1.4.2 正方形的判定-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 基础导学 1.菱形矩形正方形 2.轴对称两条两条四条中心对称 课后演练 1.C2.D3.(1)菱形(2)正方形 4.两组对边分别相等（答案不唯一） 5.C6.A7.A8.C9.5 10.∠AEB=70°11.6 12.(1)证明略(2)4v3 13.(1)CE⊥BF.理由略(2)CD=DG.理由略 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础导学 1.(2)相等(3)垂直平分 一组对角 (4)轴对称中心对称 2.底×高两对角线长度乘积的一半 课后演练 1.D2.B3.C4.B5.A6.207.3 8.证明略9.(1)证明略(2)证明略 10.8511.1212.C13.(5,0)14.22 15.PE+PB的最小值为3√3 16.(1)证明略(2)∠GD=120°(3)证明略 第2课时菱形的判定 基础导学 1.(1)四条边(2)互相垂直(3)邻边 【拓展】(1)互相垂直平分 课后演练 1.B2.D 3.(1)证明略(2)菱形BNDM的周长为52. 4.C 5.A 6.AB=CD 7.(1)证明略(2)证明略8.209.①②④ 10.(1)证明略(2)证明略 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步叁考管案 11.(1)四边形ABDF是菱形.理由略(2)证明略 .四边形ADBF是平行四边形， 3.B4.证明略5.D6.B7.C8.①②③④ 3矩形的性质与判定 AB=AC,D是BC的中点， 9.3√210.3-√311.正方形8√2 .AD⊥BC,∴.∠ADB=90°， 12.(1)证明略(2)CE+CG的值为定值，理由略 第1课时矩形的性质 .四边形ADBF是矩形 13.(1)证明略(2)90° 理由略 基础导学 12 1.(2)直角(3)相等互相平分 11. 12.4 回顾与思考 (4)轴对称中心对称 13.(1)证明略 课后演练 2.斜边 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF 1.C2.A3.A4.A5.B6.52024 课后演练 是矩形.理由略 14.(1)45°(2)∠BDG=60° 7.208.29.(1)证明略(2)FE=2√37 1.A2.C3A41059 10.(1)证明略(2)OE=2 4正方形的性质与判定 6.(1)证明略 11.√3712.16 (2)解：由(1)知：△ABE≌△DCF, 第1课时正方形的性质 13.(1)证明略(2)BH=√2AE,证明略 ∴.AE=DF=13,又，AB=12,∠B=90°， 基础导学 14.(1)AB=6(2)证明略 ∴.BE=√/AE2-AB=5. 1.(2)直角相等(3)垂直平分相等一组对 角(4)轴对称中心对称4对角线的交点 第二章一元二次方程 7.B8.A9.D10.75° 11.(1)证明：BD、CE分别是AC、AB边上的高，F 课后演练 1认识一元二次方程 是BC的中点， 1.D2.D3.B4.C5.B6.57.72 ∴EF=DF-号BC,∴△DEF是等腹三角形， 8.正方形ABCD的周长为4X6=24 第1课时一元二次方程的概念 9.(1)证明略 基础导学 (2)BC=2m (2)解：四边形BEDF为正方形，∴.BF⊥AB, 2.a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)ax2 12.5613.号 .BF·AB=20,.又AB=5,BF=4, a bx b c .CF=CD-DF=5-4=1, 课后演练 14.(1)证明略 (2PQ-号 在Rt△BCF中，CF2+BF=BC, 1.D2.C3.C4.C5.5y2-y-4=0 ∴.BC=√I7(负值已舍去) 15.(1)证明略 2深-2g 6,解：1)由题意，得一？m=4,方程的二 m-2≠0， 第2课时矩形的判定 10.61.(-26 次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11. 基础导学 12.（1)证明略(2)S平行四边形EH=2. 1m-2=1, m-2=0, (2)由题意，得 或 1.(1)直角平行四边形 13.(1)DE=2-√2(2)BF=2-√2 m-2+m+1≠0，m+1≠0， (2)相等 平行四边形 (3)直角 第2课时正方形的判定 ∴.m=3或m=2. 课后演练 基础导学 7.x2-70x+825=0 1.C2.D3.90°矩形48cm2 1.(1)相等 (2)互相垂直(3)直角 (4)相等 8.(1)一般形式为x2一2x一3=0. 4.此题答案不唯一，∠ABC=90°或∠ADC=90° (5)相等且互相垂直 二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项为 或∠BAD=90°或∠BCD=90°或AC=BD等 课后演练 -3. 5.(1)证明略(2)OE=5,BG=2. 1.AB=BC(答案不唯一) (2)一般形式为x2一7x十8=0， 6.C7.A8.D9.EB=DC(答案不唯一) 2.(1)证明略 二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为8. 10.(1)证明略 (2)△ABC满足∠BAC=90时， (3)一般形式为25x2-50x+9=0. (2).AF=BD,AF∥BD, 四边形AEDF是正方形，理由略 二次项系数为25，一次项系数为一50，常数项 34指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(BS》 【创新拓展】 13.如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接 AC,BD交于点O,CE平分∠ACD交BD于 点E. (1)求DE的长； (2)过点E作EF⊥CE,交AB于点F,求BF 的长 第2课时 正方形的判定 基础 导 学 1.正方形的判定定理： (1)有一组邻边 的矩形是正方形； (2)对角线 的矩形是正方形； (3)有一个角是 的菱形是正方形； (4)对角线 的菱形是正方形； (5)对角线 的平行四 边形是正方形 2.借助图形记忆正方形的判定定理 有一个角是直角且 有一组邻边相等 正方形 平行四边形 对角线相等 且互相垂直 正方形 有一组邻边相等 正方形 矩形 对角线互相垂直 正方形 有一个角是直角 正方形 菱形 对角线相等 正方形 课后 【基础过关】 知识点从矩形出发判定正方形 1.矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请 你添加一个适当的条件 ,使其成为正方形（只填一个即可）， 2.(兴安盟中考)如图，AD是△ABC的角平分 线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,连 接EF,EF与AD相交于点H. 8 第一章骑殊平行四迎形 (1)求证：AD⊥EF; 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 (2)△ABC满足什么条件时，四边形AEDF 于点O,点E,F在对角线BD上，且BE= 是正方形？说明理由. DF,OE=OA.求证：四边形AECF是正方形 知识点3特殊平行四边形综合 5.下列命题，其中是真命题的是 A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 知识点2从菱形出发判定正方形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 3.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺 C.对角线互相平分的四边形是菱形 次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 EFGH的面积是 ( 6.下列命题是假命题的是 ( ) A.有一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 A.30 B.34 C.36 D.40 D.有三个角是直角的四边形是矩形 ·19· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 7.(绍兴中考)如图，在平行四边形ABCD中， AD=2AB=2,∠ABC=60°，E,F是对角线 BD上的动点，且BE=DF,M,N分别是边 AD,边BC上的动点.下列四种说法： ①存在无数个平行四边形MENF; ②存在无数个矩形MENF; ③存在无数个菱形MENF; ④存在无数个正方形MENF. 其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 第7题图 第8题图 8.(攀枝花中考)如图，以△ABC的三边为边在 BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF. 且点A在△BCF内部.给出以下结论：①四边 形ADFE是平行四边形；②当∠BAC=150 时，四边形ADFE是矩形；③当AB=AC时， 四边形ADFE是菱形；④当AB=AC,且 ∠BAC=150时，四边形ADFE是正方形.其 中正确结论有 (填上所有正确 结论的序号). 【能力提升】 9.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC =90°，AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形 ABCD的面积是18，则DP的长是 2 10.如图，在正方形ABCD中，AB=√3，点E,F 分别在BC,CD上，且∠BAE=30°，∠DAF =15°，则△AEF的面积为 11.现有一张边长等于a(a>16)的正方形纸片， 从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角 画线，将正方形纸片分成5部分（如图），则阴 影部分是 (填写图形的形状)，它 的一边长是 8cm 45y 8cm 8cm X45 ←8cm 12.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB= 2√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE, 过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以 DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG: (I)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是， 请求出这个定值；若不是，请说明理由， 【创新拓展】 13.请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形 BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线 段DF的中点，连接PG,PC 探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行 四边形BEFG是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形 BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H, 构造全等三角形，经过推理可以探索出问题 的答案。 ·21 第一章精殊平行四边形 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个 问题 (1)求证：四边形BEFG是矩形； (2)PG与PC的夹角为 度时，四边形 BEFG是正方形，并说明理由，