第七讲 有理数的混合运算 讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数五则混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，同级从左到右，括号内按小、中、大依次进行），通过例题与练习巩固技能，延伸至二进制与十进制转换，构建从基础运算到实际应用的学习支架。 该资料亮点在于例题与练习分层设计，结合阅读材料引入二进制知识，培养运算能力与应用意识。课时检测含错误分析题，助学生形成推理意识，课中辅助教师教学，课后巩固练习帮助查漏补缺。

第七讲有理数的混合运算 一有理数的五则混合运算一 精讲 有理数加、减、乘、除、乘方混合运算顺序： 1.先乘方，再 ,最后一； 2.同级运算，从 到进行； 3.如果有括号，先做括号内的运算，按 依次进行. 经典例题 【例1】计算： (1)3×-5+24÷-22--6 (2)(-14×-6÷-22+3×-4∬ 【练1.1】计算： 1)(-3P+2×-14--4: (2)(-5P+-3P×3-2-52×2 【例2】计算： 0品是日134， (2)-12s-4-0.5l×2x2--4l 4 巴州唱号8-0-g+号卧w :莫【b4】 i-o *z得w :莫【↓e骇】 k-z号x片-T-a1-a -wd-1 :草中【卧】 g|ef0-20e8 e-年-x8-wl-w :莫【↓Z羏】 【练4.1】计算： (1)1-2+5 2312 -24-1mx-2 (2)-6× 【例5】阅读材料： 【材料1】通过《进位制的认识与探究》的学习我们知道，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记 数系统.在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制.十进制逢十进一，基数是10，使用09十个数 字记数，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位， 十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位..·.例如，十进制数4321中的1表示1个 一，2表示2个十，3表示3个百，4表示4个千，于是我们得到下面的式子： 4321=1×10°+2×10'+3×102+4×103（规定当a≠0时，a”=1)·可见，一个数可以表示成各数位上 的数字与基数的幂的乘积之和的形式 【材料2】计算机常用的记数形式是二级制，二进制逢二进一基数是2，使用0和1两个数字记数.一个数 可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数，例： 1102=0×2°+1×2+1×22=6（说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如， 110,就是二进制数110的简单写法.十进制数一般不标注基数). 请你将二进制数“1101”转化为十进制数 3 【练5.1】将二进制数10101，转化为十进制数为（）。 A.15 B.21 C.25 D.30 【练5.2】将二进制数101101，转化为十进制数为 【例6】二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数和数据， 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，1011，就是二进制数 1011的简单写法.在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下 两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换 以98为例： 方法-：因为98=64+32+2=1×2+1×2+0×24+0×23+0×22+1×2+0×2°， 所以g8=11000102 方法二：用如图的短除法算式表示 请你根据以上材料，把21转换为二进制数是 98 余数 低位 2 49 0 24 1 2 12 0 6 0 2 3 0 21 1 0 高位 【练6.1】十进制数37转化为二进制数为( A.1001012 B.1010012 C.1100012 D.1000112 【练6.2】把十进制数53转换为二进制数是 课时检测 1.下列计算正确的是（). A.-18+32÷3=-15÷3=-5 B. C.-32-242÷12=9-48=-39 D.-22--42+-1=-8-16-1=-23 2在计算-4：1-3时，下面给出了两位同学的计算方式，则（) 甲同学-43引-4+4引-8+昌 z同学：-4}引-416 A.甲同学正确 B.乙同学正确 C.两人都正确 D.两人都错误 3.将二进制数1011，换算成十进制数为（）· A.13 B.11 C.9 D.7 4.计算： 5 w-1-4-3-引》--+48×8+ 5计算3-4-74号×18-4 课后巩固 1.下列计算错误的是( A.-4-6=-10 B,4-8个--2 C.63引-18 D.2×32=18 2.甲乙丙丁四位同学分别做了一道有理数运算题，做对的是（)· 甲：10-2÷4=8÷4=2 乙：30-2×42=30-2×8=14 丙：40-151*号-40×是-15×号-15 5 6 丁：-2×2=41=4 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.计算机常用二进来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数10011 转化为十进制数：1×24+0×23+0×2+1×2+1×2°=19，则二进制数10110转化为十进制数是（ A.22 B.20 C.18 D.24 4.计算机使用二进制，只有数码0和1，把十进制数写成若干个2"的和，就能写出对应二进.例如十进 制数13=8+4+1=1×23+1×22+0×2+1×2°，对应二进制1101； 16=1×24+0×2+0×2+0×2+0×2°，对应二进制10000.则十进制数字45对应的二进制是 () A.4位数 B.5位数 C.6位数 D.7位数 5.计算： (1)-4-7+23×2-59 (2)-2-9÷3--2 6.计算： w-24-3×--4 2-1-1-0.25×号6-3 7.计算： (1)-12024+4-6-5×-22 @-后引日r 9.计算： w6×居8川®-4×6》 10.在学习完有理数混合运算后，老师让小亮进行板演，下面是小亮板演内容解答下面的问题： -2-×-42+子-4-}×-4+4+号 3 (1)小亮第一步板演中共出现次错误； (2)请完整写出此题正确的运算过程 第七讲有理数的混合运算 一有理数的五则混合运算一 精讲 9 有理数加、减、乘、除、乘方混合运算顺序： 1.先乘方，再一，最后一； 2.同级运算，从到进行； 3.如果有括号，先做括号内的运算，按 依次进行 【答案】乘除；加减；左；右；小括号；中括号；大括号 经典例题 【例1】计算： (1)3×-5+24÷-22--69 (2)-1x-6÷-22+3×-4 【答案】(1)-3：(2)3 解析：（1)3×-5+24=-22--6 =-15+24÷4+6 =-15+6+6 =-3 (2)1-1×-6÷-2}2+3×-4 =1×-6÷4+-12 =-6÷-8 =3 4 【练1.1】计算： (1)(-33+2×-14--49 (2)(-5+-32×3-2-52×2 【答案】(1)-21；(2)-116 解析：(1)(-3P+2×-1--4 =-27+2×1+4 =-27+2+4 =-21 0 EE ep-号p小c--四 :莫【乙】 6b+I- M-g-1 I-*经-1-= l-xx(50-P-mocl-() 6s12 941-9 91+6片旨×号 6至1()：4揭 力+8-×气÷乙 9II-(Z)I乙-()【号】 hb-x7xs0--I-(②) 8-是里w :莫长【乙卧】 9IT-= 6+SCI-= 8T-LZ+SCI-= |忆×6-8×6+9ZI-= 亿×s-Z-8×28-+S-(z t 月ba1- :草中【c卧】 6- ce-tgl- 9z-89 9c- sz--×6 z-g月-小9-0，-a Ist= cS+I-= zS7--I-= 8乙-×6-I-= |9T-ZI-×6-I-= I9T-E×b-|×6-I-= 6-小号e-]小g--) 6-(②)Ts配()【是】 EL I+0Z+L乙-= I+0Z--LZ-= +z×-2- s+2-+平层e-ww 是（②9-（0【绿】 r-90r图小I-8 :莫【羏】 飞12 b-小xx-小-ml-a 9+-+I- 月-4-1 (X-1-- 月+p-aI-cyw 合（②）：s-(0【落是】 =-6 2n-1 =-1÷-5+0.4 -1小-号 层 【例4】计算： 5 ×-489 (2)-32× 18 【省表】()5子 (2)7 =46日相引细5相 =-4+-6+32+-20 14 =-9×1+7-3+ 3182'9 ×-18 =-3+|-7+27+-10 =-3+10 =7 【练4.1】计算： +是×-24-1-2 2-3+11. 2312 (2)-6× 34128 【答案】)-5号：(2)0 解折0台号小-24-1-2 2-24小-引-24+品2-1 -12+16+-10- -6+月 ×-6+68 1 15 4-8 =0×8 =0 【例5】阅读材料： 【材料1】通过《进位制的认识与探究》的学习我们知道，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记 数系统.在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制.十进制逢十进一，基数是10，使用09十个数 字记数，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位， 十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位..例如，十进制数4321中的1表示1个 一，2表示2个十，3表示3个百，4表示4个千，于是我们得到下面的式子： 4321=1×10°+2×10+3×10+4×10（规定当a≠0时，a”=1).可见，一个数可以表示成各数位上 的数字与基数的幂的乘积之和的形式 【材料2】计算机常用的记数形式是二级制，二进制逢二进一基数是2，使用0和1两个数字记数.一个数 可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数·例： 110,=0×2°+1×2+1×2？=6（说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如， 110,就是二进制数110的简单写法。十进制数一般不标注基数). 请你将二进制数“1101”转化为十进制数 【答案】11012=1×2°+0×2+1×2+1×23=13 【练5.1】将二进制数10101，转化为十进制数为（）· A.15 B.21 C.25 D.30 【答案】B 解析：10101b=1×2+0×2+1×22+0×22+1×2=21:所以本题答案选B 【练5.2】将二进制数101101，转化为十进制数为 【答案】45 解析：1011012=1×2+0×2+1×22+1×22+0×2+1×2=45，所以本题答案为45 16 【例6】二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数和数据 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，1011就是二进制数 1011的简单写法.在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下 两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换 以98为例： 方法一：因为98=64+32+2=1×2+1×25+0×24+0×23+0×2+1×21+0×2°， 所以98=11000102 方法二：用如图的短除法算式表示。 请你根据以上材料，把21转换为二进制数是 2 98 余数 低位 2 49 0 2 24 1 2 12 0 26 0 23 0 21 0 1 高位 【答案】101012 解析：用方法-：21=16+4+1=1×24+0×23+1×22+0×2+1×2°，所以，转化为二进制写法为 101012 用方法二： 21÷2=10 余1 10÷2=5 余0 5÷2=2 余1 2÷2=1 余0 1÷2=0 余1 把余数从下往上排列： 10101: 所以：21=101012 【练6.1】十进制数37转化为二进制数为（ A.1001012 B.1010012 C.1100012 D.1000112 17 【答案】A 解析：37÷2=18 余1 18÷2=9 余0 9÷2=4 余1 4÷2=2 余0 2÷2=1 余0 1÷2=0 余1 把余数从下往上排列：100101所以：37=1001012 故本题答案选A. 【练6.2】把十进制数53转换为二进制数是 【答案】1101012 解析：53÷2=26余1 26÷2=13 余0 13÷2=6 余1 6÷2=3 余0 3÷2=1 余1 1÷2=0 余1 把余数从下往上排列：110101：所以：53=110101以：故本题答案为1101012 18 课时检测 1.下列计算正确的是（)· A.-18+32÷3=-15÷3=-5 B. C.-3-242÷12=9-48=-39 D.-23--42+-1月=-8-16-1=-23 【答案】D 解析：A.-18+3÷3=-18+9÷3=-18+3=-15,故A选项错误； 8要号引6号6*分6引34号-子做感项#民 C.-32-24÷12=-9-576÷12=-9-48=-57,故 C选项错误 D.-2--4+-15=-8-16-1=-8-15=-23:故D选项正确，所以本题答案选D 2.在计算-4：仁-3时，下面给出了两位同学的计算方式，则(）. 24 19 甲同学-4}引-434小引-8+号 3 乙同学-4}引-416 A.甲同学正确 B.乙同学正确 C,两人都正确 D.两人都错误 【答案】B 解析：甲同学使用的是分配率，但没有除法分配率，故甲同学计算方式错误；乙同学的计算方法，先算括 号内，再法-4引-4 =16 答案正确，故乙同学正确，所以本题答案选B 3.将二进制数1011，换算成十进制数为（ A.13 B.11 C.9 D.7 【答案】B 解析：10112=1×2°+1×2+0×22+1×23=11 4.计算： 0--4-小3-*告 【答案1(0)-号：2-19 解析：0-12-4-3-子引×君 =-1-4-9×-×洁 -1-×君 --1- 20 -19 -19 9 -引细经 =-1甘×-8-小细号48】 =-1×9+-24+30+-16 =-9+-10 =-19 5计算B-4-7+4×18-4 【答案】16 新p-44哈影8-4 =1-3+日×18-4×-4 =-2+2--16 =16 21 课后巩固 1.下列计算错误的是( A.-4-6=-10 B.4:8×-2 C.6 -3 -18 D.2×32=18 【答案】B 解析：A.-4-6=-10:故A选项正确：月.4：84×合子故迹项结误 C.6引6×-3引=-18：故c选项正确；D.2×-2×9=18,故n选项正确，所以本题答案选 2.甲乙丙丁四位同学分别做了一道有理数运算题，做对的是（）. 甲：10-2÷4=8÷4=2 乙：30-2×42=30-2×8=14 两40-1540是-15×号-15 丁：-2P÷号×2=4÷1=4 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】B 解析：甲：10-2÷4=10-4÷4=10-1=9：甲同学运算错误：乙：30-2×42=30-2×16=-2 乙同学运算错误；丙：40-15：=40×3-15×3=24-9=15，丙同学运算正确；丁： 3 -2÷号×2=4×2×2=16，丁同学运算错误，所以本题答案选B. 3.计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数10011 转化为十进制数：1×24+0×2+0×2+1×2+1×2°=19，则二进制数10110转化为十进制数是( 22 A.22 B.20C.18 D.24 【答案】A 解析：101102=0×2°+1×2+1×22+0×23+1×24=22 4.计算机使用二进制，只有数码0和1，把十进制数写成若干个2”的和，就能写出对应二进制.例如十进 制数13=8+4+1=1×23+1×22+0×2+1×2°，对应二进制1101； 16=1×24+0×2+0×2+0×2+0×2°，对应二进制10000.则十进制数字45对应的二进制是 () A.4位数 B.5位数 C.6位数 D.7位数 【答案】C 解析：45=32+8+4+1=1×2°+0×2+1×2+1×22+0×2+1×2：对应二进制101101，为6位 数，所以答案选C 5.计算： (1)-4-7+23×2-59 (2)-22-9÷3--2 【答案】(1)-21；(2)5 解析：（1)-4-7+23×2-5 =--3+8×-3 =3+-24 =-21 (2)-22-9÷3--22 =-4-9÷3-4 =-4-9÷-1 =-4--9 =-4+9 =5 6.计算： 23 w-24-3r×--4到 2)-105-1-0.25×3+6-3Pl 【答案】()5：2)-4号 解析： 0-24-3×34 -a+9×号16 =-8+-3+16 =5 2)-15-1-0251×3+6-3| -1-分l6-g =-13到 =-4 4 7.计算： (1)-12024+4-6l-5×-22 引言-3 【答案】1)-19；2) 24 解析：(1)-12024+4-6-5×-2 =-1+2-5×4 =-1+2-20 =-1+2+-20 =-19 a-引号引日-3 24 8言g +8 --13 24 8.计算： 1 12 +←-1}2024 【答案】-26 解析： -1PM -号-8+x-241 子2副-2+-- =-28+10+-9+1 =-26 9.计算： 0w6居引卧o--4-6引 【答案】(1)-61：②)-18号 解析：(1)36× 日8 25 仔×36+-×36+-×36+子-n =9+-30+-28+-12 =-49+-12 =-61 a-4-6 =-g*-6小 =-9-号×4-6×-号 =-9--10冒 =-9-4×-到 -99 -18号 10.在学习完有理数混合运算后，老师让小亮进行板演，下面是小亮板演内容解答下面的问题： -2-名×4-2+-43×-4+4+号 (1)小亮第一步板演中共出现 次错误； (2)请完整写出此题正确的运算过程 【答案】(1)-61： 2)-2--42+ =-4-号x-444+ =-4-8+号 3 26 ,1 -4+2十4 =-4+32+3 1212 =-4+ 5 2 日 解析：《1)小亮板演中--2的化简错误，结果应为-4其它化简均正确，故只有1处错误. 2)-2-号-4-2+号 =-4-写×个-4+4+ =-4号×-8+号 3 4+号 =-4+2+2 32+3 =-4+ 35 412 二-1 1 27