2.3 有理数的乘除运算（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正异号得负、多个因数相乘符号规则）、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、倒数概念、除法法则（转化为乘法）及混合运算顺序，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过分层设计（知识点+随学随练+拓展+题型）、易错点专项提醒（如符号处理、运算律混淆），结合实际应用（出租车里程计算）和新定义问题，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 课标要点 1. 掌握有理数乘除运算法则，理解“同号得正、异号得负”的符号法则及绝对值运算规则。 2. 理解除法与乘法互为逆运算，能将除法转化为乘法（乘除数的倒数）简化计算。 3. 掌握有理数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律），能运用运算律简化运算，解决简单实际问题。 学习重难点 重点 1. 掌握有理数乘除法的符号法则和绝对值运算法则，能正确进行乘除运算。 2. 理解倒数的意义，会求一个数的倒数，并能将除法转化为乘法进行计算。 难点 1. 理解“负负得正”等符号法则的合理性，克服符号处理的抽象性认知困难。 2. 在乘除混合运算中正确处理运算顺序和符号，避免与加减法符号规则混淆。 知识点 有理数的乘法法则（重点） （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 特别提醒 - 核心法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。 - 多个因数相乘：积的符号由负因数的个数决定——负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正（奇负偶正）。先定符号，再算绝对值。 - 易错点：相乘时先判断符号，再计算绝对值，不要与加法法则混淆（加法同号取相同符号，绝对值相加；乘法同号得正，绝对值相乘）。带分数相乘要先化成假分数再约分计算。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 知识点 有理数的乘法运算律（重点） （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 特别提醒 - 三大运算律：乘法交换律（a×b=b×a）、乘法结合律（(a×b)×c=a×(b×c)）、乘法分配律（a×(b+c)=a×b+a×c）。交换律和结合律只适用于乘法，不能与加法运算律混淆。 - 运用关键：使用运算律是为了简化计算，通常将能凑整（如互为倒数、乘积为整十整百）或分母相同的数先结合相乘；分配律使用时，括号外的数要分别乘以括号内的每一项，注意符号不要漏乘。 - 易错点：逆用分配律时（提取公因数），要注意符号的一致性；多个因数相乘时，先定符号（奇负偶正），再用运算律简化绝对值计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数乘法分配律进行计算即可，注意不要漏乘，不要弄错符号． 【详解】解：原式 ． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 3．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 知识点 确定乘积符号 （1） 若a＜0，b＞0，则ab < 0； （2） 若a＜0，b＜0，则ab > 0； （3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号； （5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 特别提醒 - 核心法则：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数为奇数个时积为负，为偶数个时积为正（简称“奇负偶正”）。 - 关键步骤：先数负号个数确定符号，再算绝对值相乘。若因数中有0，则积为0，不必再判断符号。 - 易错点：不要与加法符号法则混淆，且带分数必须先化为假分数再确定符号和计算。 随学随练 1.下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 2.对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键． 根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：B． 知识点 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 特别提醒 - 核心法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b = a×1/b（b≠0）。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数都得0。 - 易错点：0不能作除数（无意义）；除法没有分配律，即 a÷(b+c) ≠ a÷b + a÷c；带分数要化成假分数再求倒数；计算时，通常先将除法转化为乘法，再按乘法法则计算，并确定符号（奇负偶正）。 随学随练 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；符号法则：同号得正，异号得负．对于连续除法，从左到右依次计算或统一转换为乘法后计算． （1）根据除法法则计算即可； （2）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （3）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； （4）根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先转化为乘法运算，然后利用有理数乘法运算法则即可解答； （2）先转化为乘法运算，再利用乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 拓展 有理数加减乘除混合运算 1. 先定符号，后算绝对值 乘除先确定结果符号（同号得正、异号得负），再算绝对值乘除。加减按“同号相加、异号相减”确定符号。 2. 遵循运算顺序 先算乘除，后算加减。有括号先算括号内。同级运算从左到右依次计算，注意除法转化为乘法再约分。 3. 灵活运用运算律 加法交换律、结合律、乘法分配律可简化运算。如分配律逆用（提取公因数）能避免复杂计算，提高准确率。 核心口诀：先乘除后加减，括号优先；符号看准，运算律巧用。 活学活用 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 拓展 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 1. 精准套用，转化算式 仔细阅读新定义（如a⊗b=a×b÷(a-b)），将给定数值代入对应位置，严格按规则转化为常规乘除算式。 2. 先算括号，再算乘除 若新定义中包含括号运算，先计算括号内的结果，再代入外层规则。遵循先乘除后加减（若涉及），同级从左到右。 3. 符号优先，结果化简 乘除运算先定符号（同号得正、异号得负），再算绝对值。分数结果化为最简形式，分母不为零需验证。 活学活用 1．（2026·河北廊坊·一模）定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)通过计算说明：与的值是否相等． 【答案】(1) (2)，计算说明见解析 【分析】（1）根据题意可得，据此求解即可； （2）根据定义分别求出和的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题目中定义运算法则代入求解即可． （1）根据新定义的代入计算即可； （2）据新定义的代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 拓展 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 1. 判断绝对值内符号，确定取值范围 根据绝对值内代数式的正负性分类，分≥0和<0两种情况，去掉绝对值符号，得到两个不同表达式。 2. 逐类代入，分别计算 将各类取值范围下的表达式分别代入原式，按乘除法则（同号得正、异号得负）计算，每类得出相应结果。 3. 检验解集，合并答案 验证各类结果是否满足对应的取值范围，剔除不符合的解。最终答案若多解，用“或”连接，确保不重不漏。 活学活用 1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．试用分类讨论解决下列问题．两个有理数x，y满足，求的值． 解： （1）时， （2）时， 所以的值是2或0． 仿照上面“分类讨论”的数学思想解．如果a，b，c是非零有理数，求的值 【答案】或或3或1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 分四种情况讨论，分别化简绝对值，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：①当都为正数时，即，原式； ②当中两个为正数，一个为负数时，不妨设， 则原式； ③当中两个为负数，一个为正数时，不妨设， 则原式； ④当都为负数时，即， 则原式； 综上所述：的值为或或3或1． 2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当时，；当时，；当时，． 【提出问题】如果有理数、，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论，的符号．解：由题意得： ①当，都是正数，即，时，则； ②当，都是负数，即______时，则______+______=______； ③当，有一个为正数，另一个为负数时，则______， 故：的值为______． 【类比探究】三个有理数，，满足，则______． 【答案】【解决问题】②，；；③0；2或或0；【类比探究】0或 【分析】本题考查了绝对值的性质及分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键． 【解决问题】分三种情况：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【类比探究】分两种情况：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【详解】解：【解决问题】②当，都是负数，即，时，， 故答案为：；，；； ③当，有一个为正数，另一个为负数时，令时，， 故答案为：0； 综上所述，的值为2或或0； 【类比探究】， 令或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：0或． 题型 两个有理数的乘法运算 解题贴士 先定符号（同号得正，异号得负），再把绝对值相乘。任何数乘0得0。若因数为带分数，先化假分数再约分。 ▌例1计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． ▌对点练1-1计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌对点练1-2计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3) (4)8 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握两个有理数乘法运算法则是解题的关键． 根据两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌对点练1-3计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则计算即可； 本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 题型 多个有理数的乘法运算 解题贴士 定符号看负号个数：奇数个负号为负，偶数个为正。再把绝对值相乘。有0因数积为0。先约分再计算更简便。 ▌例2计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，先确定符号，再进行绝对值得运算，注意乘法运算时带分数化成假分数． 根据负因数的个数，可得积的符号，根据分子乘分子，分母乘分母，可得答案． 【详解】解： ． ▌对点练2-1计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据有理数的乘法运算进行计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练2-2计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． ▌对点练2-3计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 题型 倒数 解题贴士 乘积为1的两个数互为倒数。求法：整数倒数为1/n，分数倒数为分子分母互换。0无倒数，±1倒数是本身。 ▌例3（2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． ▌对点练3-1（2026·江苏南京·一模）2026的相反数是____________；2026的倒数是____________． 【答案】 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，根据对应定义直接求解即可． 【详解】解：2026的相反数是；2026的倒数是． ▌对点练3-2（25-26七年级上·四川乐山·期末）_____的相反数是6，的倒数是_____． 【答案】 【分析】本题考查相反数和倒数的定义． 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”填空，根据“乘积为1的两个数互为倒数”即得答案． 【详解】解：的相反数是6，的倒数是， 故答案为：，． ▌对点练3-3（25-26六年级上·上海金山·期中）的相反数是______，的倒数是______． 【答案】 【分析】本题考查相反数和倒数的概念． 相反数是只有符号不同的两个数，倒数是乘积为1的两个数． 【详解】解：将带分数化为假分数，得， 根据相反数的定义，的相反数为； 根据倒数的定义，的倒数为． 故答案为：，． 题型 有理数乘法运算律 解题贴士 交换律、结合律、分配律（a(b+c)=ab+ac）。先用运算律简化：凑整、约分、拆项。逆用分配律（提取公因数）更简便。 ▌例4（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． ▌对点练4-1（25-26七年级上·北京石景山·期末）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． ▌对点练4-2（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算绝对值并利用乘法分配律计算，然后算括号里的，最后算加减即可． 【详解】解：原式 ． ▌对点练4-3（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 有理数乘法的实际应用 解题贴士 审题分清正负意义（上升为正、下降为负等）。列式：总量=单个量×个数，注意单位统一。符号定方向，绝对值定大小。 ▌例5（26-27七年级·江苏·小升初衔接）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米； (2)元． 【分析】（1）先将8个数据的绝对值相加，求出总行车里程，再乘以每公里消耗天然气量求解即可； （2）分别求出位乘客的车费，再求和即可． 【详解】（1）解：总行车里程为， 共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （2）解：行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； （元）， 答：小李这天上午共得车费元． ▌对点练5-1（24-25六年级上·山东烟台·期中）某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：，，，，，，，，. (1)请通过计算说明收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，说明检修小组最后的位置 (2)直接写出距离A地最近的记录是哪一次？距离A地多远？ (3)求这一天检修小组的总路程，如果汽车耗油是，今天耗油多少L． 【答案】(1)没有回到A地. 检修小组最后的位置在A地东面处 (2)第7次记录距离A地最近，距离A地 (3)这一天检修小组总路程为，今天耗油 【分析】（1）将所有行走记录相加，根据结果是否为0判断是否回到A地，根据结果的正负和绝对值判断最终位置； （2）依次计算每次移动后距离A地的距离，比较大小得到最近的次数和距离； （3）总路程为所有行走记录的绝对值之和，再乘以单位耗油量得到总耗油量． 【详解】（1）解：根据题意，将所有行动记录相加得：， ∵，且结果为正， ∴收工时检修小组没有回到A地，在A地东面处； （2）解：依次计算每次记录后距离A地的距离: 第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； 第9次：； 比较可得， ∴第7次记录距离A地最近，距离为； （3）解：总路程为所有行动记录的绝对值之和： ， 总耗油量为： 答: 这一天检修小组的总路程为，今天耗油． ▌对点练5-2（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 【答案】(1)“健康监测准确性” (2) 解：A款智能手表得分：分． B款智能手表得分：分． C款智能手表得分：分． 按此评分规则，小明会选购C款智能手表． (3) 解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大． 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可； （3）根据权重分析即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目． （2）略 （3）略 ▌对点练5-3（25-26七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 (1)开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． (2)开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） (3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 【答案】(1)四， (2)元 (3)饭堂更希望方案一卖出 【分析】（1）根据正负数的意义找出最小销售量对应的周次，再计算销售量最高周的销售额即可． （2）先计算每周实际销售量，再利用盈利公式（盈利（售价成本）总销售量）计算总盈利． （3）分别计算两种方案下饭堂的利润，通过比较利润大小确定饭堂更倾向的方案． 【详解】（1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周， 销售量最高的是第一周，实际销售量为块 销售额为元； （2）解：计算每周实际销售量第一周：块 第二周：块 第三周：块 第四周：块 总销售量为块 每块面包的盈利为元 总盈利为元 答：开学第一月的总盈利是元 （3）解：方案一：每块面包售价为元 饭堂的利润为元 方案二：块面包的利润为元 超过块的数量为块 这块面包的售价为元 这块的利润为元 总利润为元 饭堂更希望方案一卖出 题型 有理数的除法运算 解题贴士 除以一个数等于乘以它的倒数（除数不为0）。先定符号（同号得正、异号得负），再把绝对值相除。带分数先化假分数。 ▌例6（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） = =49+ =-7+（） ． ▌对点练6-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)48 (3) 【分析】本题考查了有理数的除法，按照从左到右的顺序依次进行计算． （1）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解； （2）根据除以一个不为零的数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解； （3）按照从左到右的顺序把除法转化为乘法运算，任何进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ▌对点练6-2（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，注意能用简便方法的要用简便方法． （1）根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除的法则直接计算即可； （2）根据两数相除，异号得负，并把绝对值相除的法则直接计算即可； （3）先把除法转化成乘法，再把提取出来，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． ▌对点练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，除以一个数等于乘以这个数的倒数，一定掌握好运算顺序． （1）按照“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的法则直接计算即可； （2）把除法转化成乘法，再进行约分即可； （3）先把小数转化成分数，再把除法转化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型 有理数的乘除混合运算 解题贴士 统一化乘法，除以一个数变乘以倒数。先定符号（奇负偶正），再约分化简。带分数先化假分数，按从左到右顺序计算。 ▌例7（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)(用简便方法计算)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练7-1（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练7-2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练7-3（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 基础通关 1．若a的倒数是，那么a是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算a的值即可得到答案． 【详解】解：∵a的倒数是， ∴． 2．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 3．如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由数轴得到，进而根据相反数的几何意义和有理数乘除法的符号规则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴，，，， 故选项D符合题意． 4．若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 5．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 【答案】 【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据定义的新运算，将，代入得：． 6．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 8．对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 【答案】①；② 【分析】①根据结合已给定义列式求解即可； ②根据结合已给定义列式求解即可． 【详解】解：①∵，且， ∴； ②∵，， ∴． 9．在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 10．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元 【分析】（1）先计算袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数得到平均质量； （2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】（1）解： (千克)， 20袋土豆的实际总质量为(千克)， 平均质量为(千克)． （2）解：总费用为(元)， 答：买这袋土豆共需元． 11．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 素养提升 1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤． 【详解】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 2．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 3．定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 4．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 【答案】或 【分析】求得横、竖以及内外两圈上的个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 5．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 迁移创新 1．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)10 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值等知识点，将新定义的运用化成有理数的运算成为解题的关键． （1）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （2）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可； （3）先将原式化成有理数的混合运算，然后运用绝对值和有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 2．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简． （1）根据数轴可得且，即可判断所求式子的正负； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可； （3）根据，，可知，，中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 课标要点 1. 掌握有理数乘除运算法则，理解“同号得正、异号得负”的符号法则及绝对值运算规则。 2. 理解除法与乘法互为逆运算，能将除法转化为乘法（乘除数的倒数）简化计算。 3. 掌握有理数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律），能运用运算律简化运算，解决简单实际问题。 学习重难点 重点 1. 掌握有理数乘除法的符号法则和绝对值运算法则，能正确进行乘除运算。 2. 理解倒数的意义，会求一个数的倒数，并能将除法转化为乘法进行计算。 难点 1. 理解“负负得正”等符号法则的合理性，克服符号处理的抽象性认知困难。 2. 在乘除混合运算中正确处理运算顺序和符号，避免与加减法符号规则混淆。 知识点 有理数的乘法法则（重点） （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 特别提醒 - 核心法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。 - 多个因数相乘：积的符号由负因数的个数决定——负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正（奇负偶正）。先定符号，再算绝对值。 - 易错点：相乘时先判断符号，再计算绝对值，不要与加法法则混淆（加法同号取相同符号，绝对值相加；乘法同号得正，绝对值相乘）。带分数相乘要先化成假分数再约分计算。 随学随练 1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 有理数的乘法运算律（重点） （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 特别提醒 - 三大运算律：乘法交换律（a×b=b×a）、乘法结合律（(a×b)×c=a×(b×c)）、乘法分配律（a×(b+c)=a×b+a×c）。交换律和结合律只适用于乘法，不能与加法运算律混淆。 - 运用关键：使用运算律是为了简化计算，通常将能凑整（如互为倒数、乘积为整十整百）或分母相同的数先结合相乘；分配律使用时，括号外的数要分别乘以括号内的每一项，注意符号不要漏乘。 - 易错点：逆用分配律时（提取公因数），要注意符号的一致性；多个因数相乘时，先定符号（奇负偶正），再用运算律简化绝对值计算。 随学随练 1．（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）计算：． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 知识点 确定乘积符号 （1） 若a＜0，b＞0，则ab < 0； （2） 若a＜0，b＜0，则ab > 0； （3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号； （5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 特别提醒 - 核心法则：几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数为奇数个时积为负，为偶数个时积为正（简称“奇负偶正”）。 - 关键步骤：先数负号个数确定符号，再算绝对值相乘。若因数中有0，则积为0，不必再判断符号。 - 易错点：不要与加法符号法则混淆，且带分数必须先化为假分数再确定符号和计算。 随学随练 1.下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 2.对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 知识点 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 特别提醒 - 核心法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即 a÷b = a×1/b（b≠0）。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数都得0。 - 易错点：0不能作除数（无意义）；除法没有分配律，即 a÷(b+c) ≠ a÷b + a÷c；带分数要化成假分数再求倒数；计算时，通常先将除法转化为乘法，再按乘法法则计算，并确定符号（奇负偶正）。 随学随练 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 拓展 有理数加减乘除混合运算 1. 先定符号，后算绝对值 乘除先确定结果符号（同号得正、异号得负），再算绝对值乘除。加减按“同号相加、异号相减”确定符号。 2. 遵循运算顺序 先算乘除，后算加减。有括号先算括号内。同级运算从左到右依次计算，注意除法转化为乘法再约分。 3. 灵活运用运算律 加法交换律、结合律、乘法分配律可简化运算。如分配律逆用（提取公因数）能避免复杂计算，提高准确率。 核心口诀：先乘除后加减，括号优先；符号看准，运算律巧用。 活学活用 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 拓展 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 1. 精准套用，转化算式 仔细阅读新定义（如a⊗b=a×b÷(a-b)），将给定数值代入对应位置，严格按规则转化为常规乘除算式。 2. 先算括号，再算乘除 若新定义中包含括号运算，先计算括号内的结果，再代入外层规则。遵循先乘除后加减（若涉及），同级从左到右。 3. 符号优先，结果化简 乘除运算先定符号（同号得正、异号得负），再算绝对值。分数结果化为最简形式，分母不为零需验证。 活学活用 1．（2026·河北廊坊·一模）定义一种新运算“□”，即，例如：．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)通过计算说明：与的值是否相等． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）a、b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”： 定义；例如：． 请根据“⊕”的定义计算： (1)； (2)． 拓展 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 1. 判断绝对值内符号，确定取值范围 根据绝对值内代数式的正负性分类，分≥0和<0两种情况，去掉绝对值符号，得到两个不同表达式。 2. 逐类代入，分别计算 将各类取值范围下的表达式分别代入原式，按乘除法则（同号得正、异号得负）计算，每类得出相应结果。 3. 检验解集，合并答案 验证各类结果是否满足对应的取值范围，剔除不符合的解。最终答案若多解，用“或”连接，确保不重不漏。 活学活用 1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．试用分类讨论解决下列问题．两个有理数x，y满足，求的值． 解： （1）时， （2）时， 所以的值是2或0． 仿照上面“分类讨论”的数学思想解．如果a，b，c是非零有理数，求的值 2．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当时，；当时，；当时，． 【提出问题】如果有理数、，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论，的符号．解：由题意得： ①当，都是正数，即，时，则； ②当，都是负数，即______时，则______+______=______； ③当，有一个为正数，另一个为负数时，则______， 故：的值为______． 【类比探究】三个有理数，，满足，则______． 题型 两个有理数的乘法运算 解题贴士 先定符号（同号得正，异号得负），再把绝对值相乘。任何数乘0得0。若因数为带分数，先化假分数再约分。 ▌例1计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． ▌对点练1-1计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练1-2计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练1-3计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型 多个有理数的乘法运算 解题贴士 定符号看负号个数：奇数个负号为负，偶数个为正。再把绝对值相乘。有0因数积为0。先约分再计算更简便。 ▌例2计算：． ▌对点练2-1计算： ▌对点练2-2计算： (1)； (2)； (3)． ▌对点练2-3计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 倒数 解题贴士 乘积为1的两个数互为倒数。求法：整数倒数为1/n，分数倒数为分子分母互换。0无倒数，±1倒数是本身。 ▌例3（2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． ▌对点练3-1（2026·江苏南京·一模）2026的相反数是____________；2026的倒数是____________． ▌对点练3-2（25-26七年级上·四川乐山·期末）_____的相反数是6，的倒数是_____． ▌对点练3-3（25-26六年级上·上海金山·期中）的相反数是______，的倒数是______． 题型 有理数乘法运算律 解题贴士 交换律、结合律、分配律（a(b+c)=ab+ac）。先用运算律简化：凑整、约分、拆项。逆用分配律（提取公因数）更简便。 ▌例4（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）计算： ▌对点练4-1（25-26七年级上·北京石景山·期末）计算：． ▌对点练4-2（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）计算：． ▌对点练4-3（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）简便运算． (1)； (2)． 题型 有理数乘法的实际应用 解题贴士 审题分清正负意义（上升为正、下降为负等）。列式：总量=单个量×个数，注意单位统一。符号定方向，绝对值定大小。 ▌例5（26-27七年级·江苏·小升初衔接）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ ▌对点练5-1（24-25六年级上·山东烟台·期中）某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：，，，，，，，，. (1)请通过计算说明收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，说明检修小组最后的位置 (2)直接写出距离A地最近的记录是哪一次？距离A地多远？ (3)求这一天检修小组的总路程，如果汽车耗油是，今天耗油多少L． ▌对点练5-2（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． ▌对点练5-3（25-26七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5元．从第二个月开始每块恢复为6元，月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这周的销售情况如表： 周次 一 二 三 四 销售量 (1)开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元． (2)开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本） (3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案： 方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价元； 方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块的部分可直接打九折． 若有人一次性购买7块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出? 题型 有理数的除法运算 解题贴士 除以一个数等于乘以它的倒数（除数不为0）。先定符号（同号得正、异号得负），再把绝对值相除。带分数先化假分数。 ▌例6（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ▌对点练6-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． ▌对点练6-2（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． ▌对点练6-3（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)． 题型 有理数的乘除混合运算 解题贴士 统一化乘法，除以一个数变乘以倒数。先定符号（奇负偶正），再约分化简。带分数先化假分数，按从左到右顺序计算。 ▌例7（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)(用简便方法计算)． ▌对点练7-1（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练7-2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) ▌对点练7-3（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 基础通关 1．若a的倒数是，那么a是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则内的数字是________． 5．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 6．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 9．在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 10．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 11．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 素养提升 1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 2．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 4．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 5．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 迁移创新 1．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，， 例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 2．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $