专题2.5 有理数的混合运算【导图+知识卡片+知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题】-2026-2027学年北师大版数学七年级上册同步讲义

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方再乘除后加减，同级运算从左到右，括号优先）、运算技巧（转化、凑整等），以及计算器操作、近似数（求近似数、精确度、取值范围）等内容，构建从基础规则到实际应用的学习支架。 资料亮点在于思维导图清晰呈现知识脉络，7个题型讲练（如“算24点”培养创新意识，程序流程图锻炼推理能力）结合典例与变式。中考真题与分层训练助力学生提升运算能力，课中辅助教学效率提升，课后分层练习帮助查漏补缺，发展应用意识与数据意识。

专题2.5 有理数的混合运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的混合运算 2 知识点二 计算器—基础知识 3 知识点三 计算器—有理数 3 题型讲练 3 题型一 算"24"点 3 题型二 含乘方的有理数混合运算 4 题型三 程序流程图与有理数计算 5 题型四 计算器——有理数 6 题型五 求一个数的近似数 6 题型六 求近似数的精确度 6 题型七 近似数推断取值范围 6 中考真题演练 7 难度分层训练 8 【基础夯实】 8 【培优拔高】 11 知识点一 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点二 计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点三 计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下： （1） 键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字． （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型一 算"24"点 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 题型二 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 【变式训练2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 题型三 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期末）按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是__________． 【变式训练1】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四 计算器——有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： (1)； (2)（精确到0.01）． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）使用计算器时，在储存另一个数前，需要按_____（选填“”、“”或“”）键把已知的数清除掉． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下面各题中不需要用计算器计算的是（　　） A． B． C． 题型五 求一个数的近似数 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）按要求取近似数：______（精确到） 【变式训练1】（24-25七年级上·北京·期中）圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【变式训练2】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）的积保留一位小数约等于．( ) 题型六 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东湛江·期末）由四舍五入得到的近似数万是精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 题型七 近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【变式训练1】（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·山西临汾·开学考试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是20.06，这个数最大是_____，最小是_____ 【真题演练1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（   ）． A．3 B．6 C． D． 【真题演练2】（2025·重庆·中考真题）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【真题演练3】（2025·四川内江·中考真题）观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则____．（用含有S的式子表示）． 【真题演练4】（2025·湖北十堰·中考真题）、、、、五个人练习踢毽子，每个人都可以把毽子踢给另外四个人中的任意一个，先由甲踢毽子，作为第一次传毽子，经过5次传毽子后毽子仍然回到甲处．整个传毽子过程中毽子在甲处共有___种情况． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南安阳·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2计数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50．将转换为十进制数，结果是（   ） A．19 B．21 C．24 D．57 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 4．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．源于中国古代重量单位制的“半斤八两”就与十六进制有关．十六进制数61换算成十进制数是（注意：），十进制数88换算成十六进制数是___． 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）生活中我们习惯用十进制来表示数，十进制用0~9这10个数来表示，满十进一，例如：，在一些特定情境也可用八进制来表示数，它是用0~7这八个数来表示，满八进一，例如，八进制数11对应的十进制数是，八进制125对应的十进制数是，根据这样的转换规律，八进制数261用十进制表示应是______． 6．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）学校体育场的跑道形状如示意图所示，由两段直道与两段半圆形的弯道组成，体育场跑道示意图的比例尺为，每段直道长度为21cm，半圆形弯道的直径为18.5cm，该体育场实际跑道长度约为______m（注：取的值为3.14，最后结果保留整数）． 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 8．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 9．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 10．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是3，第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2024次输出的结果是_______________． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为，通过式子 (当时， 可以转换为十进制数13；将转换为十进制数是___________；而有时我们会遇到八进制数，即数的进位方法是“逢八进一”，八进制数只使用数字0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制数3275记为， 通过式子： 可以转换为十进制数1725，将八进制数转换为二进制数是___________ 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）计算 (1) (2) 8．（24-25七年级上·河南安阳·期中）综合与实践： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈4次方”，写作，读作“的圈3次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①______， ②______． （3）算一算：． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：①___________； ②___________．（计算出最终结果） 10．（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标），如：十进制数234，七进制数．各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 根据以上材料，回答下列问题： (1)十进制数25改写成二进制数是________；现有二进制数、三进制数，那么a、b的大小关系是a________b（填“＞”、“＜”或“＝”） (2)七年级（7）班的小聪同学根据自己的班级设计了一个C（C为正整数）进制数，换算成十进制数是574，求C的值． (3)已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 有理数的混合运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的混合运算 2 知识点二 计算器—基础知识 3 知识点三 计算器—有理数 3 题型讲练 3 题型一 算"24"点 3 题型二 含乘方的有理数混合运算 6 题型三 程序流程图与有理数计算 7 题型四 计算器——有理数 8 题型五 求一个数的近似数 10 题型六 求近似数的精确度 10 题型七 近似数推断取值范围 11 中考真题演练 12 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 22 知识点一 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点二 计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点三 计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下： （1） 键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字． （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型一 算"24"点 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 题型二 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可得到答案； （）运用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)16 (2)8 【分析】（1）根据乘法的分配律求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算计算即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用乘法分配律简化计算； （2）按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期末）按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是__________． 【答案】4 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，解题的关键是逆向求解． 根据程序框图逆向求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：4． 【变式训练1】（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 题型四 计算器——有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： (1)； (2)（精确到0.01）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了运用计算器计算有理数的混合运算的能力． （1）只要按照书写顺序在计算器上输入即可得到精确的结果，然后根据要求取值即可． （2）只要按照书写顺序在计算器上输入即可得到精确的结果，然后根据要求取值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）使用计算器时，在储存另一个数前，需要按_____（选填“”、“”或“”）键把已知的数清除掉． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，熟练掌握计算机的使用方法是解题关键； 在计算器的使用时，在储存另一个数前，需要按键把已知的数清除掉． 【详解】解：在计算器的使用时，在储存另一个数前，需要按键把已知的数清除掉． 故答案为： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下面各题中不需要用计算器计算的是（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查运算的灵活性，解题的关键是判断哪个算式能利用运算定律进行简便计算。A选项和C选项的数额较大，直接计算繁琐，通常需要使用计算器；B选项可利用乘法分配律进行简便计算，不需要使用计算器． 【详解】解：A．，计算比较繁琐，需要计算器，不符合题意； B．，不需要用计算器计算，符合题意； C．，计算比较繁琐，需要计算器，不符合题意． 故选：B． 题型五 求一个数的近似数 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）按要求取近似数：______（精确到） 【答案】 【分析】精确到，则需要对万分位上的数字进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：（精确到）． 【变式训练1】（24-25七年级上·北京·期中）圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【答案】3.142 【分析】精确到0.001即看万分位的数字，将万分位的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对圆周率π精确到0.001取近似值为3.142． 【变式训练2】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）的积保留一位小数约等于．( ) 【答案】√ 【分析】求出两数的乘积，再对所得的结果的百分位上的数进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：（保留一位小数），故对． 题型六 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________． 【答案】千位 【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可． 【详解】解：， 系数最后一位数字0对应千位， 故精确到千位． 故答案为：千位． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【分析】本题考查近似数的精确度．熟悉近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，是解题的关键． 对于小数，根据最后一位数字在千分位上确定它精确到的数位． 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东湛江·期末）由四舍五入得到的近似数万是精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的法则． 需先将以“万”为单位的近似数还原为普通整数，再根据最后一个有效数字所在的数位确定精确到的数位． 【详解】解：∵万， ∴近似数万中最后一个有效数字8位于百位， 即该近似数精确到百位， 故选：C． 题型七 近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 【变式训练1】（25-26七年级上·安徽安庆·阶段检测）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·山西临汾·开学考试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是20.06，这个数最大是_____，最小是_____ 【答案】 20.064 20.055 【分析】本题考查了近似数，根据“四舍五入”法推出一个三位小数不能大于20.064，不能小于20.055，这样的数精确到百分位可得到20.06． 【详解】解：一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是20.06，这个数最大是20.064，最小是20.055． 故答案为：20.064，20.055． 【真题演练1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2025次输出的结果为（   ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序题型，有理数的加法和乘法运算，周期规律的探索，解题的关键是找出周期规律． 根据程序运算得出结果，探索出周期规律，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 第一次输出结果为24， 第二次输出的结果为12， 第三次输出的结果为6， 第四次输出的结果为3， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为3， 第七次输出的结果为， …… 往后计算为周期为2的循环规律， ∴第2025次输出循环的周期个数为， ∴第2025次输出的结果为6， 故选：B． 【真题演练2】（2025·重庆·中考真题）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了二进制数转十进制数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 由已知推出，得到三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可． 【详解】由题意得，，解得。 ∵三位二进制数的三个数位均为 ∴三位二进制数为111， ∴． 故选：B． 【真题演练3】（2025·四川内江·中考真题）观察等式：；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，若，则____．（用含有S的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查数的运算规律，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 通过观察给定的等式，得出规律：，然后将所求的和表示为从 到 的和与从 到 的和的差，利用规律代入计算． 【详解】解：根据规律， ， ， ∴， 已知 ，且 ， ∴原式． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·湖北十堰·中考真题）、、、、五个人练习踢毽子，每个人都可以把毽子踢给另外四个人中的任意一个，先由甲踢毽子，作为第一次传毽子，经过5次传毽子后毽子仍然回到甲处．整个传毽子过程中毽子在甲处共有___种情况． 【答案】 【分析】本题考查排列组合问题的应用，通过对每一次传毽子进行分析（确定总传法以及回到甲处的情况种数），即可得出结论．正确理解题意并确定每一次传毽子回到甲处的情况种数是解题的关键． 【详解】解：设甲表示， 第次传：甲必须传给别人（、、、），共有种传法，此时毽子不在甲手里； 第次传：拿毽子的人可以传给甲，也可以传给另外人， ∴能回到甲手里的有种（第次有人拿着，每人都能传给甲）； 第次传：要回到甲手里，第次毽子一定不在甲那， ∵第次总传法是：（种）（第次人，每人传次）， 又∵（种）（减去回到甲的种，剩下种，这种都能传给甲）， ∴第次回到甲有种； 第次传：第次总传法是：（种）， ∵（减去回到甲的种，剩下种不在甲那，这种都能传给甲）， ∴第次回到甲有种； 第次传：第次总传法是（种）， ∵（减去回到甲的种，剩下种不在甲那，这种都能传给甲）， ∴第次回到甲有种． 整个传毽子过程中毽子在甲处共有种情况． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【答案】(1) ，，255 (2)512，，2048 (3)8 【分析】本题考查数字规律的探索和代数式的求解。第一行数的规律是第n个数为，第二行数的规律是第一行对应数加2，第三行第n个数为． （1）直接计算第8个数； （2）通过设未知数，利用相邻三个数的和列方程求解； （3）需要分n为奇数和偶数两种情况讨论大小关系，再解方程． 【详解】（1）解：第一行第n个数为，第8个数为； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，第8个数为； 第三行第n个数为，第8个数为． 故答案为：，，255． （2）设第一行第n个数为，则相邻三个数之和为． 令， 解得． ∵且， ∴． 这三个数分别为： 第9个数， 第10个数， 第11个数． （3）设第一行第n个数为， 第二行第n个数为， 第三行第n个数为． 当n为奇数时，，，，最大数，最小数． 则， 解得，无整数解． 当n为偶数时，，最大数，最小数． 则， 解得，， ∴． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 2．（25-26七年级上·河南安阳·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2计数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50．将转换为十进制数，结果是（   ） A．19 B．21 C．24 D．57 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解三进制转换为十进制的换算规则是解题关键，将三进制数转换为十进制数，需要每位数字乘以3的相应幂次（从右向左，幂次从0开始），然后求和即可． 【详解】解：∵三进制转十进制的规则为每位数字乘以3的对应幂次（从右到左幂次从0开始）再求和． ∴ ． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 4．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．源于中国古代重量单位制的“半斤八两”就与十六进制有关．十六进制数61换算成十进制数是（注意：），十进制数88换算成十六进制数是___． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用，熟练掌握十六进制数的进位，有理数乘方运算，是解题的关键． 将十进制数88转换为十六进制数，需使用除以16取余法，依次计算商和余数，直到商为0，然后将余数从下往上排列得到结果． 【详解】解：，商为5，余数为8； ，商为0，余数为5． 将余数从下往上读取，得到十六进制数为58． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）生活中我们习惯用十进制来表示数，十进制用0~9这10个数来表示，满十进一，例如：，在一些特定情境也可用八进制来表示数，它是用0~7这八个数来表示，满八进一，例如，八进制数11对应的十进制数是，八进制125对应的十进制数是，根据这样的转换规律，八进制数261用十进制表示应是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．将八进制数转换为十进制数，需要将每一位乘以8的相应次幂，然后求和，即可求解． 【详解】解：八进制数261对应的十进制数为： 故答案为：． 6．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）学校体育场的跑道形状如示意图所示，由两段直道与两段半圆形的弯道组成，体育场跑道示意图的比例尺为，每段直道长度为21cm，半圆形弯道的直径为18.5cm，该体育场实际跑道长度约为______m（注：取的值为3.14，最后结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的周长，比例尺，近似数等知识﹒根据跑道长度等于直道长度加上两个半圆形弯道长度，结合比例尺列出算式，进行计算，最后进行单位换算并取近似值即可求解﹒ 【详解】解： ﹒ 故答案为：400 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 10．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）解： 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图是一个运算程序的示意图，如果开始输入x的值为243，那么第2025次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、数字规律等知识点，发现从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1是解题的关键． 根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1，据此解答即可． 【详解】解：第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 第6次，， 第7次，， ……， 依此类推，从第4次开始，偶数次运算输出的结果是3，奇数次运算输出的结果是1， 所以第2025次输出的结果为1． 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）按图中的程序运算，如果第一次输入x的值是2，则第2025次输出的结果是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够通过运算找出规律是解题关键．根据题意依次求出每次输入结果，发现规律为从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环，据此即可求解． 【详解】解：当第1次输入x的值是2，输出的结果为； 第2次输入的x的值是1，输出的结果为； 当第3次输入x的值是6，输出的结果为； 第4次输入的x的值是3，输出的结果为； 当第5次输入x的值是8，输出的结果为； 第6次输入的x的值是4，输出的结果为； 第7次输入的x的值是2，输出的结果为； ……， 由此可得，从第1次输入开始，结果按照1,6,3,8,4,2的顺序循环， 因为， 所以第2025次输出的结果是3． 故选：A 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）进位制是人们为了计数和方便而约定的计数系统，各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数： ． （1）将58转换为二进制数的结果为______； （2）在二进制中计算______； （3）在八进制中计算______； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解不同进制数转换的方法． （1）利用除以2取余数的方法求解即可； （2）根据二进制加法计算法则（进位1）计算求解即可； （3）根据八进制乘法满8进1求解即可． 【详解】解：（1），余数为0； ，余数为1； ，余数为0； ，余数为1； ，余数为1； ，余数为1， ∴将58转换为二进制数的结果为， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）八进制乘法满8进1， 则，记2，进位1； ，记7，无进位； ，记0，进位1， ∴ 故答案为：． 5．（25-26七年级上·四川成都·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是3，第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2024次输出的结果是_______________． 【答案】16 【分析】本题考查了有理数的混合运算和找规律．写出输出序列，找到循环周期是解题的关键． 先根据转换器规则，依次计算输出结果得到序列16、8、4、2、1、6、3，确定循环周期为7，用总次数2024除以周期7得到余数1，对应周期内第一个结果，即可得出答案． 【详解】解：第一次，输出； 第二次，输出； 第三次，输出； 第四次，输出； 第五次，输出； 第六次，输出； 第七次，输出； 第八次，输出； 所以循环周期为7， 计算， 对应周期内第一个结果，即16， 故答案为16． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为，通过式子 (当时， 可以转换为十进制数13；将转换为十进制数是___________；而有时我们会遇到八进制数，即数的进位方法是“逢八进一”，八进制数只使用数字0、1、2、3、4、5、6、7，如八进制数3275记为， 通过式子： 可以转换为十进制数1725，将八进制数转换为二进制数是___________ 【答案】 21 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，对于二进制数转换为十进制数，采用按权展开法，将每位数字乘以2的相应幂次后求和；对于八进制数转换为二进制数，利用每个八进制数字对应3位二进制数的规则，直接转换即可． 【详解】解：二进制数转换为十进制数：计算． 八进制数转换为十进制数为， ∵ ∴十进制数转换为二进制数为， ∴． 故答案为：21，． 7．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算； （1）先算分子的两个括号，同时分母除法变乘法后利用乘法分配律计算，计算出分子分母以后再化简即可； （2）先计算括号内的运算、乘方和绝对值，最后从左到右依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级上·河南安阳·期中）综合与实践： 【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈4次方”，写作，读作“的圈3次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①______， ②______． （3）算一算：． 【答案】（1）1，−2；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义计算； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：1，； （2）① ， ② ， 故答案为：，； （3）原式 ． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． 计算：①___________； ②___________．（计算出最终结果） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的混合运算及列代数式，能根据所给图形发现规律是解题的关键． （1）根据所给图形，利用数形结合的数学思想得出，…，据此可解决问题． （2）将原式变形为，再把变形为，再结合（1）的结论即可解答． 【详解】解：（1）由所给图形得： ； ； ⋯； 所以，； （2） ． 故答案为：；． 10．（25-26七年级上·广东广州·期中）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标），如：十进制数234，七进制数．各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 根据以上材料，回答下列问题： (1)十进制数25改写成二进制数是________；现有二进制数、三进制数，那么a、b的大小关系是a________b（填“＞”、“＜”或“＝”） (2)七年级（7）班的小聪同学根据自己的班级设计了一个C（C为正整数）进制数，换算成十进制数是574，求C的值． (3)已知a，b，c均是大于1的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．试探究与z的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)C的值为9 (3)与z的关系为 【分析】本题考查新定义运算、阅读理解能力等，掌握二进制、七进制、十进制等是解题的关键． （1）根据题干计算方法，用2去除25，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可；将、 b转换为十进制，再进行比较即可； （2）将根据公式转换为十进制，解方程即可，注意C的取值范围； （3）将x、y、z转换为十进制，利用a、b、c表示，由，找出与z的关系． 【详解】（1）解：用25除以2，余数依次为11001，故转换成二进制为， ， ， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：， 解得或（舍去）， 故C的值为9． （3）解：， ， ， ∴， ∵，， ∴， 故与z的关系为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull