2.2 有理数的加减运算 讲义-2026-2027学年北师大版七年级上册数学

本初中数学讲义聚焦有理数的加减运算核心知识点，系统梳理加法法则（含异号相加的符号确定与绝对值运算、相反数性质）、加法运算律（交换律、结合律），进而衔接减法法则（转化为加法及减数变相反数），最终整合为加减混合运算（统一加法、省略加号、运用运算律）的完整学习支架。 资料以“知识梳理+达标检测”为设计特色，通过选择、填空及行程问题（如出租车接送）、温差计算等解答题，强化运算能力与符号意识，培养用数学思维解决实际问题的应用意识。课中辅助教师构建运算逻辑，课后助力学生查漏补缺，提升有理数运算的综合应用能力。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 有理数的加减运算（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的加法 1、有理数的加法法则。 （1）绝对值不等的异号两数相加时，先确定绝对值的大小，再确定和的符号，最后用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （2）有理数的加法运算最重要的是确定结果的正负号。 （3）如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数。 2、有理数加法的运算律。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b）+c=a+（b+c）。 知识点二有理数的减法 1、有理数的减法法则。 有理数的减法可以变成加法进行计算，但是在减法变成加法时，注意有两个变化，一个是运算符号的“减”变成“加”，另一个是减数要变成它的相反数。 （1）减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a-b=a+（-b）； a-（-b） =a+（+b）； a-（+b）=a+（-b）。 （2）0减一个数等于这个数的相反数。 2、多个有理数的减法。 多个有理数的减法与两个有理数的减法道理一样，先利用有理数的减法法则将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算。 3、有理数减法的实际应用。 当实际问题中出现“差多少”“高多少”“少多少”“多多少”这样的关键词时，我们通常要列出减法算式，然后把减法转化成加法，根据加法法则进行计算。 知识点三有理数的加减混合运算 1、把有理数的加减混合运算统一为加法运算。 （1）只有把减法统一成加法之后，才能写成省略加号的和的形式，负数前面要保留负号，千万不要漏掉； （2）正确理解算式中“+”和“－”的意义，它们有双重含义： ①可以理解为性质符号，读作“正”“负”； ②可以理解为运算符号，读作“加”“减”. （3）在算式中一个符号只能读一次，不能把一个“+”既读“正”又读“加”。 2、有理数的加减混合运算。 有理数加减运算的一般方法和步骤如下： 第一步，将算式中的减法都转化为加法； 第二步，省略括号和括号前面的加号； 第三步，利用加法法则和加法运算律计算。 一、选择题 1．数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 【答案】A 【分析】分所求点在已知点左侧、右侧两种情况计算，避免漏解. 【详解】解：由题意，， 即数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是和. 2．已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的和的符号的确定． 由条件且，可知，，而的符号不确定．通过分析绝对值比较，结合条件推导出一定成立． 【详解】解：∵且， ∴，， 故 ． 对于与： 若，则，由得， ∵， ∴，即 ； 若，则， ∵且， ∴，即； 综上，总有 ，故C正确，D错误； 对于A 和B，由于的符号不确定，与的大小关系不确定（例如当时，当时），故 A 和 B 不一定成立． 故选：C． 3．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标注找出直径的最大值和最小值，计算差值即可． 【详解】解：∵标注乒乓球直径为． ∴乒乓球直径的最大值为，最小值为． ∴任意取出两个乒乓球，直径最多相差． 4．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 5．某天昆明的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用这天的最高气温减去最低气温即可． 【详解】解：由题意得：这天的温差是． 6．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 二、填空题 7．计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先将减法转化为加法，再根据加法结合律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 【答案】5 【分析】本题考查重叠问题，熟练掌握容斥原理与韦恩图是解题关键． 先计算出只答对第一题的人数，再用总人数减去只答对第一题和答对第二题的人数即可． 【详解】解：由题意可知，只答对第一题的人数为人， ∴两道题都错的有人． 故答案为：5． 9．把算式转化为只含加法的形式，并用交换律和结合律计算其结果，步骤为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是正确解答的关键． 根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为： 10．已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 【答案】5 或 【分析】分点B在点A的左边和右边两种情况，列出算式，即可求解． 【详解】解：点B在点A的左边时，点B表示的数为：， 点B在点A的右边时，点B表示的数为： 11．某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 【答案】10（答案不唯一） 【分析】先统一质量单位，根据标识含义求出符合标准的质量取值范围，在范围内任选一个值作答即可． 【详解】解：， 最小合格质量为，最大合格质量为， ∴该袋大米符合标准的质量范围为， ∴该袋大米符合标准质量的可以是． 12．在数轴上，点A在原点，现将点A向右移动5个单位，再向左移动3个单位到达了点B，则点B表示的数是______． 【答案】2 【分析】根据数轴上点的平移规律“右移加，左移减”计算得到点B表示的数即可． 【详解】解：将原点A向右移动5个单位，再向左移动3个单位到达了点B， 则点B表示的数是． 三、解答题 13．计算： 【答案】 【分析】运用加法交换律和结合律，将分母相同的带分数分组计算，简化运算过程． 【详解】解：原式 ． 14．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 【答案】千米 【详解】解：， ∴送完最后一名老师后，在出车地点的西边千米处． 答：小王距出车地点的距离是千米． 15．2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)此时直升机的海拔高度是850米 (2)直升机现在的飞行高度是2500米 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义和有理数加减运算法则． （1）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据正负数的实际意义，列出算式，利用有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：记上升为正，下降为负，则 （米） 答：此时直升机的海拔高度是850米； （2）解： （米） 答：直升机现在的飞行高度是2500米． 16．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 17．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.2 有理数的加减运算（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的加法 1、有理数的加法法则。 （1）绝对值不等的异号两数相加时，先确定绝对值的大小，再确定和的符号，最后用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （2）有理数的加法运算最重要的是确定结果的正负号。 （3）如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数。 2、有理数加法的运算律。 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b）+c=a+（b+c）。 知识点二有理数的减法 1、有理数的减法法则。 有理数的减法可以变成加法进行计算，但是在减法变成加法时，注意有两个变化，一个是运算符号的“减”变成“加”，另一个是减数要变成它的相反数。 （1）减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a-b=a+（-b）； a-（-b） =a+（+b）； a-（+b）=a+（-b）。 （2）0减一个数等于这个数的相反数。 2、多个有理数的减法。 多个有理数的减法与两个有理数的减法道理一样，先利用有理数的减法法则将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算。 3、有理数减法的实际应用。 当实际问题中出现“差多少”“高多少”“少多少”“多多少”这样的关键词时，我们通常要列出减法算式，然后把减法转化成加法，根据加法法则进行计算。 知识点三有理数的加减混合运算 1、把有理数的加减混合运算统一为加法运算。 （1）只有把减法统一成加法之后，才能写成省略加号的和的形式，负数前面要保留负号，千万不要漏掉； （2）正确理解算式中“+”和“－”的意义，它们有双重含义： ①可以理解为性质符号，读作“正”“负”； ②可以理解为运算符号，读作“加”“减”. （3）在算式中一个符号只能读一次，不能把一个“+”既读“正”又读“加”。 2、有理数的加减混合运算。 有理数加减运算的一般方法和步骤如下： 第一步，将算式中的减法都转化为加法； 第二步，省略括号和括号前面的加号； 第三步，利用加法法则和加法运算律计算。 一、选择题 1．数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 2．已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 5．某天昆明的最高气温是，最低气温是，那么这天的温差是（    ） A． B． C． D． 6．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： ______． 8．一次数学小测有两道应用题，全班48名同学参与答题．答对第一题的有35人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有22人．请问两道题都答错的人数为________． 9．把算式转化为只含加法的形式，并用交换律和结合律计算其结果，步骤为_____． 10．已知数轴上有A、B两点，如图，A为数轴上表示2的点，若点B到点A的距离是3，则B点表示的数为__________． 11．某大米包装袋上标有“净含量：”的标识，即标准质量为，上下偏差不超过就符合标准，则该袋大米符合标准质量的可以是______．（写出一个即可） 12．在数轴上，点A在原点，现将点A向右移动5个单位，再向左移动3个单位到达了点B，则点B表示的数是______． 三、解答题 13．计算： 14．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，．问：若出车地记为，则最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ 15．2025年9月3日的盛大阅兵式上，空中梯队的直升机编队飞越天安门广场上空，其中26架直升机组成了巨大的“80”字样，以纪念抗战胜利80周年． (1)阅兵仪式上，一架执行摄影任务的直升机先在海拔米的高度飞行，为了避开气流，它先上升了米，随后又下降了米．请问此时直升机的海拔高度是多少米？ (2)另一架直升机在执行任务时，从海拔米的高度开始下降，先下降了米后，又下降了米．请问它现在的飞行高度是多少米？ 16．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 17．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 学科网（北京）股份有限公司 $