必刷小题13立体几何专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以空间几何体、位置关系、空间角与体积计算为核心，通过模拟题系统训练空间观念与推理能力，提炼斜二测画法还原、线面垂直判定等实用方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体|4题（如斜二测画法、圆锥、球缺）|斜二测画法还原步骤、圆锥侧面积公式应用|从直观图还原到几何体度量，构建空间形态认知| |位置关系|5题（如面面平行、异面直线）|面面平行性质定理、线面垂直判定方法|以线面关系为桥梁，推导空间平行垂直逻辑| |空间角与距离|3题（如二面角、异面直线所成角）|二面角平面角构造、异面直线平移法|从几何构造到角的度量，培养空间想象| |体积表面积|2题（如圆台、球缺体积）|体积公式综合应用、外接球半径计算|结合几何体特征，强化运算与模型意识|

必刷小题13　立体几何 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·新乡模拟)如图所示，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为△A'B'C'，其中∠x'O'y'=45°，B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么△ABC为(　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.三边互不相等的三角形 2.已知三个不同的平面α，β，γ，α∩β=a，γ∩β=b，则“α∥γ”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列说法中正确的是(　　) A.平行于同一直线的两个平面平行 B.垂直于同一平面的两个平面垂直 C.一块蛋糕切3刀可以切成6块 D.一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内 4.已知圆锥的侧面积等于18π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为(　　) A.1 B. C.3 D.6 5.(2025·济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　　) A.A1D∥D1B，MN∥平面ABCD B.A1D∥D1B，MN⊥平面BB1D1D C.A1D⊥D1B，MN∥平面ABCD D.A1D⊥D1B，MN⊥平面BB1D1D 6.(2024·天津十二区重点学校联考)天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，决定走少而精的售卖方式，定制了如图所示由底面圆半径为4 cm的圆柱体和球缺(球的一部分)组成的单独包装盒，球缺的体积V=(R为球缺所在球的半径，h为球缺的高).若h=2 cm，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 7.(2025·深圳模拟)已知直线a，b是异面直线，点P为空间中一点，且P不在直线a，b上，则下列说法一定正确的是(　　) A.不存在过点P的平面与a，b都相交 B.存在过点P的平面与a，b都平行 C.存在过点P的直线与a，b都相交 D.存在过点P的直线与a，b都垂直 8.(2024·河南部分重点高中联考)在四面体ABCP中，平面ABC⊥平面PAC，△PAC是直角三角形，PA=PC=4，AB=BC=3，则二面角A-PC-B的正切值为(　　) A. B. C.2 D. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2024·娄底模拟)已知a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是(　　) A.若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，则a⊥α B.若α⊥β，a⊥α，则a∥β C.若a∥b，a∥c，a∥α，则b∥α或c∥α D.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β 10.已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则(　　) A.该圆台的母线长为2 B.该圆台的表面积为12π C.该圆台的体积为 D.该圆台的外接球的表面积为80π 11.(2024·杭州模拟)如图，在三棱锥P-EDF的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为2，则在三棱锥P-EDF中(　　) A.PD⊥EF B.平面PEF⊥平面DEF C.三棱锥P-EDF的外接球的表面积为7π D.PD与平面EFD所成的角的余弦值为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB=BC=2，BB1=1，AC=2，则异面直线BD与AC所成的角为　　　　　　.  13.圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为　　　　　　.  14.(2024·济南模拟)已知正三棱锥P-ABC的底面△ABC的边长为2，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥P-ABC的体积为　　　　　.  答案 必刷小题13　立体几何 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·新乡模拟)如图所示，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为△A'B'C'，其中∠x'O'y'=45°，B'O'=C'O'=1，A'O'=，那么△ABC为(　　) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.三边互不相等的三角形 答案　B 解析　如图，根据斜二测画法还原△ABC，则OB=OC=OA=1，且OA⊥BC， 因此AB=AC=，BC=2，则AB2+AC2=BC2，故∠BAC=90°， 所以△ABC为等腰直角三角形. 2.已知三个不同的平面α，β，γ，α∩β=a，γ∩β=b，则“α∥γ”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为α∥γ，α∩β=a，γ∩β=b，所以由面面平行的性质定理可得a∥b，则充分性成立； 因为a∥b，α∩β=a，γ∩β=b，所以则a∥γ，又则b∥α，当α∩γ=l时，由线面平行的性质定理可知a∥l∥b，则必要性不成立， 综上所述，“α∥γ”是“a∥b”的充分不必要条件. 3.下列说法中正确的是(　　) A.平行于同一直线的两个平面平行 B.垂直于同一平面的两个平面垂直 C.一块蛋糕切3刀可以切成6块 D.一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内 答案　C 解析　平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故A错误； 垂直同一个平面的两个平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故B错误； 作蛋糕截面如图所示，一个蛋糕切3刀可以切成6块，故C正确； 一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内或该直线与平面平行或直线与平面相交，故D错误. 4.已知圆锥的侧面积等于18π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为(　　) A.1 B. C.3 D.6 答案　C 解析　设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l， ∵圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴πl=2πr，∴l=2r， ∵圆锥的侧面积为18π，即πl2=18π， ∴l=6，则r=3. 5.(2025·济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　　) A.A1D∥D1B，MN∥平面ABCD B.A1D∥D1B，MN⊥平面BB1D1D C.A1D⊥D1B，MN∥平面ABCD D.A1D⊥D1B，MN⊥平面BB1D1D 答案　C 解析　由已知AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1， 则AB⊥A1D，又AD1⊥A1D，AB∩AD1=A，AB，AD1⊂平面ABD1， 所以A1D⊥平面ABD1， 又D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，A，B错误； 因为M，N分别为AD1，D1B的中点，所以MN∥AB， 又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD，C正确； 若MN⊥平面BB1D1D，因为BD⊂平面BB1D1D，则必有MN⊥BD，又MN∥AB，所以AB⊥BD，明显不成立，D错误. 6.(2024·天津十二区重点学校联考)天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，决定走少而精的售卖方式，定制了如图所示由底面圆半径为4 cm的圆柱体和球缺(球的一部分)组成的单独包装盒，球缺的体积V=(R为球缺所在球的半径，h为球缺的高).若h=2 cm，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　B 解析　如图，设圆柱的高为OO'=m cm，OA=OC=R， 则OA2=O'O2+O'A2， 即解得 则圆柱的高为3 cm， 故包装盒的体积为π×42×3+=(cm3). 7.(2025·深圳模拟)已知直线a，b是异面直线，点P为空间中一点，且P不在直线a，b上，则下列说法一定正确的是(　　) A.不存在过点P的平面与a，b都相交 B.存在过点P的平面与a，b都平行 C.存在过点P的直线与a，b都相交 D.存在过点P的直线与a，b都垂直 答案　D 解析　当点P和直线a所确定的平面与直线b平行时，B，C不正确； 任取直线a上点A，直线b上点B，使P，A，B不共线，则平面PAB与a和b都相交，A不正确； 过P分别作直线a和b的平行线a'和b'，记a'和b'所确定的平面为α，过P作α的垂线l，则垂线l与a，b都垂直，D正确. 8.(2024·河南部分重点高中联考)在四面体ABCP中，平面ABC⊥平面PAC，△PAC是直角三角形，PA=PC=4，AB=BC=3，则二面角A-PC-B的正切值为(　　) A. B. C.2 D. 答案　A 解析　设AC，PC的中点分别为E，D，连接BE，DE，BD，则DE∥PA， 因为AB=BC，所以BE⊥AC， 又因为平面ABC⊥平面PAC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC=AC， 所以BE⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，则BE⊥PC， 因为△PAC是直角三角形，PA=PC=4，所以PA⊥PC， 所以DE⊥PC，且DE=×4=2， 因为DE∩BE=E，且DE，BE⊂平面BDE，所以PC⊥平面BDE， 又因为BD⊂平面BDE，则PC⊥BD， 所以∠BDE为二面角A-PC-B的平面角， 且tan∠BDE===. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2024·娄底模拟)已知a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是(　　) A.若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，则a⊥α B.若α⊥β，a⊥α，则a∥β C.若a∥b，a∥c，a∥α，则b∥α或c∥α D.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β 答案　ABC 解析　对于A，若b∥c，则a与α相交或平行，或a⊂α故A错误； 对于B，若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B错误； 对于C，有可能b⊂α且c⊂α且b∥c，故C错误； 对于D，若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β，故D正确. 10.已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则(　　) A.该圆台的母线长为2 B.该圆台的表面积为12π C.该圆台的体积为 D.该圆台的外接球的表面积为80π 答案　ACD 解析　设圆台上底面的半径为r1=2，下底面的半径为r2=4. 对于A中，由于母线与底面所成的角为，则母线长l==2，所以A正确； 对于B中，圆台的表面积S=π+π+πr1l+πr2l=4π+16π+π×2×2+π×4×2=(20+12)π，所以B不正确； 对于C中，由圆台的母线长l=2，且母线与底面所成的角为， 可得圆台的高h=2sin =2， 则体积V=π(++r1r2)·h=π(4+16+2×4)×2=，所以C正确； 对于D中，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为h1， 若外接球的球心在圆台下底面的下方，可得解得 此时圆台外接球的表面积S=4πR2=80π； 若外接球的球心在圆台上、下底面之间，可得此时方程组无解， 综上可得，圆台外接球的表面积为80π，所以D正确. 11.(2024·杭州模拟)如图，在三棱锥P-EDF的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为2，则在三棱锥P-EDF中(　　) A.PD⊥EF B.平面PEF⊥平面DEF C.三棱锥P-EDF的外接球的表面积为7π D.PD与平面EFD所成的角的余弦值为 答案　AD 解析　对于A，如图1，连接BD交EF于G，根据正方形的性质易知EF⊥BD， 所以如图2，有EF⊥GD，EF⊥PG，又PG∩GD=G，PG，GD⊂平面GPD，所以EF⊥平面GPD，PD⊂平面GPD，所以EF⊥PD，故A正确； 对于B，由A项分析可知∠PGD为二面角P-EF-D的平面角，易知PG=，DG=，PD=2≠，则PG，DG不垂直，故B错误； 对于C，因为PE，PF，PD两两垂直，可将三棱锥补成长方体，其外接球的直径为2R==，故外接球的表面积为4πR2=6π，故C错误； 对于D，因为EF⊥平面GPD，且EF⊂平面EFD，所以平面GPD⊥平面EFD，所以∠PDG为PD与平面EFD所成的角，cos∠PDG==，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB=BC=2，BB1=1，AC=2，则异面直线BD与AC所成的角为　　　　　　.  答案　60° 解析　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)为异面直线BD与AC所成的角.由条件知BD=DE=EB=，则∠BDE=60°. 13.圆锥轴截面顶角为120°，母线长为3，过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值为　　　　　　.  答案　 解析　因为圆锥轴截面顶角为， 所以任意两条母线夹角的范围是， 设母线长为l，母线的夹角是θ， 所以过圆锥顶点的截面三角形面积 S=l2sin θ=sin θ， 因为θ∈，所以sin θ∈(0，1]， 所以截面三角形面积的最大值是. 14.(2024·济南模拟)已知正三棱锥P-ABC的底面△ABC的边长为2，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥P-ABC的体积为　　　　　.  答案　2 解析　因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面ABC截球得到的截面圆与△ABC的三边均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面ABC垂直的直线上， 又△ABC的边长为2，所以△ABC的内切圆的半径为r'=tan ·AB=×=1， 又因为球的半径r=1，即r'=r， 所以棱切球的球心即为△ABC内切圆的圆心， 如图，过球心O作PA的垂线交PA于点H， 所以OH=r=1， 又因为OA===2， 所以cos∠AOH==， 因为∠AOH∈，所以∠AOH=， 又由题意可知，PO⊥平面ABC， 所以PO⊥OA，所以∠POH=， 所以PO===， 所以V三棱锥P-ABC=××2×2××=2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $