第二讲 有理数和数轴 讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数和数轴核心知识，从正数负数的相反意义的量切入，明确正数负数定义及0的特殊性，进而系统梳理有理数的概念（整数与分数统称）、分类（按定义和符号）及“四非”概念，最终落脚数轴三要素（原点、正方向、单位长度）及“左小右大”性质，构建从数的概念到几何表示的完整学习支架。 该资料以实例驱动概念理解，如用盈利亏损、零件直径标注培养抽象能力和数感（数学眼光），通过有理数分类、“四非”判断强化推理意识（数学思维），借助数轴上点的移动和数的比较发展几何直观（数学语言）。课中同步练与例题解析辅助教师突破难点，课后分层检测帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

第二讲 有理数和数轴 2.1.1 正数和负数 —正数和负数— 精讲 相反意义的量的两个要素：①意义 ；②同类 . 【同步练】 下列说法正确的是（ ） . 盈利与亏损是具有相反意义的量 . 收入50元是具有相反意义的量 . 向北走15米与向南走15米是具有相反意义的量 . 气温25℃与降雨量25mm是具有相反意义的量 总结：相反意义的量的判断方法：①有相反的意义；②有相同属性的量. 叫作正数. 在正数前加上 的数叫作负数. 0既不是正数也不是负数. 【同步练】 说出下列数是正数还是负数. ； ； ； 总结：“”号可以省略，“”号不能省略. 经典例题 【例1】（1）下列各组量中，是具有相反意义的量的是（ ） . 气温升高与气温为 . 节约吨水与浪费吨水 . 盈利万元与支出万元 . 向东跑米与向南跑米 （2）若把“盈利100元”记作元，那么元表示为 . 【练1.1】（1）某次跳绳测试以150次为达标标准，小红跳了次，记作，小丽跳了次，记作 . （2）某零件的直径标注为毫米，该零件直径最大不超过 毫米，最小不小于 毫米. 【例2】给出下列各数：，，，，，，，， ，其中负数有（ ）. 个 个 个 个 【练2.1】在 ，，，，，中，负数有 . 2.1.2有理数 —有理数的概念及分类— 精讲 1. 可以写成分数形式的数称为有理数. 又可以说，整数与分数统称有理数. 2. 分数的常见表现形式： （1）两个整数之比，如，； （2） 小数，如，； （3） 小数，如，. 注意：有限小数和无限循环小数能化为分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数. 3. 有理数的分类： 按定义分类（两类） 按符号分类（三类） 【同步练】 判断下列各数是不是有理数，在括号内打√或者×. （1）（ ）；（2）（ ）；（3）（ ）；（4）（ ）； （5）（ ）；（6）（ ）；（7）（ ）. 总结： 有限小数和无限循环小数是有理数； 是无限不循环小数，不是分数，也就不是有理数. 经典例题 【例3】所有正有理数组成有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合. 把下面的有理数填入属于他们的集合内： ，，，，，，，， 正有理数集合：； 正整数集合：； 负有理数集合：； 负整数集合：. 【练3.1】下列各数：，，，，，，其中有理数有（ ）. 个 个 个 个 —“四非”概念的理解及判断— 精讲 “四非”的概念： （1）非负数：正数和 ； （2）非正数：负数和 ； （3）非负整数：满足两个条件：①整数；②非负. 即：0和 ； （4）非正整数：满足两个条件：①整数；②非正. 即： 和负整数. 【同步练】 把下列各数填在相应的横线上. ，，，，，，，. 非负数有： . 非正数有： . 非负整数有： . 非正整数有： . 总结：“四非”之中全有0. 经典例题 【例4】把下列各数填入相应的大括号里， ，，，，，，， 非正整数有：； 负数有：； 正分数有：； 非正数有：； 负分数有：. 【练4.1】在有理数，， ，，，中，非负数的个数为（ ） 个 个 个 个 2.1.3数轴 —数轴的概念及性质— 精讲 可以用一条直线上的点表示数 规定了 、 和 的直线叫作数轴. 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 【同步练】如图，下面给出的四幅图中，数轴画法正确的是（ ）. 总结：数轴三要素： 、 、 . 经典例题 【例5】下列四个同学所画的数轴中，正确的是（ ）. 【练5.1】下列图中数轴画法不正确的有（ ）. （1） （2） （3） （4） （5） 个 个 个 个 —数点关系及左小右大— 精讲 将，，， ，在数轴上表示出来，观察从左到右数值的变化. 数轴上左边的点表示的数总比 点表示的数 ，简称 . 即，正数 ， 负数，正数 负数. 注意：所有有理数均可用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数不一定是有理数，比如：. 经典例题 【例6】在数轴上表示下列各数：，， ，，， ，并用“”号连接. 【练6.1】如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为 . 【例7】在数轴上，点表示，从点出发，沿数轴向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达点，则点表示的数为（ ）. 以上都不对 【练7.1】在数轴上，点表示的数是，从点出发，沿数轴向某一方向移动个单位长度到达点，则点表示的数是 . 课时检测 1. 已知某湖泊湖面高出海平面，记作，那么某盐湖洼地最深处低于海平面，可记为（ ）. 2. 在，， ，，中，负数的个数是（ ）个. 3. 在，， ，，这五个数中，是非负整数的有（ ）个. 4. 如图所示，在数轴上点表示的数可能是（ ）. 5. 在数轴上，将表示的点沿数轴向右移动5个单位长度得到的数是 . 课后巩固 1. 下列各组数，都是正数或都是负数的是（ ）. 2. 一种袋装面粉上标有，下面四袋面粉不符合标准的是（ ）. 甲 乙 丙 丁 质量/ 20.3 19.8 19.5 20.1 甲 乙 丙 丁 3. 某地一座灯塔高出海平面15米，附近一栋楼房高出海平面40米，一艘沉船在海平面下25米处。现以灯塔高度为基准，记为0米，求楼房和沉船的高度该如何表示？ 4. 下列各数，，，，，，，其中属于非负整数的有（ ）个. 5. 下列一组数：，，，，，，，，其中有理数有（ ）. 个 个 个 个 6. 把下列各数填在相应的横线上： ，，，，，，，， 整数： ； 负数： ； 非负数： ； 负分数： ； 正有理数： ； 非正整数： ； 7. 下列所画数轴正确的是（ ）. 8. 在数轴上，点从出发，先向左移动个单位，再向右移动个单位，最终表示的数是（ ）. 9. 数轴上，表示 和的点之间（包含两点）有 个整数点，这些整数是 ，其中非正整数有 个. 10. 在数轴上画出表示，，，的点，并用“”连接各数. 第二讲 有理数和数轴 2.1.1 正数和负数 —正数和负数— 精讲 相反意义的量的两个要素：①意义 ；②同类 . 【答案】相反；量 【同步练】 下列说法正确的是（ ） . 盈利与亏损是具有相反意义的量 . 收入50元是具有相反意义的量 . 向北走15米与向南走15米是具有相反意义的量 . 气温25℃与降雨量25mm是具有相反意义的量 【答案】 总结：相反意义的量的判断方法：①有相反的意义；②有相同属性的量. 叫作正数. 在正数前加上 的数叫作负数. 0既不是正数也不是负数. 【答案】大于0的数；负号 【同步练】 说出下列数是正数还是负数. ； ； ； 【答案】正数；负数；既不是正数也不是负数 总结：“”号可以省略，“”号不能省略. 经典例题 【例1】（1）下列各组量中，是具有相反意义的量的是（ ） . 气温升高与气温为 . 节约吨水与浪费吨水 . 盈利万元与支出万元 . 向东跑米与向南跑米 【答案】 （2）若把“盈利100元”记作元，那么元表示为 . 【答案】亏损45元 【练1.1】（1）某次跳绳测试以150次为达标标准，小红跳了次，记作，小丽跳了次，记作 . （2）某零件的直径标注为毫米，该零件直径最大不超过 毫米，最小不小于 毫米. 【答案】（1）-7；（2）30.04；29.97 【例2】给出下列各数：，，，，，，，， ，其中负数有（ ）. 个 个 个 个 【答案】 【练2.1】在 ，，，，，中，负数有 . 【答案】 ，， 2.1.2有理数 —有理数的概念及分类— 精讲 1. 可以写成分数形式的数称为有理数. 又可以说，整数与分数统称有理数. 2. 分数的常见表现形式： （1）两个整数之比，如，； （2） 小数，如，； （3） 小数，如，. 【答案】有限；无限循环 注意：有限小数和无限循环小数能化为分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数. 3. 有理数的分类： 按定义分类（两类） 按符号分类（三类） 【答案】如图 【同步练】 判断下列各数是不是有理数，在括号内打√或者×. （1）（ ）；（2）（ ）；（3）（ ）；（4）（ ）； （5）（ ）；（6）（ ）；（7）（ ）. 【答案】√；√；√；×；√；×；× 总结： 有限小数和无限循环小数是有理数； 是无限不循环小数，不是分数，也就不是有理数. 【答案】无理数 经典例题 【例3】所有正有理数组成有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合. 把下面的有理数填入属于他们的集合内： ，，，，，，，， 正有理数集合：； 正整数集合：； 负有理数集合：； 负整数集合：. 【答案】，，，，； ，； ，，，； ，. 【练3.1】下列各数：，，，，，，其中有理数有（ ）. 个 个 个 个 【答案】 解析：根据有理数的定义，可以写成分数形式的数叫作有理数，有限小数和无限循环小数都称为有理数可得，是有理数的有，，，，共5个，故本题答案选. —“四非”概念的理解及判断— 精讲 “四非”的概念： （1）非负数：正数和 ； （2）非正数：负数和 ； （3）非负整数：满足两个条件：①整数；②非负. 即：0和 ； （4）非正整数：满足两个条件：①整数；②非正. 即： 和负整数. 【答案】0；0；正整数；0 【同步练】 把下列各数填在相应的横线上. ，，，，，，，. 非负数有： . 非正数有： . 非负整数有： . 非正整数有： . 【答案】，，，，； ，，，； ，，； ， 解析：非负数指的是正数和0，故题中符合题意的有：，，，，；非正数指的是负数和0，故题中符合题意的有：，，，；非负整数指的是正整数和0，故题中符合题意的有 ，，；非正整数指的是负整数和0，故题中符合题意的有 ，. 总结：“四非”之中全有0. 经典例题 【例4】把下列各数填入相应的大括号里， ，，，，，，， 非正整数有：； 负数有：； 正分数有：； 非正数有：； 负分数有：. 【答案】，； ，，，，； ，，，； ， 解析：非正整数指的是负整数和0，故题中符合题意的有：，；负数指的小于0的数，故题中符合题意的有：，，；正分数指的大于0的分数，包括大于0的分数和百分数，故题中符合题意的有 ，，；非正数指的是负数和0，故题中符合题意的有 ，，，负分数指的是小于0的分数，故题中符合题意的有， . 【练4.1】在有理数，， ，，，中，非负数的个数为（ ） 个 个 个 个 【答案】 解析：非负数指的是正数和0，故符合题意的有， ，，所以本题答案选. 2.1.3数轴 —数轴的概念及性质— 精讲 可以用一条直线上的点表示数 规定了 、 和 的直线叫作数轴. 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 【答案】原点；正方向；单位长度 【同步练】如图，下面给出的四幅图中，数轴画法正确的是（ ）. 【答案】 解析：：刻度标注错乱，负数应在原点左边，正数应在原点右边，故选项错误；：没有画出原点，缺少数轴三要素之一，故选项错误；：具备原点、正方向、单位长度，画法正确，故选项正确；：0 到 1 的单位长度和 -1 到 0 的单位长度不一致，单位长度不统一，故选项错误. 所以本题答案选. 总结：数轴三要素： 、 、 . 【答案】原点、正方向、单位长度 经典例题 【例5】下列四个同学所画的数轴中，正确的是（ ）. 【答案】 解析：：有原点、正方向、单位长度，刻度排列符合数轴规律，故选项正确； ：-1 和 - 2 的刻度顺序颠倒，数轴上左边数应小于右边数，故选项错误； ：缺少原点，不满足数轴三要素，故选项错误； ：0 到 1、1 到 2、2 到 4 的单位长度不统一，故选项错误. 【练5.1】下列图中数轴画法不正确的有（ ）. （1） （2） （3） （4） （5） 个 个 个 个 【答案】 解析：图 (1)：没有正方向，不满足三要素，画法错误； 图 (2)：有原点、正方向，但单位长度不统一，画法错误； 图 (3)：只有原点和正方向，没有标注刻度、没有确定的单位长度，无法体现数的分布，画法错误； 图 (4)：数轴上左边的数应小于右边，刻度标注-1,-2,-3顺序颠倒，画法错误； 图 (5)：具备原点、向右正方向、统一单位长度，画法正确。 所以不正确的是 (1)(2)(3)(4)，共4 个。 故本题答案选 —数点关系及左小右大— 精讲 将，，， ，在数轴上表示出来，观察从左到右数值的变化. 数轴上左边的点表示的数总比 点表示的数 ，简称 . 即，正数 ， 负数，正数 负数. 注意：所有有理数均可用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数不一定是有理数，比如：. 【答案】 右边；小；左小右大；大于；大于；大于 经典例题 【例6】在数轴上表示下列各数：，， ，，， ，并用“”号连接. 【答案】 【练6.1】如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为 . 【答案】-1、0、1、2 【例7】在数轴上，点表示，从点出发，沿数轴向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达点，则点表示的数为（ ）. 以上都不对 【答案】 解析：根据数轴上的点移动规律：左减右加，则向左移动2个单位长度，即-5-2=-7；再向右移动7个单位长度，即-7+7=0，故本题答案选. 【练7.1】在数轴上，点表示的数是，从点出发，沿数轴向某一方向移动个单位长度到达点，则点表示的数是 . 【答案】-1或9 解析：由题意得，点在数轴上移动有向左移动和向右移动两种可能，根据数轴上的点移动规律：左减右加，①向左移动，即4-5=-1；②向右移动，即4+5=9,；故本题答案为-1或9. 课时检测 1. 已知某湖泊湖面高出海平面，记作，那么某盐湖洼地最深处低于海平面，可记为（ ）. 【答案】 2. 在，， ，，中，负数的个数是（ ）个. 【答案】 解析：负数指的是小于0的数，符合题意的有，，故本题答案选. 3. 在，， ，，这五个数中，是非负整数的有（ ）个. 【答案】 解析：非负整数指的是0和正整数，符合题意的有，，故本题答案选. 4. 如图所示，在数轴上点表示的数可能是（ ）. 【答案】 5. 在数轴上，将表示的点沿数轴向右移动5个单位长度得到的数是 . 【答案】2 解析：根据点在数轴上移动规律：左减右加，即-3+5=2，故本题答案是2. 课后巩固 1. 下列各组数，都是正数或都是负数的是（ ）. 【答案】 解析：选项中和为负数，为正数，故不符合题意；选项中均为小于0的数，都为负数，故符合题意；选项中和都为正数，既不是正数也不是负数，故不符合题意；选项中，和都为负数，既不是正数也不是负数，故不符合题意，所以本题答案选. 2. 一种袋装面粉上标有，下面四袋面粉不符合标准的是（ ）. 甲 乙 丙 丁 质量/ 20.3 19.8 19.5 20.1 甲 乙 丙 丁 【答案】 解析：由题得，这种袋装面粉的质量不低于19.6kg，不超过20.4kg，丙袋面粉不符合要求，故本题答案选. 3. 某地一座灯塔高出海平面15米，附近一栋楼房高出海平面40米，一艘沉船在海平面下25米处。现以灯塔高度为基准，记为0米，求楼房和沉船的高度该如何表示？ 【答案】楼房的高度记为米，沉船的高度记为米. 解析：由题得，以灯塔高出海平面 15 米记为 0 米，高于灯塔高度的部分记为正，低于灯塔高度的部分记为负，楼房高出海平面40米，（米），所以楼房的高度记为米，沉船在海平面下25米，相当于高出海平面米，，所以沉船的高度记为米. 故本题答案为楼房的高度记为米，沉船的高度记为米. 4. 下列各数，，，，，，，其中属于非负整数的有（ ）个. 【答案】 解析：非负整数表示正整数和0，故符合题意的有，，故本题答案选. 5. 下列一组数：，，，，，，，，其中有理数有（ ）. 个 个 个 个 【答案】 解析：有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数是无理数，符合要求的有，，，，，，故本题答案选 6. 把下列各数填在相应的横线上： ，，，，，，，， 整数： ； 负数： ； 非负数： ； 负分数： ； 正有理数： ； 非正整数： ； 【答案】，，； ，，； ，，，，，； ，； ，，，； ，. 解析： 整数：包括正整数、0和负整数，符合题意的有，，；负数：小于0的数，符合题意的有 ，，；非负数：包括正数和0，符合题意的有 ，，，，，；负分数：小于0的分数，包括有限小数和无限循环小数，符合题意的有 ，；正有理数：包括正整数和正分数，符合题意的有，，，； 非正整数：包括0和负整数，符合题意的有 ，. 7. 下列所画数轴正确的是（ ）. 【答案】 解析： 选项：没有画出原点，不满足数轴三要素，选项错误； 选项：数字从左到右是 2、1、0、-1，数值递减，和向右的正方向矛盾，选项错误； 选项：具备原点、向右的正方向、统一的单位长度，符合数轴要求，选项正确。 选项：没有标注正方向，不满足数轴三要素，选项错误. 所以本题答案选. 8. 在数轴上，点从出发，先向左移动个单位，再向右移动个单位，最终表示的数是（ ）. 【答案】 解析：根据点在数轴上的移动规律：左减右加，起点是，先向左移动2个单位，即，再向右移动7个单位，即，所以最终表示的数是，故本题答案选. 9. 数轴上，表示 和的点之间（包含两点）有 个整数点，这些整数是 ，其中非正整数有 个. 【答案】；，，，，，，，，； 解析：由题得，找出和之间的所有整数，有，，，，，，，，，一共9个整数点；从中确定非正整数，非正整数表示负整数和0，符合要求的有，，，，一共4个，所以本题答案为；，，，，，，，，；. 10. 在数轴上画出表示，，，的点，并用“”连接各数. 【答案】 1 学科网（北京）股份有限公司 $