际总路程为（千米）， 答：爸爸这七天一共跑步千米． 题型十 省略加法和括号的形式 【典例精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则去掉括号，即可求解． 【详解】解：将写成省略加号和括号的形式为． 故选：C． 题型十一 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·广西梧州·期末）若数轴上点表示的数是，则与点相距3个单位长度的点表示的数是（   ） A．或1 B．5或1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，分该点在A的左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是， ∴当所求点在点A左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点A右侧时，该点表示的数为； ∴与点A相距个单位长度的点表示的数是或， 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）数轴上点A表示的数是，数轴上的另一点B与点A距离3个单位长度，则点B表示的数是___________． 【答案】或0 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减运算，需分类讨论点在点左侧和右侧两种情况求解． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点与点相距3个单位长度 ∴当点在点的左侧时，点表示的数是， 当点在点的右侧时，点表示的数是． 【真题演练1】（2025·浙江温州·中考真题）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【真题演练2】（2025·广东广州·中考真题）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案． 【详解】解：∵|a−d|＝10， ∴a和d之间的距离为10， 假设a表示的数为0，则d表示的数为10， ∵|a−b|＝6， ∴a和b之间的距离为6， ∴b表示的数为6， ∴|b−d|＝4， ∴|b−c|＝2， ∴c表示的数为8， ∴|c−d|＝|8−10|＝2， 故选：D． 【真题演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 【答案】5或9 【分析】本题考查绝对值的应用，数轴，掌握知识点是解题的关键． 由，，得到b是a和c的中点，，，由，得到，即，设x表示点E的数，当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有，分类进行分析计算；当点D在点A的左侧时，分类进行分析计算，即可解答． 【详解】解：由，， ∴b是a和c的中点，，， 由，得 ，即， 设x表示点E的数， 当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有， ①当点E在点A的左侧时，如图 ， ②当点E在点C的右侧时，如图 ， ③当点E在点C上时，如图 ， ④当点E在点A上时，如图 ， ⑤当点E在之间时，如图 ， ⑥当点E在之间时，如图 ⑦当点E在之间（包括点C，D）时，如图 ， ∴的最小值为5． 当点D在点A的左侧时，同理可得， 当点E在之间时，取得最小值，如图 ∴． 综上所述，的最小值为5或9． 【真题演练4】（2025·重庆·中考真题）将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是______．    【答案】23 【分析】本题主要考查了宫格数阵问题．熟练掌握数阵链特点，尝试填数，是解决问题的关键． 根据中间三个数加了两次，和最大是24 ，9个数的和为45，即可求出每条线上数的和最大为23，据此尝试填数（答案不唯一）． 【详解】由图可知，中间三个数加了两次，这三个数的和最大是： ， ∵数字的和为：， ∴． ∴每条线上的4个数的和最大为23． 故答案为：23．    【真题演练5】（2025·吉林长春·中考真题）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为 ，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性即可． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：， ， ， ， ， ， ， ． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足， ∴必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②由①得第一次回到换电站时，显示剩余续航，故②错误． ③根据题意：第一次换电：完成点后返回(行驶)， 第二次换电：完成点后返回(行驶)， 第三次行程：(无需换电)． 需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“配送车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④， 故选：B． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，数轴上的刻度对应不同城市的时区（单位：时），规定数轴正方向为东，时区数值越大表示当地时间越早，各城市对应的时区如图所示．则北京时间2026年1月5日20时对应的4个城市的时间中，正确的是（   ） A．巴黎时间2026年1月5日14时 B．伦敦时间2026年1月5日12时 C．纽约时间2026年1月5日6时 D．首尔时间2026年1月5日19时 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，有理数的加减的应用． 根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其它四个城市时间差即可得到答案． 【详解】解：A．巴黎在北京左侧个单位，，巴黎时间2026年1月5日时，原选项正确； B．伦敦在北京左侧个单位，，伦敦时间2026年1月5日时，原选项错误； C．纽约在北京左侧个单位，，纽约时间2026年1月5日时，原选项错误； D．首尔在北京右侧个单位，，首尔时间2026年1月5日时，原选项错误； 故选：A． 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）甲、乙两支同样的温度计按如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数正对着乙温度计的度数，那么此时甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，从度数移动到度数，则移动了个单位长度，又度数正对着乙温度计的度数，则甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，从度数移动到度数，则移动了个单位长度， ∵度数正对着乙温度计的度数， ∴甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【答案】 【分析】本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可． 【详解】解：原式， ， 故答案为： ． 7．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 【答案】(1)卡片B在出发点O点西侧1米处 (2)36米 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减混合运算的实际应用． （1）计算的和，根据结果的符号计算即可； （2）先求出从E点返回O点的路程，再将求得的返回路程与各次移动记录数据的绝对值相加即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴卡片B在出发点O点西侧1米处； （2）解：机器人最终位置的坐标为：（米）处，从该点返回 点的路程为 （米）， 机器人完成一次全程比赛共移动的路程为： （米）． 8．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）列式并计算： (1)减去与和，求所得的差； (2)求的绝对值的相反数与相反数的和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】正确的翻译句子，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 9．（25-26七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周共送餐441单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1388元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）计算表格数据的和，再加上，即可求解； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（单）； 故答案为：． （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周共送餐441单． （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1388元． 10．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案； （2）根据和解答；②根据解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①，， 则； ②， 则． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. 2．（25-26七年级上·全国·期中）同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期中）现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义以及学生的分析、推理能力，体现了数形结合的思想方法． 画出数轴并根据绝对值的几何意义分析即可求解． 【详解】解：表示的是数轴上表示数的点分别到表示数2、的点的距离之差，画出数轴如图所示， 可知当时，这个距离之差取得最大值， 即取得最大值，最大值为． 故选∶ C 4．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知点A，B，C，D，E在同一直线上．C是线段上一点，D是线段的中点．若，则的值________． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查线段之间和差和中点计算，设，根据题意得，和，可假设点A、B、C坐标分别为、、．进一步设点D坐标为，则点E坐标为．有，解方程得或，即可求得点E坐标为或，进一步求得或，即可得到的两种可能值． 【详解】解：设， ∵， ∴，，． 则点A、B、C坐标分别为、、． 设点D坐标为，则点E坐标为． 由，解方程得或． 则对应点E坐标为或， ∵点B坐标为， ∴或， ∵， ∴或， 故答案为：2或6． 5．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如； ．则当时，的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据定义，，。当 时，若 不是整数，则 ，因此 ；若 是整数，则 ．由于题干中包含非整数，且 时通常考虑非整数情况，因此值为 1． 【详解】解：由定义，，， 所以 ， 当 且 不是整数时， 设 ，其中 为整数，，则 ，， 故 ， 于是 ， 所以 ， 当 是整数时，，， 所以 ， 于是 ， 从题干可知，已考虑非整数情况，且 时通常关注非整数， 因此值为 1， 故答案为 1． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，电子屏幕上有一条直线m，在直线m上有A、B、C、D、E五点．点P沿直线m从左向右移动，当出现点P与A、B、C、D、E五点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线m上会发出警报的点P位置最多有____________个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、线段等知识点，发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报是解题的关键． 先发现当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，再确定线段的条数即可解答． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，因为图中有线段、、、、、、、、、共10条，所以发出警报的点P位置最多有10个． 故答案为：10． 7．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题考查了带分数的加法运算，计算带分数的和，先分别计算整数部分和分数部分的和，再合并结果，整数部分为5个3相加，分数部分通分后分子相加． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b、c的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 【答案】(1) (2)①；②不变，理由见解析 【分析】本题考查最小正整数定义，绝对值和完全平方非负性，数轴上两点间距离，数轴上动点问题等． （1）根据题意可得，利用绝对值和完全平方非负性可知，； （2）①经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为，继而可求出本题答案；②经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，继而可得，，继而得到，继而可知不会随着时间t的变化而改变． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：①∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以3个单位长度的速度向右运动， ∵点A现在表示的数为，点C现在表示的数为， ∴经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为， ∴， 故答案为：14； ②不变，理由如下： ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变． 9．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 【答案】（1）7，11；（2）7或；（3）4或；（4）小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁 【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，数轴上两点距离的表示方法：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离； （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是； （2）表示m到2的距离为5，结合数轴即可得出结果； （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，结合数轴即可得出结果； （4）利用爷爷和小明之间年龄差不变，结合数轴即可得出结果. 【详解】解：（1）∵， ∴数轴上表示2和9两点之间的距离是7， ∵， ∴数轴上表示5和的两点之间的距离是11. 故答案为：7，11. （2）表示m到2的距离为5，如图所示： ∵， ∴或， ∴或， ∴到2的距离为5的数是7或， 故m的值为7或. （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，如图所示： ①当时，，即， 解得： ②当时，，即， ∵不成立， ∴当时不成立， ③当时，，即， 解得： 综上：x的值为4或. （4）画出数轴如图所示： 小明现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C则当点C移动到点B时，点B移动到了点A，当点B移动到点C时，点C移动到了点D， ∵爷爷和小明之间年龄差不变，即在数轴上两点之间距离不变， ∴， 又∵爷爷说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁” ∴点A表示，点D，表示98， ∴， ∴（岁），（岁）， 即小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁. 10．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $