专题3 认识有理数 讲义 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数核心知识，从实际情境引入正负数，系统梳理有理数分类、数轴三要素、相反数、绝对值及大小比较，通过数与形的结合构建完整知识支架。 资料以深圳地铁、梧桐山等本地情境为载体，通过“看结构、换表征”还原思维路径，培养抽象能力与几何直观，分层检测适配不同学生，课中助于概念理解，课后可查漏补缺，提升应用意识。

北师大版七年级上册数学思维课系列 专题03 专题03 认识有理数 思维课 （原卷版） 一、知识解读 【看结构】在认识有理数的世界里，我们不仅要掌握正数、负数、数轴、相反数和绝对值的概念，更要看透这些概念背后的结构。从深圳地铁的地下与地上，到梧桐山的海拔起伏，数学用正负数刻画了相反意义的量。让我们一起拆解有理数的知识脉络，建立数与形的深刻联系。 1. 正数与负数：为了表示具有____意义的量，我们引入了负数。比0大的数是____，比0小的数是____，0既不是____也不是____。例如，深圳地铁某站地上部分标高记为+5m，地下部分标高可记为____m。 2. 有理数的分类：整数和分数统称为____。有理数可以按定义分为____和____；也可以按性质分为正有理数、____和负有理数。 3. 数轴的三要素：规定了____、____和____的直线叫做数轴。如图，以深圳湾公园某起点为原点，向东为正方向，1个单位长度代表100m，则向东300m可表示为____。 图1：数轴示意图 4. 相反数：只有____不同的两个数互为相反数。0的相反数是____。在数轴上，互为相反数的两个数分别位于原点的____，且到原点的____相等。 图2：相反数几何意义示意图 5. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与____之间的距离叫做该数的绝对值，记作|a|。正数的绝对值是____，负数的绝对值是____，0的绝对值是____。 图3：绝对值几何意义示意图 6. 有理数大小比较：在数轴上，右边的数总比左边的数____。正数____0，负数____0，正数____负数。两个负数比较，绝对值大的反而____。 二、思路溯源 让我们一起来还原“怎么想到认识有理数核心方法”的完整思维路径。 看结构：观察比亚迪新能源汽车电池电量变化的记录，发现“增加”与“减少”、“高于”与“低于”等词汇总是成对出现，这启发我们思考：如何用数学符号来结构化地表示这些具有____意义的量？ 换表征：当我们遇到“梧桐山登山路线中，大本营以上记为正，以下记为负”的问题时，文字描述不够直观。我们想到：能否将文字语言转化为图形语言？通过画出____，将抽象的有理数转化为直观的____，从而实现数与形的对应。 图4：将文字情境转化为数轴表征 造例子：为了深刻理解相反数和绝对值，我们构造具体例子。例如，取x=3和x=-3，在数轴上标出它们对应的点。观察这两个点到原点的距离，发现它们都是3。这让我们想到：绝对值的本质其实与____有关，而与数的正负符号____。 追条件：在比较两个负数(如-5和-2)的大小时，如果直接看数字，容易误认为5>2所以-5>-2。我们追问：比较有理数大小的根本条件是什么？回到数轴上，-5对应的点在-2对应的点的____边。因此，比较两个负数的大小，必须追根溯源，先比较它们的____，绝对值大的反而小。 做压缩：回顾有理数的分类、数轴、相反数和绝对值，这些概念看似独立，实则紧密相连。我们将这些知识压缩为一个核心本质：____是研究有理数的基础工具，相反数体现了____对称美，绝对值刻画了点与中心的距离。所有的有理数运算和大小比较，最终都可以统一到数轴这个几何模型上。 三、题型精讲 【题型一】基础应用 例1. 若x是有理数，则x-|x|的值一定是( ) A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 【题型二】综合应用 例2. 如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a与b互为相反数。已知点A在原点的左侧，且点A到原点的距离为4。 (1) 求a，b的值； (2) 求点A与点B之间的距离。 图5：数轴上点A与点B的位置示意图 【题型三】情境应用 例3. 深圳地铁11号线是深圳最长的地铁线路。某检修车从起点福田站出发进行轨道巡检，规定向东行驶记为正，向西行驶记为负（单位：千米）。当天的行驶记录如下（单位：千米）： +15, -8, +20, -12, +6, -5, +10 (1) 检修车最后停在福田站的东边还是西边？距离福田站多少千米？ (2) 若检修车每行驶1千米耗电2度，求这天巡检的总耗电量。 四、分层检测 【基础检测】 1. 深圳地铁某号线在早高峰时，进站人数记为正数，出站人数记为负数。若某站早高峰7:00-8:00进站人数为+1200人，出站人数为-800人，则下列说法正确的是（ ） A. 进站1200人，出站800人 B. 进站-1200人，出站-800人 C. 进站800人，出站1200人 D. 进站-800人，出站-1200人 2. 在数轴上，点A表示的数是-3，将点A向右移动5个单位长度得到点B，则点B表示的数是______。 图6：数轴上点的平移示意图 3. 比亚迪某款新能源汽车在测试电池续航时，标准续航里程为500km。若实际续航里程比标准多10km记为+10km，则实际续航里程比标准少15km记为______km；若某次测试记录为0km，则表示实际续航里程为______km。 4. -5的相反数是______，-5的绝对值是______。 5. 比较大小：-3/4 ______ -4/5。（填“>”“<”或“=”） 【提升检测】 6. 已知有理数a在数轴上的对应点位于原点左侧，且|a| = 3。求a + 1的值。 7. 已知有理数a满足|a| = -a，则a在数轴上的对应点位于（ ） A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧 8. 在数轴上，点A表示的数是-2，点B表示的数是4。若点P表示的数是x，且点P到点A的距离等于点P到点B的距离，求x的值。 图7：数轴上两点距离与中点示意图 【探究检测】 9. 深圳梧桐山是深圳第一高峰，主峰大梧桐海拔约为944米。某登山队从山脚（海拔记为0米）出发进行拉练。规定向上攀登记为正数，向下返回记为负数。 (1) 若登山队第一阶段的记录为：+200, +150, -50, +300, -100（单位：米），求登山队第一阶段结束时的海拔高度。 (2) 若登山队在某次拉练中，从海拔300米处出发，最终回到了海拔300米处。已知他们向上攀登的总路程为x米，向下返回的总路程为y米，求x与y的数量关系。 (3) 结合数轴，探究：若将山脚记为数轴的原点，向上为正方向。登山队从原点出发，经过一系列上下移动后，最终停在数轴上的点A处。若他们向上移动的总距离为a，向下移动的总距离为b，且a > b。请用含a, b的代数式表示点A所表示的数，并说明点A在原点的哪一侧。 五、四维认知小结 本节从生活情境出发引入负数，构建有理数体系，并借助数轴、相反数和绝对值实现数与形的初步融合。 翻译：__________________________________________________ 对应：__________________________________________________ 转化：__________________________________________________ 统一：__________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版七年级上册数学思维课系列 专题03 专题03 认识有理数 思维课 （解析版） 一、知识解读 【看结构】在认识有理数的世界里，我们不仅要掌握正数、负数、数轴、相反数和绝对值的概念，更要看透这些概念背后的结构。从深圳地铁的地下与地上，到梧桐山的海拔起伏，数学用正负数刻画了相反意义的量。让我们一起拆解有理数的知识脉络，建立数与形的深刻联系。 1. 正数与负数：为了表示具有相反意义的量，我们引入了负数。比0大的数是正数，比0小的数是负数，0既不是正数也不是负数。例如，深圳地铁某站地上部分标高记为+5m，地下部分标高可记为-5m。 2. 有理数的分类：整数和分数统称为有理数。有理数可以按定义分为整数和分数；也可以按性质分为正有理数、零和负有理数。 3. 数轴的三要素：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。如图，以深圳湾公园某起点为原点，向东为正方向，1个单位长度代表100m，则向东300m可表示为+3(或3)。 图1：数轴示意图 4. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等。 图2：相反数几何意义示意图 5. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值，记作|a|。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 图3：绝对值几何意义示意图 6. 有理数大小比较：在数轴上，右边的数总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。两个负数比较，绝对值大的反而小。 二、思路溯源 让我们一起来还原“怎么想到认识有理数核心方法”的完整思维路径。 看结构：观察比亚迪新能源汽车电池电量变化的记录，发现“增加”与“减少”、“高于”与“低于”等词汇总是成对出现，这启发我们思考：如何用数学符号来结构化地表示这些具有相反意义的量？我们引入正负数，将生活中的相反意义转化为数学上的符号差异。 换表征：当我们遇到“梧桐山登山路线中，大本营以上记为正，以下记为负”的问题时，文字描述不够直观。我们想到：能否将文字语言转化为图形语言？通过画出数轴，将抽象的有理数转化为直观的几何点，从而实现数与形的对应。数轴上的每一个点都唯一对应一个有理数。 图4：将文字情境转化为数轴表征 造例子：为了深刻理解相反数和绝对值，我们构造具体例子。例如，取x=3和x=-3，在数轴上标出它们对应的点。观察这两个点到原点的距离，发现它们都是3。这让我们想到：绝对值的本质其实与距离有关，而与数的正负符号无关。距离是一个非负的量，这就解释了为什么绝对值总是非负的。 追条件：在比较两个负数(如-5和-2)的大小时，如果直接看数字，容易误认为5>2所以-5>-2。我们追问：比较有理数大小的根本条件是什么？回到数轴上，-5对应的点在-2对应的点的左边。因此，比较两个负数的大小，必须追根溯源，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小。这体现了从数轴位置关系出发的严谨逻辑。 做压缩：回顾有理数的分类、数轴、相反数和绝对值，这些概念看似独立，实则紧密相连。我们将这些知识压缩为一个核心本质：数轴是研究有理数的基础工具，相反数体现了关于原点的对称美，绝对值刻画了点与中心的距离。所有的有理数运算和大小比较，最终都可以统一到数轴这个几何模型上。这就是“数形结合”思想的初步体现。 数学方法论：在探索认识有理数的过程中，我们运用了数形结合与从具体到抽象的方法——将现实生活中的相反意义量翻译为正负数，将代数概念换表征为数轴上的点与距离。通过造例子和追条件，我们剥离了表面的符号干扰，抓住了“距离”和“位置”这两个不变本质，最终将零散的知识点统一于数轴这一核心模型，实现了认知的升华。 三、题型精讲 【题型一】基础应用 例1. 若x是有理数，则x-|x|的值一定是( ) A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数 【答案】C 【解析】当x≥0时，|x|=x，此时x-|x|=x-x=0；当x<0时，|x|=-x，此时x-|x|=x-(-x)=2x。因为x<0，所以2x<0。综合两种情况，x-|x|的值总是小于或等于0，即一定是非正数。 [命题意图] 考查绝对值的代数意义及分类讨论思想，引导学生根据有理数的符号对绝对值进行转化，理解代数式的值随变量取值范围的变化规律。 💡思维路径 看结构：观察表达式x-|x|，发现含有绝对值符号，需要去绝对值才能进行化简。换表征：将绝对值符号转化为代数形式，根据x的取值范围分为x≥0和x<0两种情况进行讨论。造例子：取x=2和x=-2代入原式验证，辅助确认结论的普遍性。 【题型二】综合应用 例2. 如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a与b互为相反数。已知点A在原点的左侧，且点A到原点的距离为4。 (1) 求a，b的值； (2) 求点A与点B之间的距离。 图5：数轴上点A与点B的位置示意图 【答案】(1) a=-4，b=4；(2) 点A与点B之间的距离为8。 【解析】(1) 因为点A在原点左侧，所以a<0。又因为点A到原点的距离为4，即|a|=4，所以a=-4。因为a与b互为相反数，所以b=-a=4。(2) 在数轴上，点A表示-4，点B表示4，两点之间的距离为|4-(-4)|=8。 [命题意图] 考查相反数的几何意义及数轴上两点间距离的计算，渗透数形结合思想，建立代数条件与几何特征之间的映射。 💡思维路径 对应：将代数条件“互为相反数”与几何特征“关于原点对称”建立映射，将“到原点距离”与“绝对值”建立映射。追条件：根据“点A在原点左侧”这一位置条件，确定a的符号为负，从而求出a和b的具体数值，进而计算距离。 【题型三】情境应用 例3. 深圳地铁11号线是深圳最长的地铁线路。某检修车从起点福田站出发进行轨道巡检，规定向东行驶记为正，向西行驶记为负（单位：千米）。当天的行驶记录如下（单位：千米）： +15, -8, +20, -12, +6, -5, +10 (1) 检修车最后停在福田站的东边还是西边？距离福田站多少千米？ (2) 若检修车每行驶1千米耗电2度，求这天巡检的总耗电量。 【答案】(1) 检修车最后停在福田站的东边，距离福田站26千米；(2) 这天巡检的总耗电量为152度。 【解析】(1) 将各段行驶记录相加：(+15)+(-8)+(+20)+(-12)+(+6)+(-5)+(+10)=26(千米)。因为结果为正数，所以检修车最后停在福田站的东边，距离福田站26千米。(2) 检修车行驶的总路程为各段行驶记录绝对值之和：|+15|+|-8|+|+20|+|-12|+|+6|+|-5|+|+10|=15+8+20+12+6+5+10=76(千米)。总耗电量为76×2=152(度)。 [命题意图] 以深圳地铁为背景，考查有理数加减法及绝对值的实际应用，引导学生在真实情境中区分“位移”与“路程”的数学本质。 💡思维路径 翻译：将文字情境中的“向东/向西”翻译为正负数，将“行驶记录”翻译为有理数序列。对应：将“最终位置”对应为有理数的代数和，将“总耗电量”对应为有理数的绝对值之和，通过运算解决实际问题。 四、分层检测 【基础检测】 1. 深圳地铁某号线在早高峰时，进站人数记为正数，出站人数记为负数。若某站早高峰7:00-8:00进站人数为+1200人，出站人数为-800人，则下列说法正确的是（ ） A. 进站1200人，出站800人 B. 进站-1200人，出站-800人 C. 进站800人，出站1200人 D. 进站-800人，出站-1200人 【答案】A 【解析】正负数表示相反意义的量。进站记为正，则+1200表示进站1200人；出站记为负，则-800表示出站800人。 2. 在数轴上，点A表示的数是-3，将点A向右移动5个单位长度得到点B，则点B表示的数是______。 图6：数轴上点的平移示意图 【答案】2 【解析】在数轴上，向右移动表示加上移动的单位长度，-3+5=2。 3. 比亚迪某款新能源汽车在测试电池续航时，标准续航里程为500km。若实际续航里程比标准多10km记为+10km，则实际续航里程比标准少15km记为______km；若某次测试记录为0km，则表示实际续航里程为______km。 【答案】-15；500 【解析】比标准少记为负，所以少15km记为-15km；记录为0表示与标准相同，即实际续航里程为500km。 4. -5的相反数是______，-5的绝对值是______。 【答案】5；5 【解析】根据相反数和绝对值的定义，-5的相反数是5，-5的绝对值是5。 5. 比较大小：-3/4 ______ -4/5。（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小。|-3/4|=3/4=15/20，|-4/5|=4/5=16/20。因为15/20 < 16/20，所以-3/4 > -4/5。 【提升检测】 6. 已知有理数a在数轴上的对应点位于原点左侧，且|a| = 3。求a + 1的值。 【答案】-2 【解析】因为a在原点左侧，所以a < 0。又因为|a| = 3，所以a = -3。因此a + 1 = -3 + 1 = -2。 [命题意图] 考查绝对值的几何意义与代数意义的结合，以及有理数的加法运算。 💡思维路径 看结构（含绝对值的等式与数轴位置）→换表征（将数轴位置转化为不等式a<0）→追条件（结合绝对值求出a的具体值）→做压缩（代入代数式求值）。 7. 已知有理数a满足|a| = -a，则a在数轴上的对应点位于（ ） A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧 【答案】C 【解析】由绝对值的定义，当a ≥ 0时，|a| = a；当a < 0时，|a| = -a。已知|a| = -a，说明a ≤ 0。因此a在数轴上的对应点位于原点或原点左侧。 [命题意图] 考查绝对值的代数意义及分类讨论思想，培养严密的逻辑推理能力。 💡思维路径 看结构（绝对值等于其相反数）→换表征（回忆绝对值的代数定义）→追条件（分类讨论a>0, a=0, a<0的情况）→做压缩（得出a≤0的结论）。 8. 在数轴上，点A表示的数是-2，点B表示的数是4。若点P表示的数是x，且点P到点A的距离等于点P到点B的距离，求x的值。 图7：数轴上两点距离与中点示意图 【答案】1 【解析】点P到点A和点B的距离相等，说明点P是线段AB的中点。根据中点坐标的计算方法，x = (-2 + 4) / 2 = 1。 [命题意图] 考查数轴上两点距离的几何意义，引导学生利用几何直观（中点）解决问题，避免复杂的代数分类讨论。 💡思维路径 看结构（数轴上两点距离相等）→换表征（将距离相等转化为几何中点）→追条件（点P到A和B距离相等，说明P是AB的中点）→做压缩（利用中点坐标公式计算）。 【探究检测】 9. 深圳梧桐山是深圳第一高峰，主峰大梧桐海拔约为944米。某登山队从山脚（海拔记为0米）出发进行拉练。规定向上攀登记为正数，向下返回记为负数。 (1) 若登山队第一阶段的记录为：+200, +150, -50, +300, -100（单位：米），求登山队第一阶段结束时的海拔高度。 (2) 若登山队在某次拉练中，从海拔300米处出发，最终回到了海拔300米处。已知他们向上攀登的总路程为x米，向下返回的总路程为y米，求x与y的数量关系。 (3) 结合数轴，探究：若将山脚记为数轴的原点，向上为正方向。登山队从原点出发，经过一系列上下移动后，最终停在数轴上的点A处。若他们向上移动的总距离为a，向下移动的总距离为b，且a > b。请用含a, b的代数式表示点A所表示的数，并说明点A在原点的哪一侧。 【答案】(1) 0 + 200 + 150 - 50 + 300 - 100 = 500（米）。答：第一阶段结束时的海拔高度为500米。 (2) 因为最终回到了海拔300米处，即净位移为0。向上攀登的总路程为x，向下返回的总路程为y，所以x - y = 0，即x = y。 (3) 点A表示的数为a - b。因为a > b，所以a - b > 0，点A在原点的右侧。 【解析】(1) 将各阶段的记录相加，即可得到最终的海拔高度。 (2) 根据题意，向上和向下的总效果抵消，即向上的总路程等于向下的总路程。 (3) 将向上移动的距离a和向下移动的距离b转化为数轴上的正负方向，最终位置即为a - b。由a > b判断其正负，从而确定在数轴上的位置。 [命题意图] 考查有理数加减法在实际情境中的应用，培养从具体到抽象的建模能力，体现“翻译”与“对应”的四维认知。 💡思维路径 看结构（实际情境中的上下移动）→换表征（将海拔变化转化为数轴上的有理数加减）→造例子（第1问具体数值计算）→追条件（第2问追“回到原处”的隐含条件：净位移为0）→做压缩（第3问将具体数值抽象为字母，建立代数模型）。 五、四维认知小结 本节从生活情境出发引入负数，构建有理数体系，并借助数轴、相反数和绝对值实现数与形的初步融合。 翻译：本节学习中，我们首先将现实生活中的相反意义量“翻译”为正负数，例如将深圳地铁的进出站客流差、梧桐山的海拔高低转化为带有正负号的数值。进一步，我们将抽象的有理数“翻译”为数轴上的点，实现从代数到几何的表征转换。同时，将文字语言“翻译”为符号语言，如用-a表示a的相反数。这种从具体情境到抽象符号、从文字描述到图形直观的翻译过程，不仅赋予了数学对象丰富的现实意义，更为后续探索有理数的运算规律奠定了坚实的表征基础，是构建数学思维的关键第一步。 对应：在有理数体系中，我们建立了数与形之间的深刻对应关系。最核心的是有理数与数轴上点的一一对应：每一个有理数都对应数轴上唯一确定的点，数轴上的每一个点也代表唯一的有理数。在此基础上，我们发现了相反数与几何位置的对应：互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。绝对值则与几何距离形成对应，即数轴上的点到原点的距离。这种代数概念与几何特征的双向映射，让我们能够以形助数，通过观察图形的对称性和距离特征，直观地推断出有理数的代数性质。 转化：面对有理数的大小比较和符号判断，我们将其转化为数轴上点的左右位置关系和到原点的距离问题。例如，比较两个负数的大小时，转化为比较它们绝对值的大小，即绝对值大的反而小。在处理如深圳湾水位连续涨落的实际问题时，我们将复杂的多步数值变化转化为数轴上的连续平移运动。转化思想的精髓在于化未知为已知，化抽象为直观。通过寻找问题与已有知识之间的内在联系，我们将陌生的代数符号运算转化为熟悉的几何图形操作，从而降低认知难度，找到解题的突破口。 统一：正数与负数看似方向相反、彼此对立，但通过引入0和数轴的原点，它们被完美地统一在同一个有理数体系中。相反数与绝对值也在数轴上实现了本质统一：相反数刻画了方向的对称性，绝对值刻画了距离的非负性，两者结合完整描述了有理数的方向与大小双重属性。无论是通过代数法则进行符号运算，还是借助几何直观进行图形分析，其背后的不变本质都是数形结合。代数运算的严谨逻辑与几何图形的直观特征在底层逻辑上高度契合，展现了数学内部和谐统一的结构美。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $